Финансовая математика

12

1. (стр. 16 - №10) В векселе содержится обязательство выплатить 600000 руб. и обыкновенный простой процент при норме 5,5% через 60 дней. Он был дисконтирован при 6% банковского дисконта за 20 дней до погашения. Найти сумму погашения векселя и выручку от продажи.

Решение:

1. Основная сумма P = 600000 (руб.)

норма процента за 1 год r = 5,5 % = 0,055

продолжительность периода времени в годах t = 60 дней = 60/365 = 0,164

Процент погашения простого векселя составляет:

(руб.)

2. Тогда итоговая сумма составляет:

3. Пусть S - сумма погашения,

норма дисконта за 1 год d = 6% = 0,06

продолжительность периода времени в годах t =20 (дней) = 20/365 = 0,055

Дисконт начисляется следующим образом:

4. Выручка от продажи составляет:

Ответ: Сумма погашения S=605424,66 (руб.)

Выручка от продажи P = 603426,76 (руб.)

стр.38 - 13, 16, 18, 21.

13. Найти датированную стоимость на настоящее время для следующего набора активов: 4 облигации по 1 млн руб с датами погашения через 3, 6, 9 и 12 месяцев, если деньги стоят j₄ = 4% .

Решение:

1 шаг: Замена нормы j₄ = 4% на конвертируемую поквартально, так как заданное время 3, 6, 9 и 12 месяцев

2 шаг:

Дата погашения	3 месяца	6 месяцев	9 месяцев	12 месяцев
1 облигация	1 009 853,41
2 облигация		1 019 803,903
3 облигация			1 029 852,45
4 облигация				1 040 00,00
Итого:

S1=1 000 000 *(1+0,04)^3/48 = 1 002 454,301 (руб.)

S2=1 000 000 *(1+0,04)^6/48 = 1 004 914,626 (руб.)

S3=1 000 000 *(1+0,04)^9/48 = 1 007 380,990 (руб.)

S4=1 000 000 *(1+0,04)^12/48 = 1 009 853,407 (руб.)

Итого: S = S1+S2+S3+S4 = 4024603,324 (руб.)

Ответ: S = 4024603,324 (руб.)

16. Найти номинальную ставку для m = 12, при которой 5 млн руб на конец 5 лет эквивалентны 15 млн руб в конце 25 лет.

Решение:

m - количество периодов конверсии за 1 год = 12

j - норма процента, которая конвертируется m раз в году.

i - норма процента за период конверсии: всегда i = j/m.

Сумма, которую накопит 1 руб. за 1 год при норме j , конвертируемой m раз, равна (1 + i)^m , где i = j/m .

Таким образом,

18. Некто занял 50 млн руб. сегодня при j₄ = 5,5% . Он обещает возместить 10 млн рб через год, 20 млн рб через два года и остальное в конце третьего года. Каким будет это последнее возмещение ?

Решение:

Первый способ:

Определим итоговую сумму погашения

при условиях: P=50 млн. руб.

i = 5,5 % = 0,055

n = 3 года

Таким образом, если S1 = 10 000 000 руб. и S2 = 20 000 000 руб., то

S3 = S - (S1+S2) = 52 048 635,56 - 30 000 000 = 22 048 635,56 руб.

Второй способ:

1) Сумма погашения за 1 год составит

2) Клиент выплатил 10 000 000 , следовательно оставшаяся сумма составляет

50673758,72 - 10000000 = 40673758,72 руб.

- сумма погашения за 2 год

3) Клиент выплатил 20 000 000 , следовательно оставшаяся сумма составляет

- 20000000 = руб.

руб. - сумма последнего погашения

Ответ:

1 способ: 22 048 635,56 руб.

2 способ: 21507812,78 руб.

21. Петров делал следующие вклады в сберегательный банк, который начисляет проценты в соответствии со ставкой j₂ = 2,25% : 10 млн руб. пять лет назад и 5 млн руб. три года назад. Он брал со счета 2 млн руб. год назад и планирует взять остальную сумму через год. Какую сумму он получит?

Решение:

Выберем в качестве даты сравнения настоящее время.

- общий итог суммы вклада на сегодняшний день

Так как Петров брал со счета 2 млн руб. год назад, то общая сумма итога год назад составляла

- остаток суммы вклада год назад

При той же ставке j₂ = 2,25% через год общая сумма вклада составит:

Ответ: сумма денег, которую получит Петров.

стр.63 - 3.

3. Какие одинаковые платежи в конце каждого квартала в течение 20 лет обеспечили бы приобретение дома, который стоит 200 млн руб. наличными, если процентная ставка j₄ = 5% ?

Решение:

Количество периодов - 4 (квартала в год) * 20 (лет) = 80

j₄ = 5% = 0,05

- стоимость дома через 20 лет при процентной ставке j₄ = 5%

Ответ: 3 190 703,91 руб. сумма эквивалентных платежей в конце каждого квартала в течении 20 лет.

стр.76 - 12,14,19.

12. Цена автомобиля равна 27,5 млн руб. наличными. Покупателю дается кредит на эту покупку за 9,5 млн руб. Расчет должен быть произведен за 30 месяцев равными ежемесячными взносами. Какими будут эти платежи, если процентная ставка равна 5% годовых ?

Решение:

Положим, что первый платеж за автомобиль - сумма предоставленного кредита 9,5 млн. руб. Тогда остаточная сумма платежа за автомобиль оставляет

27,5 млн. руб - 9,5 млн. руб = 18 млн. руб.

Сумма взноса за 30 месяцев при ставке j₁ = 5% составляет

Сумма ежемесячного взноса составляет

Ответ:

14. Долг 100 млн. руб. выплачивается посредством 48 равных ежемесячных взносов, первый делается через 25 месяцев от сегодняшнего дня. Какими будут платежи, если процентная ставка равна j₂ = 5% .

Решение:

Первая выплата взноса попадает на начало 25-го месяца, а последняя

должна быть сделана на начало 73-го месяца = 25 + 48,

Выпишем уравнение эквивалентности на дату сравнения на начало 25-го месяца.

S₂₅ = 100 млн. * (1,005)^25/2 = 100 млн. * 1,84 = 184,02 (млн. руб.)

S ₇₃= 100 млн. * (1,005)^73/2 = 100 млн. * 5,94 = 594,42 (млн. руб.)

R = (594,42 - 184,02) / 48 = 8,65(млн. руб.)

Ответ: Сумма платежа составляет 8,65(млн. руб.)

19. Сколько ежемесячных платежей по 1 млн руб. необходимо, чтобы выплатить долг 40 млн руб., если процентная ставка равна 5% годовых ?

Решение:

A - настоящая стоимость

S - итоговая сумма

R - стоимость периодического платежа

i - норма процента за интервал платежа полагающегося аннуитета из n платежей

По условию задачи:

j₁ = 5% = 0,05

40 млн.руб. = 1 млн. руб. x a _n|5%

Таким образом, необходимо сделать 22 платежа суммой 1 млн. руб. и последний платеж 23-ий будет меньше.

стр.112 - 2,4.

2. Сравнить при эффективных 4% капитализированные стоимости следующих двух машин: машина А стоит 50 млн рб и через 20 лет полностью теряет свою стоимость; машина В стоит 75 млн рб и будет стоить 5 млн рб через 25 лет.

Решение:

Капитализированная стоимость машины А составляет

R = W/ a_{20 | 4%} =50/ a_{20 | 4%} = 50 /[(1+0,04)²⁰ - 1]/0,04 = 50 / 29,78 = 1,68

Капитализированная стоимость машины B составляет

R = W/ a_{25 | 4%} =75/ a_{25 | 4%} = 75 /[(1+0,04)²⁵ - 1]/0,04 = 75 / 41,64 = 1,8

4. Иванов желает красить свой дом. Если использовать покраску класса А, она будет стоить 5 млн руб. и продержится 4 года. Если использовать покраску класса В, она будет стоить 4 млн рб и продержится 3 года. Какой вариант будет дешевле, если деньги стоят 3% эффективно ?

Решение:

Определим

Покраска дома класса А: 5 млн. руб х (1+0,03)⁴ = 5,628 (млн. руб)

Покраска дома класса В: 4 млн. руб х (1+0,03)³ = 4,371 (млн. руб)

Таким образом, покраска дома класса А - дешевый вариант

стр.150 - 1,5.

1. Машина стоит 100 млн рб и может быть сдана в металлолом через 5 лет на сумму 20 млн рб. Рассчитать расписание обесценивания машины

а) линейным методом,

б) методом погасительного фонда при стоимости денег 5% эффективных,

в) методом суммирования до целого.

Решение:

1) Линейный метод

Так как машина обесценивается на 100 - 20 = 80 млн руб. за 5- летний период, среднее обесценивание за каждый год равно 80 / 5 = 16 млн рб/год. Поэтому расписание обесценивания составляется путем уменьшения цены машины на 16 млн руб. в каждом году и увеличением обесценивания на ту же самую величину.

Конец года	Годовое обесценивание	Полное обесценивание	Цена
0	0	0	100
1	16	16	84
2	16	32	68
3	16	48	52
4	16	64	36
5	16	80	20

2) Метод погасительного фонда при стоимости

денег 5% эффективных

Так как полное обесценивание равно 80 млн. руб., то погасительный фонд за 5 лет должен накопить эту сумму, так что

R s _{5|5 %} = 80 млн. руб.

R = 80 / s _5|5% = 80 / [(1+0,05)⁵-1)/0,05] = 14,478 млн. руб.

Расписание теперь выглядит следующим образом

Год	Взнос	Процент фонда	Ежегодное обесценивание	Полное обесценивание	Цена
0	0	0	0	0	100
1	14,478	0,000	14,478	14,478	85,522
2	14,478	0,724	15,202	29,680	70,320
3	14,478	1,484	15,962	45,642	54,358
4	14,478	2,282	16,760	62,402	37,598
5	14,478	3,120	17,598	80,000	20

3) Метод суммирования до целого

Пусть s будет суммой целых чисел от 1 до n , где n будет продолжительностью использования машины. В нашем случае n = 5 и s = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 . Далее образуем дроби 5/15, 4/15, 3/15, 2/15 и 1/15 . Заметим, что числители являются целыми числами 1, 2, 3, 4, и 5 в обратном порядке. Теперь для получения стоимости ежегодного обесценивания умножим полное обесценивание 80 млн. руб. на эти дроби.

Таким образом, расписание обесценивания выглядит так :

Год	Ежегодное обесценивание	Полное обесценивание	Цена
1	26,667	26,667	73,333
2	21,333	48,000	52,000
3	16,000	64,000	36,000
4	10,667	74,667	25,333
5	5,333	80,000	20,000

5. Машина такси, стоящая 45 млн руб. будет обесцениваться до 5 млн руб. к концу третьего года. Найти норму обесценивания и рассчитать его расписание.

Решение:

Пусть d - постоянная норма обесценивания и

Bk - книжной ценой в конце k лет.

Каждая новая книжная цена равна

Так как k = 3 годам, и B₃ = 5 млн. руб. и первоначальная стоимость С = 45 млн. руб.

Расписание выглядит следующим образом

Год	Ежегодное обесценивание	Полное обесценивание	Цена
1	45*0,52=21,634	21,634	23,366
2	45*0,522=10,400	32,034	12,966
3	45*0,523= 5	37,034	7,966

стр. 171 - 5.

5. Оформляется контракт, по которому выплачивается 500 тыс руб. в конце каждого месяца первого года, 450 тыс руб. в конце каждого месяца вторjго года, и т.д. Ежемесячные платежи каждого последующего года на 50 тыс руб. меньше ежемесячных платежей предыдущего года в течение полных 10 лет. Найти настоящую стоимость этого контракта, если деньги стоят 6% , m = 12. (Указание: учесть, что суммы каждого из 10 обыкновенных аннуитетов образуют уменьшающийся аннуитет.)

S _{1/12| 6%} = ((1+0,06)^1/12 -1)/0,06 = 0,081

	W	R
1	500	6 163,26
2	450	5 546,94
3	400	4 930,61
4	350	4 314,28
5	300	3 697,96
6	250	3 081,63
7	200	2 465,31
8	150	1 848,98
9	100	1 232,65
10	50	616,33
	Сумма	33 897,95