Элементы теории определителей

Элементы теории определителей

Определитель - это число, записанное в виде квадратной таблицы чисел, вычисляемое по определенным правилам.

Например, каждая из приведенных таблиц (1.1) состоит из равного числа строк и столбцов и представляет собой число, правила вычисления которого будут рассмотрены ниже.

, , (1.1)

а) б) в)

Число строк и столбцов определяет порядок определителя. Так, определитель 1.1а) - третьего порядка, определитель 1.1б) - второго порядка, 1.1в) - первого порядка. Как видно, определитель первого порядка - это само число.

Прямые вертикальные скобки по краям таблицы - знак и символ определителя. Обозначается определитель заглавной буквой греческого алфавита ? (дельта).

В общем виде определитель n-го порядка записывается так:

(1.2)

Каждый элемент а_ij определителя имеет два индекса: первый индекс i указывает номер строки, второй j - номер столбца, на пересечении которых находится элемент. Так для определителя 1.1а) элементы а₁₁, а₂₂, а₂₃, а₃₂ соответственно равны 2, 5, 4, 3.

Определитель 2-го порядка вычисляется по формуле

(1.3)

Определитель 2-го порядка равен произведению элементов, состоящих на главной диагонали минус произведение элементов, состоящих на побочной диагонали.

Для вычисления определителя 3-го порядка применяется «метод треугольников» и метод Саррюса. Но обычно на практике для вычисления определителя 3-го порядка применяется так называемый метод эффективного понижения порядка, который будет рассмотрен ниже.

Метод треугольников

При вычислении определителя этим методом удобно пользоваться графическим его представлением. На рис. 1.1 и 1.2 элементы определителя 3-го порядка схематически изображены точками.

Рис. 1.1 Рис. 1.2

При вычислении определителя следует произведение элементов, соединенных прямыми по схеме рис. 1.1, взять со знаком «плюс», а произведение элементов, соединенных по схеме рис. 1.2, взять со знаком «минус». В результате этих действий формула, по которой производится вычисление, имеет вид:

(1.4)

Вычислить определитель 3-го порядка.

Метод Саррюса

Для его реализации нужно справа от определителя приписать два первых столбца, составить произведения элементов, стоящих на главной диагонали и на прямых, параллельных ей, и взять их со знаком «плюс». Затем составить произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и параллельных к ней со знаком «минус».

Схема вычисления определителя методом Саррюса.

=

- - - + + +

Вычислить определитель, данный в примере 1.2, методом Саррюса.



Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя

Минором М_ij элемента а_ij называется определитель (n-1) - го порядка, полученный из определителя n-го порядка путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца (т.е. вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых находится элемент а_ij).

Найти минор элементов а₂₃ и а₃₄ определителя 4-го порядка.

Элемент а₂₃ находится во 2-й строке и 3-м столбце. В данном примере а₂₃=4. Вычеркивая на пересечении этого элемента 2-ю строку и 3-й столбец (показано в методических целях вертикальной и горизонтальной пунктирными линиями), получим минор М₂₃ этого элемента. Это уже будет определитель 3-го порядка.

При вычислении миноров операцию вычеркивания строки и столбца производят мысленно. Сделав это, получим

Алгебраическим дополнением А_ij элемента а_ij определителя n-го порядка называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1)^i+j, где i+j - сумма номеров строки и столбца, которым принадлежит элемент а_ij. Т.е. по определению А_ij=(-1)^i+j М_ij

Ясно, что если сумма i+j - число четное, то А_ij=М_ij, если i+j - число нечетное, то А_ij= - М_ij.

Для определителя найти алгебраические дополнения элементов а₂₃ и а₃₁.

Для элемента а₂₃ i=2, j=3 и i+j=5 число нечетное, отсюда

Для элемента а₃₁ i=3, j=1 и i+j=4 число четное, значит

Свойства определителей

1. Если в определителе поменять местами два любых параллельных ряда (две строки или два столбца), знак определителя меняется на противоположный

 - поменяли местами 2 параллельных столбца (1-й и 2-й).

- поменяли местами 2 параллельных строки (1-ю и 3-ю).

2. Общий множитель элементов любого ряда (строки или столбца) можно выносить за знак определителя.

Свойства равенства определителя нулю

3. Если все элементы некоторого ряда в определителе равны нулю, такой определитель равен нулю.

4. Если в определителе элементы любого ряда пропорциональны элементам параллельного ряда, определитель равен нулю.

Свойства инвариантности (неизменности) определителя.

5. Если в определителе поменять местами строки и столбцы, определитель не изменится.

6. Определитель не изменится, если к элементам любого ряда прибавить элементы любого параллельного ряда, умножив предварительно на некоторое число.

Свойство 6 широко применяется при вычислении определителей так называемым методом эффективного понижения порядка. При применении этого метода необходимо в одном ряду (одной строке или столбце) привести все элементы, кроме одного, к нулю. Отличный от нуля элемент определителя будет равен нулю, если его сложить с равным по величине, но противоположным по знаку числом.

Покажем на примере, как это делается.

Пользуясь свойствами 2 и 6 привести определитель к определителю, имеющему в каком-либо ряду два нуля.

Пользуясь свойством 2 упростим определитель, вынеся 2 из 1-й строки, 4 из 2-й строки и 2 из 3-й строки как общие множители.

Т.к. элемент а₂₂ равен нулю, то для решения задачи достаточно привести к нулю какой-либо элемент во 2-й строке или 2-м столбце. Сделать это можно несколькими способами.

Например, приведем элемент а₂₁=2 к нулю. Для этого на основании свойства 6 умножим весь третий столбец на (-2) и сложим с первым. Выполнив эту операцию, получим

Можно привести к нулю элемент а₁₂=2, тогда мы получим два элемента, равных нулю, во втором столбце. Для этого нужно 3-ю строку умножить на (-2) и полученные значения сложить с первой строкой



Вычисление определителя любого порядка

Правило для вычисления определителя любого порядка основано на теореме Лапласа.

Теорема Лапласа

Определитель равен сумме попарных произведений элементов любого ряда (строки или столбца) на их алгебраические дополнения.

В соответствии с этой теоремой определитель может быть вычислен путем его разложения или по элементам любой строки или любого столбца.

В общем виде определитель n-го порядка можно разложить и вычислить следующими способами:

Вычислить определитель по теореме Лапласа путем разложения его по элементам 3-ей строки и элементам 1-го столбца.

Вычисляем определитель путем разложения его по 3-ей строке



Вычислим определитель путем разложения его по первому столбцу

Метод эффективного понижения порядка

Трудоемкость вычисления определителя по теореме Лапласа будет существенно меньше, если в его разложении или по строке или по столбцу будет всего лишь одно слагаемое. Такое разложение получится, если в строке (или в столбце), по которой раскладывается определитель, все элементы, кроме одного равны нулю. Способ «обнуления» элементов определителя был рассмотрен ранее.

Вычислить определитель методом эффективного понижения порядка.

Т.к. определитель 3-го порядка, то «обнулим» какие-либо 2 элемента определителя. Удобно для этой цели взять 2-й столбец, элемент которого а₂₂ = - 1. Для того, чтобы элемент а₂₁ был равен нулю, следует 1-й столбец сложить со 2-м. Для того, чтобы элемент а₂₃ был равен нулю, нужно 2-й столбец умножить на 2 и сложить с 3-м. После выполнения этих операций заданный определитель преобразуется к определителю



Теперь этот определитель раскладываем по 2-й строке

Вычисление определителя приведением его к треугольному виду

Определитель, у которого все элементы, находящиеся выше или ниже главной диагонали равны нулю, называется определителем треугольного вида. В этом случае определитель равен произведению его элементов главной диагонали.

Приведение определителя к треугольному виду всегда возможно на основании его свойств.

Дан определитель . Привести его к треугольному виду и вычислить.

«Обнулим», например, все элементы, расположенные выше главной диагонали. Для этого нужно выполнить три операции: 1-я операция - сложим первую строку с последней, получим а₁₃ = 0. 2-я операция - умножив последнюю строку на (-2) и сложив со 2-й, получим а₂₃ = 0. Ниже показано последовательное выполнение этих операций.

Для обнуления элемента а₁₂ сложим 1-ю и 2-ю строки

Элементы теории матриц

Матрицей называется таблица чисел или каких-либо других элементов, содержащая m строк и n столбцов.

Общий вид матрицы

Матрица, как и определитель, имеет элементы, снабженные двойным индексом. Смысл индексов тот же, что и для определителей.

Если определитель равен числу, то матрица ни к какому другому более простому объекту не приравнивается.

Круглые скобки по бокам матрицы - ее знак или символ (но не прямые скобки, которыми обозначается определитель). Для краткости матрица обозначается прописными (заглавными) буквами А, В, С и т.д.

Матрица имеет размер, который определяется ее количеством строк и столбцов, что записывается так - А_mn.

Например, числовая матрица размером 23 имеет вид , размером 31 имеет вид , размером 14 имеет вид и т.д.

Матрица, в которой число сток равно числу столбцов, называется квадратной. В этом случае, как и для определителей, говорят о порядке матрицы.

Например, числовая матрица 3-го порядка имеет вид

Виды матриц

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой

Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом

Матрица называется квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.

Например, - квадратная матрица 3-го порядка.

Диагональная матрица - квадратная матрица, у которой все элементы равны нулю, кроме тех, которые находятся на главной диагонали. Главная диагональ - это диагональ, идущая из верхнего левого угла в правый нижний угол.

Например, - диагональная матрица третьего порядка.

Диагональная матрица, все элементы которой равны единице, называется единичной и обозначается буквой Е или цифрой 1

Нуль-матрица - матрица, все элементы которой равны нулю.

Верхняя треугольная матрица - матрица, все элементы которой, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю.

Нижняя треугольная матрица - матрица, все элементы которой, расположенные выше главной диагонали, равны нулю.

Например

- верхняя треугольная матрица

- нижняя треугольная матрица

Если в матрице А строки поменять столбцами, получим транспонированную матрицу, которая обозначается символом А*.

Например, заданная матрица ,

транспонированная по отношению к ней матрица А*

Квадратная матрица А имеет определитель, который обозначается det A (det - сокращенное французское слово, обозначающее «определитель»).

Например, для матрицы А

ее определитель запишем

Все операции с определителем матрицы те же, что рассмотрены ранее.

Матрица, определитель которой равен нулю, называется особенной, или вырожденной, или сингулярной. Матрица, для которой ее определитель не равен нулю, называется неособенной или невырожденной.

Союзная или присоединенная матрица.

Если для заданной квадратной матрицы А определить алгебраические дополнения всех ее элементов и затем транспонировать их, то полученная таким образом матрица будет называться союзной или присоединенной по отношению к матрице А и обозначаться символом A

Для матрицы найти A.

Составляем определитель матрицы А

Определяем алгебраические дополнения всех элементов определителя по формуле

; ;

.

; ;

.

; ;

.

Транспонируя полученные алгебраические дополнения, получаем союзную или присоединенную матрицу A по отношению заданной матрицы А.

Действия над матрицами

Равенство матриц

Две матрицы А и В считаются равными, если:

а) обе они имеют один и тот же размер;

б) соответственные элементы этих матриц равны между собой. Под соответственными элементами понимаются элементы с одними и теми же индексами.

Сложение и вычитание матриц

Складывать и вычитать матрицы можно только одинаковой размерности. Суммой (разностью) двух матриц А и В будет третья матрица С, элементы которой С_ij равны сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В. Согласно определению элементы матрицы С находятся по правилу .

Например, если

, , то

Понятие суммы (разности) матриц распространяется на любое конечное число матриц. При этом сумма матриц подчиняется таким законам:

а) переместительному А + В = В + А;

б) сочетательному С + (А + В) = (В + С) + А.

Умножение матрицы на число.

Чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить на это число каждый элемент матрицы.

Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Например, .

Как видно, действия сложения, вычитания матриц, умножения матрицы на число аналогичны действиям над числами. Умножение матриц - операция специфическая.

Произведение двух матриц.

Не всякие матрицы можно перемножать. Произведение двух матриц А и В в указанном порядке АВ возможно только тогда, когда число столбцов первого множителя А равно числу строк второго множителя В.

Например, , .

Размер матрицы А 33, размер матрицы В 23. Произведение АВ невозможно, произведение ВА возможно.

Произведение двух матриц А и В есть третья матрица С, элемент С_ij которой равен сумме попарных произведений элементов i-той строки первого множителя и j-того столбца второго множителя.

Было показано, что в данном случае возможно произведение матриц ВА

Из правила существования произведения двух матриц следует, что произведение двух матриц в общем случае не подчиняется переместительному закону, т.е. АВ ? ВА. Если в частном случае окажется, что АВ = ВА, то такие матрицы называются перестановочными или коммутативными.

В матричной алгебре произведение двух матриц может быть нулевой матрицей и тогда, когда ни одна из матриц сомножителей не является нулевой в противоположность обычной алгебре.

Например, найдем произведение матриц АВ, если

Можно перемножать несколько матриц. Если можно перемножить матрицы А, В и произведение этих матриц можно умножить на матрицу С, то возможно составить произведение (АВ) С и А(ВС). В таком случае имеет место сочетательный закон относительно умножения (АВ) С = А(ВС).

Обратная матрица

Если две матрицы А и В одного и того же размера, а их произведение АВ есть единичная матрица Е, то матрица В называется обратной к А и обозначается А^-1, т.е. АА^-1 = Е.

Обратная матрица А^-1 равна отношению союзной матрицы A к детерминанту матрицы А

;

Отсюда видно, что для того, чтобы существовала обратная матрица А^-1 необходимо и достаточно, чтобы матрица detА ? 0, т.е., чтобы матрица А была невырожденной.

Для матрицы найти А^-1.

Определяем значение определителя матрицы А

.

Т.к. detА ? 0, обратная матрица существует. В примере 2.1. для заданного определителя была найдена союзная матрица

По определению



Ранг матрицы

Для решения и исследования ряда математических и прикладных задач важное значение имеет понятие ранга матрицы.

Рассмотрим матрицу А размером mn

Выделим произвольно в матрице А k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-того порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-того порядка матрицы А. Выделить k строк и k столбцов можно различными способами, в результате получаем различные миноры k-того порядка. Минорами 1-го порядка являются сами элементы. Очевидно, наибольший возможный порядок миноров равен наименьшему из чисел m и n. Среди образованных миноров различных порядков будут такие, которые равны нулю и не равны нулю.

Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы А называется рангом матрицы.

Ранг матрицы А обозначается rang A или r(А).

Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор большего порядка, чем r равен нулю.

Из определения ранга матрицы следует, что:

а) ранг матрицы A_mn не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. r(A) ? min (m, n);

б) r(A) = 0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. А = 0;

в) для квадратной матрицы n-го порядка r(A) = n, если матрица невырожденная.

Рассмотрим на примере определение ранга матрицы методом окаймляющих миноров. Суть его заключается в последовательном переборе миноров матрицы и отыскания наивысшего порядка отличного от нуля минора.

Вычислить ранг матрицы .

Для матрицы А₃₄ r(A) ? min (3,4) = 3. Проверим, равен ли ранг матрицы 3, для этого вычислим все миноры третьего порядка (их всего 4, они получаются при вычеркивании одного из столбцов матрицы).

; ; .

Поскольку все миноры третьего порядка нулевые, r(A) ? 2. Так как существует нулевой минор второго порядка, например

, то r(A) = 2.

Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которой равен ее рангу, называется базисным минором этой матрицы.

Матрица может иметь не один базисный минор, а несколько. Однако порядки всех базисных миноров одинаковы и равны рангу матрицы.

Строки и столбцы, образующие базисный минор, называются базисными.

Всякая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных строк (столбцов).