Вписанные и описанные окружности в треугольниках и четырехугольниках
Вписанная, описанная окружности, взаимное расположение прямой и окружности, площади фигур, свойства прямоугольного треугольника. Задачи с окружностью, описанной около треугольника, вписанной в треугольник, описанной и вписанной около четырехугольника.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 21.06.2009 |
| Размер файла | 72,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
13
Муниципальное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 5
Реферат по геометрии
на тему:
«Вписанные и описанные окружности в треугольниках и четырехугольниках»
Работу выполнил
ученик 9 «A» класса
МОУ СОШ № 5
Голубев Николай
Содержание
1. Введение
2. Теоретическая часть:
2.1 Вписанная окружность
2.2 Описанная окружность
2.3 Взаимное расположение прямой и окружности
2.4 Площади фигур
2.5 Свойства прямоугольного треугольника
3. Практическая часть:
3.1 Задачи с окружностью, описанной около треугольника
3.2 Задачи с окружностью, вписанной в треугольник
3.3 Задачи с окружностью, описанной около четырехугольника
3.4 Задачи с окружностью, вписанной в четырехугольник
4. Заключение
1. Введение
Тема «Вписанные и описанные окружности в треугольниках и четырехугольниках» является одной из самых сложных в курсе геометрии. На уроках ей уделяется очень мало времени.
Геометрические задачи этой темы включаются во вторую часть экзаменационной работы ЕГЭ за курс средней школы.
Для успешного выполнения этих заданий необходимы твердые знания основных геометрических фактов и некоторый опыт в решении геометрических задач.
Цель:
ь Углубить знания по теме «Вписанная и описанная окружности в треугольниках и четырехугольниках»
Задачи:
ь Систематизировать знания по этой теме
ь Подготовиться к решению задач повышенной сложности ЕГЭ
2.Теоретическая часть
2.1 Вписанная окружность
Определение: если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник - описанным около этой окружности.
Теорема: в любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
Центр окружности, вписанной в треугольник, находится на пересечении биссектрис треугольника.
Свойство: в любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
Признак: если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
2.2 Описанная окружность
Определение: если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник - вписанным в эту окружность.
Теорема: около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну.
Центр окружности, описанной около треугольника, находится на пересечении серединных перпендикуляров.
Свойство: в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180?.
Признак: если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180?, то около него можно описать окружность.
2.3 Взаимное расположение прямой и окружности:
AB - касательная, если OH = r
Свойство касательной:
AB + OH (OH - радиус, проведенный в точку касания H)
Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки:
AB = AC
? BAO = ? CAO
Свойство хорд: если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM • MB = CM • MD.
Медиана
Медиана (от лат. mediana -- средняя), отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
Теорема: сумма углов треугольника равна 180°
Основное тригонометрическое тождество: sin2 A + cos2 A = 1
Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: a2 = b2 + c2 - 2bc • cos A
2.4 Площади фигур
Площадь параллелограмма
· Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:
· Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних его сторон ?на синус угла между ними:
Площадь треугольника
ь Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними:
ь Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту:
ь Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
ь Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
ь Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы:
Площадь трапеции
Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту:
Теорема: отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
2.5 Прямоугольный треугольник
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой:
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы:
Теорема Пифагора:
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c2 = a2 + b2
3. Практическая часть
3.1 Задачи с окружностью, описанной около треугольника
Задача 1: Около равнобедренного треугольника с основанием AC и углом при основании 75? описана окружность с центром O. Найдите ее радиус, если площадь треугольника BOC равна 16.
Дано: ? ABC - равнобедренный, AC - основание, ? ACB = 75?,
площадь ? BOC равна 16
Найти: радиус описанной окружности
Решение:
1. Проведем медианы AF, CE, BH
2. ? ABC - равнобедренный, BH - медиана, следовательно, BH - высота, а значит ? HBC - прямоугольный
3. ? HBC = 90? - ? ACB, ? HBC = 90? - 75? = 15?
4. BO = OC = R, следовательно, ? BOC - равнобедренный, значит ?HBC = ?ECB = 15?
5. ? COB = 180? - (? HBC + ?ECB), ? COB = 180? - (15? + 15?) = 150?
Ответ: R = 8
Задача 2: треугольник BMP с углом B, равным 45?, вписан в окружность радиуса 6. Найдите длину медианы BK, если BK пересекает окружность в точке C и CK = 3.
Решение:
1. ? MOP = 2 ?MBP
? MOP = 2 • 45? = 90?, следовательно, ? MOP - прямоугольный
2. MP2 = OM2 + OP2
MP2 = 62 + 62 = 36 + 36 = 36 • 2
MP =
3. MK = KP = 0,5 • MP
MK = KP = 0,5 • =
4. MK • KP = BK • KC
= BK • 3
BK • 3 = 9 • 2
BK • 3 = 18
BK = 6
Ответ: BK = 6
3.2 Задачи с окружностью, вписанной в треугольник
Задача 4: радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 м, а радиус описанной окружности равен 5 м. Найдите больший катет треугольника.
Решение:
1. AC = 2r = 10 м
2. Пусть AM = AK = x, MC = CL = y
По теореме Пифагора:
x + y = 10
(x + 2)2 + (y + 2)2 = (x + y)2
y = 10 - x
(x + 2)2 + (10 - x + 2)2 = (x + 10 - x)2
(x + 2)2 + (12 - x)2 = 100
x2 + 4x + 4 +144 - 24x + x2 = 100
2x2 - 20x + 148 = 100
2x2 - 20x + 48 = 0
x2 - 10x + 24 = 0
x1 = 6, x2 = 4
y = 10 - x
x = 6 x = 4
y = 4 y = 6
3. Так как нужно найти больший катет, то берем y = 6
BC = 2 + 6 = 8 м
Ответ: BС = 8 м
Задача 5: окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках K и A. Точка K делит сторону этого треугольника на отрезки 15 и 10, считая от основания. Найдите длину отрезка KA.
Дано: ? BCD - равнобедренный, K є BC, A є DC, BK = 15, KC = 10
Найти: KA
Решение:
1. CD = CB = BK + KC, CD = CB = 15 + 10 = 25
2. CK = CA = 10 (отрезки касательных, проведенные из одной точки), CB = CD, следовательно AD = CD - CA, AD = 25 - 10 = 15
3. BE = BK = 15, DE = DA = 15 (отрезки касательных, проведенные из одной точки), следовательно BD = 15 + 15 = 30
4. ? CKA ~ ? CBD (?C - общий, CK : CB = CA : CD), следовательно KA : BD = CA : CD, KA : 30 = 10 : 25, KA = 10 • 30 : 25 = 12
Ответ: KA = 12
4. Заключение
В процессе работы я расширил знания по теме «Вписанные и описанные окружности в треугольниках и четырехугольниках», научился решать задачи, казавшиеся ранее недоступными, систематизировал знания по этой теме, и закрепил методы решения этих задач на практике.
Так как геометрические задачи этой темы включаются во вторую часть экзаменационной работы ЕГЭ за курс средней школы, то в дальнейшем мне будет намного легче справиться с ними на ЕГЭ.
Список литературы
1. «Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП - М.: Интеллект-Центр, 2006»
2. Мазур К.И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М.И. Сканави»
3. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина «Геометрия, 7 - 9: учебник для общеобразовательных учреждений»
4. Т.А. Корешкова, Ю.А. Глазков, В.В. Мирошин, Н.В. Шевелева «Математика. Единый государственный экзамен 2006. Типовые тестовые задания»
Подобные документы
Определение вписанной и описанной окружности, их свойства и признаки. Взаимное расположение прямой и окружности. Свойства прямоугольного треугольника и теорема Пифагора. Задачи с окружностью, вписанной и описанной в треугольниках и четырехугольниках.
реферат [298,7 K], добавлен 16.06.2009Вписанная и описанная окружности в треугольниках и четырехугольниках, их определение и построение. Теорема Пифагора. Определение площади треугольника, трапеции и параллелограмма. Решение типовых задач по изложенным темам с применением полученных знаний.
реферат [187,3 K], добавлен 28.05.2009Биссектриса треугольника, центр вписанной окружности треугольника, точка Жергонна. Центр тяжести окружности треугольника. Решение задач на применение свойств биссектрисы. Окружность и прямая Эйлера, свойства окружности. Ортоцентр окружности треугольника.
курсовая работа [330,3 K], добавлен 13.05.2015Элементы геометрии треугольника: изогональное и изотомическое сопряжение, замечательные точки и линии. Коники, связанные с треугольником: свойства конических сечений; коники, описанные около треугольника и вписанные в него; применение к решению задач.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 17.06.2012Понятие окружности и круга, основные теоремы и свойства. Касание прямой и окружности, случаи их взаимного расположения. Вписанные и описанные фигуры. Относительное положение двух окружностей. Свойства хорд и расстояние до них. Определение длин и площадей.
презентация [536,1 K], добавлен 16.04.2012Нахождение длины сторон и площади треугольника, координат центра тяжести пирамиды, центра масс тетраэдра. Составление уравнений геометрического места точек, высоты, медианы, биссектрисы внутреннего угла, окружности. Построение системы линейных неравенств.
контрольная работа [1,2 M], добавлен 13.12.2012Ознакомление с формулами длины окружности, площади круга (частью плоскости, ограниченной окружностью) и исходящими из них формулами расчета радиуса, диаметра. Получение навыков применения формул, закрепление полученных знаний в ходе выполнения упражнений.
конспект урока [227,7 K], добавлен 17.05.2010Ознакомление с понятиями синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника и основным тригонометрическим тождеством. Нахождение площади равнобедренного прямоугольного треугольная по заданному основанию и прилегающему к нему углу.
конспект урока [67,9 K], добавлен 17.05.2010Методика нахождения уравнения прямой исследуемого треугольника и параллельной ей стороне с использованием углового коэффициента. Определение уравнения высоты этого треугольника. Порядок и составление алгоритма вычисления площади данного треугольника.
задача [21,9 K], добавлен 08.11.2010Площадь как величина, измеряющая размер площади, ее основные свойства и характеристики. Порядок определения площади треугольника, прямоугольника, четырехугольника, ромба, параллелограмма. Интегральное вычисление как методика определения площади.
презентация [259,4 K], добавлен 13.12.2010
