Методы решений дифференциальных уравнений
Задачи Коши, нахождение решения дифференциального уравнения. Способы получения формулы Эйлера и способы повышения ее точности. Структурная схема системы управления. Построение решения дифференциального уравнения с использованием неявного метода Эйлера.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 16.06.2009 |
| Размер файла | 1,1 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Методы решения дифференциальных уравнений
Неявный метод Эйлера
Рассмотрим следующее уравнение:
(1)
Задачи Коши заключается в нахождении решения уравнения (1) при заданных начальных условиях. Исходной точкой является точка .
Относительно правой части (1) получаем, что она является, по крайней мере, один раз дифференцируемой.
Предположим, что известно решение в точке и требуется найти , где - шаг интегрирования.
Проинтегрируем (1) от до .
(2)
Согласно формуле Ньютона - Лейбница очевидным является следующее равенство:
(3)
Для вычисления интеграла воспользуемся формулой прямоугольника:
(4)
(5)
Данный метод имеет локальную погрешность пропорциональную .
Поскольку локальная погрешность пропорциональна , то шагом к уменьшению погрешности является уменьшение шага.
Недостатком неявного метода является то, что на каждом шаге интегрирования необходимо находить решение как правило нелинейного уравнения. В случае, если исходное ДУ является линейным, можно в явном виде выразить через .
Еще один способ получения формулы Эйлера (5) заключается в разложении функции в ряд Тейлора в окрестности точки .
(7)
Ограничимся двумя слагаемыми:
, где (8)
(9)
Согласно формуле (7) для повышения локальной точности вычисления необходимо учитывать большее количество членов ряда разложения, однако, для нахождения последующих слагаемых больше второго надо находить старшие производные .
Еще одним способом повышения точности формулы Эйлера является использование при вычислении интеграла (2) не формулы прямоугольников, а формулы трапеций.
(10)
(11)
Метод (11) называют методом Эйлера-Коши.
Построение нормальной формы Коши
Рассмотрим ДУ с укороченной правой частью:
(1)
Введем следующие переменные:
(2)
С учетом введенных переменных (2) уравнение (1) запишется в виде:
(3)
(4)
, (5)
(6)
Изменим правую часть:
(7)
Вводим следующие переменные:
(8)
С учетом введенной зависимости (8) уравнение (7) запишется следующим образом:
(9)
Коэффициенты определяются следующим образом:
(10)
Структурная схема системы управления
Структурная схема системы управления может быть представлена в виде рис. 1
Рис. 1 Структурная схема системы управления.
;
;
Воспользовавшись аппаратом структурных преобразований, получим передаточную функцию разомкнутой системы:
Передаточная функция замкнутой системы без регулятора имеет вид:
;
Математическая модель системы управления в нормальной форме Коши
Скалярное уравнение системы управления без регулятора в прямой цепи имеет вид:
Ввиду того, что правая часть ДУ системы является укороченной, для перехода к нормальной форме Коши воспользуемся заменой переменных:
Откуда получаем систему ДУ первого порядка вида:
;
Нормальная форма Коши:
, где
, ,
Проведем анализ полученной системы управления методами Эйлера-Коши и неявным методом Эйлера.
Построение решения ДУ с использованием неявного метода Эйлера
Построим решение полученного ДУ с помощью неявного метода Эйлера и проведем анализ полученных результатов.
Переходная функция системы имеет вид:
При шаге интегрирования, равном получаем
При шаге интегрирования, равном получаем
При шаге интегрирования имеем:
Как видно из графиков, неявный метод Эйлера не дает хорошего приближения численного решения к точному при шаге интегрирования, равном . Уменьшение шага интегрирования на один порядок уменьшает локальную погрешность на два порядка.
Построение решения ДУ с использованием метода Эйлера-Коши
Переходная функция системы имеет вид:
При шаге интегрирования, равном получаем:
При шаге интегрирования, равном получаем:
При шаге интегрирования имеем:
Метод Эйлера-Коши оказался более эффективным, т.к. в нем используется информация о значении функции на предыдущих шагах и он дает локальную погрешность порядка , где - шаг интегрирования, что на порядок выше, чем у неявного метода Эйлера. Оптимальным значением шага интегрирования является значение порядка . Накопление погрешности связано с округлением точного значения переходной функции при применении теоремы разложения.
Подобные документы
Составление уравнения Эйлера, нахождение его общего решения. Нахождение с использованием уравнения Эйлера-Лагранжа оптимального управления, минимизирующего функционал для системы. Использование метода динамического программирования для решения уравнений.
контрольная работа [170,3 K], добавлен 01.04.2010Порядок решения дифференциального уравнения 1-го порядка. Поиск частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего указанным начальным условиям. Особенности применения метода Эйлера. Составление характеристического уравнения матрицы системы.
контрольная работа [332,6 K], добавлен 14.12.2012Составление диагональной системы способом прогонки, нахождение решения задачи Коши для дифференциального уравнения на сетке методом Эйлера и классическим методом Рунге-Кутта. Построение кубического сплайна интерполирующей функции равномерного разбиения.
практическая работа [46,1 K], добавлен 06.06.2011Теоретическое обоснование расчетных формул. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Метод Рунге-Кутта. Ломаная Эйлера. Построение схем различного порядка точности. Выбор шага. Апостериорная оценка погрешности. Правило Рунге.
курсовая работа [111,1 K], добавлен 13.11.2011Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.
курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015Понятие, закономерности формирования и решения дифференциальных уравнений. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. Существующие подходы и методы решения данной задачи, оценка погрешности полученных значений. Листинг программы.
курсовая работа [120,8 K], добавлен 27.01.2014Решение задачи Коши для дифференциального уравнения. Погрешность приближенных решений. Функция, реализующая явный метод Эйлера. Вычисление погрешности по правилу Рунге. Решение дифференциальных уравнений второго порядка. Условие устойчивости для матрицы.
контрольная работа [177,1 K], добавлен 13.06.2012Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной. Применение рекуррентного соотношения. Техника применения метода Эйлера для численного решения уравнения первого порядка. Численные методы, пригодные для решения задачи Коши.
реферат [183,1 K], добавлен 24.08.2015Общая характеристика и особенности двух методов решения обычных дифференциальных уравнений – Эйлера первого порядка точности и Рунге-Кутта четвёртого порядка точности. Листинг программы для решения обычного дифференциального уравнения в Visual Basic.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 04.06.2010Порядок и процедура поиска решения дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка, с разделяющими переменными.
лекция [744,1 K], добавлен 24.11.2010
