10

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

“ГОМЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. Ф.СКОРИНЫ”

Математический факультет

Кафедра ВМ и программирования

Контрольная работа по курсу

“Метод конечных элементов”

Выполнил Рыжик И. А.

Проверил Орлов В. В.

Гомель, 2002

Введение

Дифференциальное уравнение, описывающее распространение тепла в области со сложной геометрией чаще всего решается численно. Для его решения используется метод конечных элементов (МКЭ).

МКЭ включает в себя построение и решение дискретной модели. Построение реализуется алгоритмами построения матрицы жесткости, заданием граничных условий. МКЭ приводит к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). СЛАУ решается любым удобным методом.

В разработанных алгоритмах учитываются особенности области сложной геометрии, матрицы жесткости.

Для удобства пользователя спроектирован интерфейс ввода исходных данных: области с помощью координат в 3-х мерном пространстве, количества разбиений на элемент заданного типа, краевых условий, а также вывода полученных результатов, как в табличной форме, так и в виде

Приложение моделирования расчета осадок плиты реализуется в интегрированной среде программирования Borland Delphi 5.0.

Вариационная формулировка метода конечных элементов

Рассмотрим уравнение вида

,

где - дифференциальный оператор,

исходная функция,

заданная функция.

Применяя вариационную формулировку МКЭ, заменим задачу (1) задачей:

Пусть дан функционал с областью определения . Требуется найти элемент , сообщающий функционалу либо минимальное значение

,

либо максимальное значение

.

Теорема 1: Для того, чтобы , где - оператор, сообщал минимальное значение функционалу энергии, необходимо и достаточно, чтобы этот функционал удовлетворял уравнению

.

Теорема 2: Существует и единственный элемент пространства , на котором функционал энергии

достигает своего минимального значения.

Схема аппроксимации

В нашем случае дифференциальный оператор имеет вид:

,

минимизирующий функционал:

.

Где функция аппроксимируется следующим образом:

.

Введём локальную систему координат:

Где - координаты соответствующего узла .

Выразим координаты x, y и z через локальные координаты:

;

.

Тогда

.

Базисные функции для данного конечного элемента будут иметь вид:

Получим выражения для

Матрица Якоби (J) :

Тогда

Отсюда получаем:

Минимизирующий функционал примет вид:

Запишем формулу для получения элементов матрицы жесткости:

s,t=1,…,8

Правая часть уравнения Au=f будет иметь вид:

Метод квадратного корня

Пусть дана линейная система

Ax=b (1)

где А=[a_ij] - симметрическая матрица, т е А'=[a_ji]=A. Тогда матрицу А можно представить в виде произведения двух транспонированных между собой треугольных матриц

А=Т'Т, (2)

где

T= и T'=.

Произведя перемножение матриц T' и T, для определения элементов

t_ij матрицы T получим следующие уравнения:

Отсюда последовательно находим:

 (3)

Система (1) имеет определенное единственное решение, если t_ii 0 (i=1, 2, …, n). Коэффициенты матрицы Т будут действительны, если .

При наличии соотношения (2) уравнение (1) эквивалентно двум уравнениям:

T'y=b и Tx=y, или в раскрытом виде

(4)

и

(5)

Отсюда последовательно находим:

 (6)

и

(7)

Литература

Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир,1975,540с.

Зенкевич О., Морган К.. Конечные элементы и аппроксимация. - М.: Мир, 1986, 318с.

Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. - М.: Мир, 1977, 350с.

Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. - М.: Мир, 1979, 392с.

Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. - М.: Наука, 1981, 688с.

6. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. -М.: Госиздат, 1963, 400с.

7. Хемминг Р.В. Численные методы. -М.: Наука, 1972, 400с

8. Писанецки С. Технология разреженных матриц. -М.: Мир,1988, 410с.

9. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. -М.: Мир,1988, 655с.

10. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. -М.: Мир,1984, 333с.

11. Фаддеев А.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Госиздат, 1960, 656с.

12. Быховцев В.Е. Компактный алгоритм построения матрицы жесткости в методе конечных элементов. - Изд. АН БССР, серия ф. - м., №1, Наука, 1983, с.34-37.