Центральная симметрия

2

ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

Симметрия в переводе с греческого означает соразмерность. Под симметрией принято понимать свойство геометрической фигуры, расположенной в пространстве или на плоскости, заключающееся в закономерном повторении равных ее частей. Изучение видов симметрии имеет большое практическое и теоретическое значение для различных областей науки и техники и, особенно, при изучении строения кристаллических веществ.

Существует множество различных видов симметрии. К простейшим из них относятся:

а) симметрия относительно плоскости (зеркальная симметрия);

б) симметрия относительно точки (центральная симметрия);

в) симметрия относительно прямой (осевая симметрия);

г) симметрия вращения;

д) цилиндрическая симметрия;

е) сферическая симметрия.

Вспомогательные образы (плоскости, точки, прямые и т.д.), с помощью которых устанавливается симметрия, называются элементами симметрии.

Можно дать такое определение:

Центральная симметрия с центром в точке O - это такое отображение плоскости, при котором любой точке X сопоставляется такая точка X', что точка O является серединой отрезка XX'.

Однако можно заметить, что центральная симметрия является частным случаем поворота, а именно, поворота на 180 градусов. Действительно, пусть при центральной симметрии относительно точки O точка X перешла в X'. Тогда угол XOX'=180 градусов, как развернутый, и XO=OX', следовательно, такое преобразование является поворотом на 180 градусов. Отсюда также следует, что центральная симметрия является движением.

Центральная симметрия является движением, изменяющим направления на противоположные. То есть если при центральной симметрии относительно точки O точкам X и Y соответствуют точки X' и Y', то

XY= - X'Y'

Доказательство:

Поскольку точка O - середина отрезка XX', то, очевидно,

OX'= - OX

Аналогично

OY'= - OY

Учитывая это, находим вектор X'Y':

X'Y'=OY'OX'=OY+OX=(OYOX)= XY

Таким образом, X'Y'=XY.

Доказанное свойство является характерным свойством центральной симметрии, а именно, справедливо обратное утверждение, являющееся признаком центральной симметрии: "Движение, изменяющее направления на противоположные, является центральной симметрией."

Говорят, что фигура обладает симметрией (симметрична), если существует такое движение (не тождественное), переводящее эту фигуру в себя.

Например, фигура обладает поворотной симметрией, если она переходит в себя некоторым поворотом.

Рассмотрим симметрию некоторых фигур:

1. Отрезок имеет две оси симметрии (серединный перпендикуляр и прямая, содержащая этот отрезок) и центр симметрии (середина).

2. Треугольник общего вида не имеет осей или центров симметрии, он несимметричен. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет однуось симметрии: серединный перпендикуляр к основанию.

3. Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии (серединные перпендикуляры к сторонам) и поворотную симметрию относительно центра с углом поворота 120.

4. У любого правильного n-угольника есть n осей симметрии, все они проходят через его центр. Он также имеет поворотную симметрию относительно центра с углом поворота.

При четном n одни оси симметрии проходят через противоположные вершины, другие через середины противоположных сторон.

При нечетном n каждая ось проходит через вершину и середину противоположной стороны.

Центр правильного многоугольника с четным числом сторон является его центром симметрии. У правильного многоугольника с нечетным числом сторон центра симметрии нет.

5. Любая прямая, проходящая через центр окружности является ее осью симметрии, окружность также обладает поворотной симметрией, причем угол поворота может быть любым.

Симметрия относительно точки или центральная симметрия (рис.1, 2, 3, 4) - это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону центра симметрии, соответствует другая точка, расположенная по другую сторону центра. При этом точки находятся на отрезке прямой, проходящей через центр, делящий отрезок пополам.

Рис. 1 Рис. 2

Рис. 3 Рис. 4

Центральную симметрию имеют многие геометрические тела. К ним следует отнести все правильные многогранники (за исключением тетраэдра), все правильные призмы с четным числом боковых граней, некоторые тела вращения (эллипсоид, цилиндр, гиперболоид, тор, шар). Центр симметрии многогранников указывает на наличие двух равных и взаимно параллельных граней. Например, у параллелепипеда грань АА1'В1'В равна и параллельна грани В1В1А1А1. Рассмотрим симметричность вершин. Точке А симметричны две точки А1. Одна - относительно центра симметрии многогранника, другая - относительно центра симметрии грани. В свою очередь, точкам А1 симметрична точка А1' и т.д. Как видно из чертежа, грани параллелепипеда и прямо, и обратно параллельны. В случае октаэдра имеется только обратная параллельность граней, например, АВС и А1В1С1.

Таким образом, симметричность относительно точки характеризуется тем, что любая проходящая через центр симметрии прямая отмечает на фигуре пару точек, т.е. точек, расположенных от нее на равных расстояниях. На чертежах технических деталей такие точки наносятся сравнительно редко, но при графических построениях, связанных с анализом кристаллических и молекулярных структур, им уделяется большое внимание.