Линейная и векторная алгебра

3. Линейная зависимость векторов

Вектор В называется линейной комбинацией векторов А_1, А₂, . . ., А_n векторного пространства Rⁿ, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа: В = ₁А₁ + ₂А₂ + . . .+ _nА_n, где _{1, 2}, . . . _n - любые действительные числа.

Векторы А_1, А₂, . . ., А_n называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация ₁А₁ + ₂А₂ + . . .+ _nА_n = 0, при не равных нулю одновременно _i (i = 1, 2, . . . n), т.е. .

Если же ₁А₁ + ₂А₂ + . . .+ _nА_n = 0 выполняется только при всех _i = 0 (i = 1, 2, . . . n), то векторы называются линейно независимыми.

Свойства:

1. Если среди векторов А_i (i = 1, 2, . . . n) есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.

3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.

Геометрический смысл линейной зависимости векторов очевиден для случаев двумерных векторов на плоскости и трехмерных векторов в пространстве: в случае двух векторов, когда один вектор выражается через другой: , т.е. эти векторы коллинеарны или, что то же самое, они находятся на параллельных прямых.

4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны:

В пространственном случае линейной зависимости трех векторов они параллельны одной плоскости, т.е. компланарны.

5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.

Т.е., достаточно «подправить» соответствующими сомножителями длины этих векторов, чтобы один из них стал суммой двух других (выражался через них).

В пространстве Rⁿ любая система, содержащая m векторов, линейно зависима при m > n.

21. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Каждый ненулевой вектор (m, n), компоненты которого удовлетворяют условию Аm + Вn = 0 называется направляющим вектором прямой Ах + Ву + С = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть на плоскости заданы две точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x_2, y₂), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки: Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель

24. Кривые второго порядка. Общее уравнение кривых второго порядка. Частные случаи

Уравнение вида Ах² + Вху + Су² + Dx + Ey + F = 0, где хотя бы одна из трех величин А, В или С не равна нулю, называется уравнение второго порядка, а линия, представляемая таким уравнением - линией второго порядка.

Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

1. - уравнение эллипса.

2. - уравнение “мнимого” эллипса.

3. - уравнение гиперболы.

4.a²x² - c²y² = 0 - уравнение двух пересекающихся прямых.

5.y² = 2px - уравнение параболы.

6.y² - a² = 0 - уравнение двух параллельных прямых.

7.y² + a² = 0 - уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.

8.y² = 0 - пара совпадающих прямых.

9.(x - a)² + (y - b)² = R² - уравнение окружности x² + y² = R².

25.Эллипсом

называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

F₁, F₂ - фокусы. F₁ = (-c; 0); F₂(c; 0)

Для любой точки М(х, у) эллипса расстояния до фокусов есть

По определению эллипса r₁ + r₂ = 2a

Если а = с, то последнее уравнение дает у = 0 -- уравнение отрезка [F₁, F₂]. Если же а > с, то, обозначив а² - с² = b² (а < с < b) и разделив на а²b², получим каноническое уравнение эллипса , (3.3) при этом а² - с² = b².

с - половина расстояния между фокусами; a - большая полуось; b - малая полуось.

Согласно этому уравнению, эллипс симметричен относительно осей координат. Положительные числа a, b называются большой и малой полуосями эллипса.

Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом. е = с/a. (3.4)

Т.к. с < a, то е < 1.

При е = 0 имеем: а = b, с = 0 и эллипс превращается в окружность радиуса а. При е = 1 имеем: а = с, b = 0 и эллипс вырождается в отрезок [F_1, F₂].

Если для точки М(х₁, у₁) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне эллипса.

Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения: r₁ = a - ex, r₂ = a + ex.

26. Гипербола

Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

По определению r₁ - r₂= 2a. F₁, F₂ - фокусы гиперболы. F₁F₂ = 2c.

Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда:

обозначим с² - а² = b² (геометрически эта величина - меньшая полуось) ;

(3.5)

Получили каноническое уравнение гиперболы.

Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

Ось 2а называется действительной осью гиперболы.

Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых (3.6)

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с - половина расстояния между фокусами, а - действительная полуось.

С учетом того, что с² - а² = b²:

Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

34. Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка - это поверхности, уравнения которых в прямоугольной системе координат являются уравнениями второго порядка.

Цилиндрическими поверхностями называются поверхности, образованные линиями, параллельными какой- либо фиксированной прямой.

- эллиптический цилиндр

- гиперболический цилиндр.

x² = 2py - параболический цилиндр.

Поверхность, описываемая некоторой линией, вращающейся вокруг неподвижной прямой d, называется поверхностью вращения с осью вращения d.

Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид: F(x² + y², z) = 0, то эта поверхность - поверхность вращения с осью вращения Оz. Аналогично: F(x² + z², y) = 0 - поверхность вращения с осью вращения Оу, F(z² + y², x) = 0 - поверхность вращения с осью вращения Ох.

- эллипсоид вращения

- однополостный гиперболоид вращения

- двуполостный гиперболоид вращения

- параболоид вращения

Однако, перечисленные выше поверхности являются всего лишь частными случаями поверхностей второго порядка общего вида, некоторые типы которых рассмотрены ниже:

Сфера:

Трехосный эллипсоид:

Однополостный гиперболоид:

Двуполостный гиперболоид:

Эллиптический параболоид:

Гиперболический параболоид:

Конус второго порядка:

38. Квадратичные формы

Однородный многочлен второй степени относительно переменных х₁ и х₂ Ф(х₁, х₂) = а₁₁ ,не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени, называется квадратичной формой переменных х₁ и х₂.

Однородный многочлен второй степени относительно переменных х₁, х₂ и х₃

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных х₁, х₂ и х₃.

Рассмотрим квадратичную форму двух переменных. Квадратичная форма имеет симметрическую матрицу А = . Определитель этой матрицы называется определителем квадратичной формы.

Пусть на плоскости задан ортогональный базис . Каждая точка плоскости имеет в этом базисе координаты х₁, х₂. Если задана квадратичная форма Ф(х₁, х₂) = а₁₁, то ее можно рассматривать как функцию от переменных х₁ и х₂.

Приведение квадратичных форм к каноническому виду. Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей . Это симметрическое преобразование можно записать в виде: y₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂

y₂ = a₁₂x₁ + a₂₂x_2, где у₁ и у₂ - координаты вектора в базисе .

Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде Ф(х₁, х₂) = х₁у₁ + х₂у₂.

Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х₁ и х₂ - скалярное произведение .

Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.

Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:.

При переходе к новому базису от переменных х₁ и х₂ мы переходим к переменным и . Тогда:

Тогда .

Выражение называется каноническим видом квадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных.

Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка.

39. Тригонометрическая форма комплексного числа. Извлечение корня

Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде:

Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа. При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона - аргументом комплексного числа..

Из геометрических соображений видно:

Комплексно - сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.

2)Умножение в тригонометрической форме:

,

3)Деление в тригонометрической форме:

4) Возведение в степень.

;

,

где n - целое положительное число. Это выражение называется формулой Муавра.

5) Извлечение корня из комплексного числа.

;

Отсюда: