Дифференциальные уравнения

22

Дифференциальные уравнения
первого порядка	n-го порядка
с разделяющимися переменными	однородные	линейные	Бернулли	в полных дифференциалах	допускающие понижение порядка	с постоянными коэффициентами
					уравнения вида y(n)=f(x)	не содержащие явно искомой функции y	не содержащие явно независимой переменной x	линейные однородные	линейные неоднородные

Дифференциальные уравнения - это уравнения, в которых неизвестная функция входит под знаком производной.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция , которая при подстановке в уравнение превращает его в тождество. Если в общем решении зафиксировать константы Сi, то полученная функция называется частным решением.

Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок производной, входящей в уравнение.

Задача отыскания решения дифференциального уравнения любого порядка, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнения с разделяющимися переменными.

Любое дифференциальное уравнение вида (*) называется уравнением с разделёнными переменными.

Уравнение, которое приводится к виду *, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Пример. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения

.

Уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Приведём его к виду *:

Если равны дифференциалы, то равны неопределённые интегралы . Отсюда получаем

- общий интеграл и y=Cx - общее решение.

Однородные уравнения первого порядка

Однородным называется уравнение вида y' = f(x,y), где непрерывная функция f(x,y) удовлетворяет условию: f(x,y)=лnf(x,y)

Такие уравнения с помощью подстановки

y = ux

и y' = u'x + u ,

где u - новая переменная сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными u и х.

Пример. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения

Проверим, является ли данное уравнение однородным:

т.е. является.

Введем замену:

Подставим в исходное уравнение:

Разделим переменные и проинтегрируем полученное уравнение:



Найдем интеграл левой части уравнения:

Найдем интеграл правой части уравнения:

.

Приравняем найденные результаты:

Используем свойства логарифмов и потенцируем равенство:

,

Подставим вместо

получим

.

Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

,

где С - произвольная постоянная.

Линейные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

y' + P(x)y = Q(x),

где P(х) и Q(х) - непрерывные функции.

Если Q(x) 0 - уравнение называется линейным неоднородным, если Q(x)=0 - линейным однородным.

Для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка существует два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной).

Рассмотрим первый метод. Решение уравнения

ищется в виде

,

где и - неизвестные функции от x. При этом одну из функций (например, v(x)) можно выбрать произвольно, тогда вторая определится из уравнения

.

В обоих случаях они находятся из уравнений с разделяющимися переменными.

Общее решение линейного уравнения можно также найти методом Лагранжа. В этом случае его общее решение ищется в виде:

.

Пример. Решить дифференциальное уравнение:

Данное уравнение имеет вид

и, стало быть, является линейным. Решим уравнение двумя способами.

Метод Бернулли

Полагаем

,

тогда

Уравнение примет вид:

или

Подберём функцию v=v(x) так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, то есть решим первое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными .

, , , ,

Подставляя полученное выражение в уравнение

,

получим второе дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, из которого найдём функцию u=u(x):

, то есть .

Следовательно,

.

Таким образом,

или -

это и есть общее решение исходного уравнения.

Метод Лагранжа

Найдём сначала общее решение однородного уравнения

.

Разделяя переменные, получим

.

Общее решение заданного уравнения ищем в виде (букву С заменили неизвестной функцией от x). Подставляя y и

в данное уравнение, получим:

, то есть

.

Тогда , , ,

.

Таким образом, или - это и есть общее решение исходного уравнения (как и в первом случае).

Уравнение Бернулли

Уравнение вида

называется уравнением Бернулли. Данное уравнение приводится к линейному с помощью подстановки . Можно также непосредственно применять подстановку

или метод вариации произвольных постоянных.

Пример. Решить дифференциальное уравнение

.

Сделаем замену

получим

.

Сгруппируем второе слагаемое с третьим:

.

Приравнивая к нулю выражение в скобках, находим функцию v:

Подставим v в уравнение

и найдём u:

Тогда

Уравнение в полных дифференциалах

Уравнение

называется уравнением в полных дифференциалах, если

.

Уравнение

тогда и только тогда является уравнением в полных дифференциалах, когда существует функция , такая, что

, то есть ,

Общий интеграл уравнения

имеет вид

Пример. Решить дифференциальное уравнение

,

Проверим является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах:

,

,

то есть . Значит данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, то есть существует функция U, такая, что

.

Поэтому

.

Отсюда

,

где функция f(y) зависит только от y (постоянна по отношению к x).

Дифференцируя найденную функцию по y, получим выражение

,

которое, согласно

, ,

можно приравнять к Q:

Отсюда . Если уравнение в полных дифференциалах, то последнее выражение не будет зависеть от x.

Окончательно получим:

Уравнения n-го (второго) порядка, допускающие понижение порядка.

В некоторых частных случаях удаётся понизить порядок дифференциального уравнения второго или выше порядка. Зачастую оно в итоге приводится к дифференциальному уравнению первого порядка из рассмотренных ранее типов.

Дифференциальные уравнения вида y(n)=f(x)

Для решения дифференциального уравнения вида y(n)=f(x) сделаем замену

Тогда

, ,

Но

.

Следовательно,

.

Повторяя эту операцию ещё (n-1) раз, получим y(x).

Пример. Решить дифференциальное уравнение .

Проинтегрируем данное уравнение 4 раза:

, , ,

,

,

.

Дифференциальные уравнения, не содержащие явно искомой функции y.

Уравнения, не содержащие явно искомой функции y, имеют вид и сводятся к уравнению первого порядка с помощью замены , .

Пример. Решить дифференциальное уравнение

.

Сделаем замену , , получим

Уравнение второго порядка перешло в линейное уравнение первого порядка, которое можно решить с помощью замены

.

Приравняем выражение в скобках к нулю и найдём v:

Подставим полученное выражение в уравнение

и получим:

.

Найдём u:

Тогда

.

Следовательно

.

Найдём y:

Дифференциальные уравнения, не содержащие явно независимой переменной x.

Уравнения, не содержащие явно независимой переменной x, имеют вид и сводятся к уравнению первого порядка с помощью замены , .

Пример. Решить дифференциальное уравнение

,

если даны начальные условия .

Сделаем замену , , получим

Уравнение второго порядка перешло в линейное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

Найдём p:

Следовательно,

.

Подставим начальные условия . Тогда

, , ,

Подставим начальные условия . Таким образом, частное решение имеет вид

.

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУ)

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

и решается с помощью составления характеристического уравнения:

.

Формулы для нахождения общего решения однородного уравнения записаны в таблице:

№	корни характеристического уравнения	общее решение однородного уравнения
1	(корни действительные, различные)
2	(корни действительные и равные)
3	(корни комплексные сопряженные)
4	k1=k2=k (кратные комплексные сопряженные корни)

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛНДУ).

ЛНДУ имеет вид

где p и q- действительные числа.

Решение неоднородного уравнения находиться по формуле:

, где

- решение ЛОДУ, а - частное решение ЛНДУ по виду правой части.

Формулы для нахождения частного решения неоднородного уравнения по виду правой части записаны в таблице:

№	Вид	Форма
1		, если , если
2	- многочлен степени	, если , если
3	(произведение константы на показательную функцию)	, если , , если если
4	(произведение показательной функции на многочлен)	; если r корень, то s его кратность; если нет, то s=0
5		, если , если

Неизвестные коэффициенты A, B, C отыскиваются методом неопределенных коэффициентов.

Пример. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение данного уравнения находим в виде:

Найдем общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения

Для этого составим характеристическое уравнение:

k2 - k - 6 = 0.

Найдем его корни: k1 = -2; k2 = 3 - действительные и различные, поэтому общее решение имеет вид:

,

где С1 и С2 - произвольные постоянные.

Найдем частное решение уравнения. Так как функция f(x) = (2x-1)e2x имеет вид Pn(x)ex, где Pn(x) = 2x -1 - многочлен 1-ой степени и = 2 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения запишем в виде:

.= (Ax +B)e2x

где А и В - коэффициенты, подлежащие определению. Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Найдем и

и подставим их в уравнение:

4е2х(Ах +А +В)- е2х(2Ах + А +2В)-6е2х(Ах + В) =(2х -1) е2х;

Поделим обе части уравнения на е2х:

4(Ах +А + В) - (2А + А + 2В) - 6(Ах +В) = 2х - 1

4Ах + 4А + 4В - 2Ах - А - 2В - 6Ах - 6В = 2х - 1

-4Ах+(3А-4В) = 2х-1 - 4Ax = 2x ; 3A- 4B= -1.

Откуда следует, что коэффициенты А и В должны удовлетворять, следующей системе уравнений:



Решив ее, найдем А= -0,5; B= -0,125.

Подставим найденные значения А и В в уравнение .= (Ax +B)e2x и найдем частное решение:

Следовательно, общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид: