Інтегральні нерівності: лема Гронуола – Беллмана
Загальні поняття інтегральних нерівностей в теорії диференціальних рівнянь: лема Гронуола – Беллмана та її частинний випадок, дослідження єдиності розв`язку задачі Коші, узагальнення і посилення леми. Умови Ліпшиця та Пікара при доведенні теореми.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 14.06.2009 |
| Размер файла | 87,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
18
Міністерство освіти України
Ніжинський державний педагогічний університет
імені Миколи Гоголя
Кафедра вищої математики
Потороча Володимир Володимирович
Інтегральні нерівністі
Спеціальність - 7.010103 математика та основи інформатики
Курсова робота з математичного аналізу
Науковий керівник:
кандидат фізико-математичних наук
доцент Старун І.І.
Ніжин - 2002
Зміст
Вступ
Загальні поняття
Лема Гронуола - Беллмана
Частинний випадок леми Гронуола - Беллмана
Застосування леми Гронуола - Беллмана для дослідження єдиності розв`язку задачі Коші
Посилення леми Гронуола - Беллмана
Узагальнення леми Гронуола - Беллмана
Вступ
До розгляду інтегральних нерівністей та їх розв`язків приводять багато задач, що зустрічаються в теорії диференціальних рівнянь , наприклад, при доведенні єдиності роз`вязку задачі Коші, для одержання фундаментальної нерівністі в теорії диференціальних рівнянь, що оцінює різницю двох наближених розв`язків та як частинний випадок різницю між точним та наближеними розв`язками, та в ряді інших задач.
§ 1. Загальні поняття
Означення 1: Інтегральною нерівністю називають нерівність виду:
,
в якій невідома функція u(t) міститься під знаком інтеграла, c(t), a(t), b(t), F - задані функції.
Означення 2: Лінійною інтегральною нерівністю називаєтєся нерівність в якій невідома функція міститься під знаком інтеграла лінійно:
Теорія інтегральних нерівністей, одержала розвиток у фундаментальних працях Гронуола, Беллмана, Чаплигіна та інших.
Одна із інтегральних нерівністей, яка широко використовується в теорії диференціальних рівнянь, є нерівністю Гронуола - Беллмана.
( 1 )
§ 2. Лема Гронуола - Беллмана.
Лема I (Гронуола - Беллмана.) Нехай в нерівністі
u(t)0 і f(t)0 при t to і u(t), f(t) C[to,), де с - довільна стала. Тоді дана нерівність має розв`язок
.
Доведення: Поділивши обидві частини нерівності (1) на , отримаємо:
. ( 2 )
Оскільки f(t)0, то помноживши ліву та праву частини на f(t) , отримаємо рівносильну нерівність:
. ( 3 )
Легко бачити, що
,
тому нерівність (3) матиме вигляд:
.
Проінтегрувавши ліву і праву частини останньої нерівністі в межах від tо до t, отримаємо:
, ( 4 )
або
.
Поклавши t=tо , отримаємо с=с1. Оскільки , тому маємо:
,
що й треба було довести.
§ 3. Частинний випадок леми Гронуола - Беллмана.
Лема 2: Нехай u(t)0 u(t)C[to , to+T] , а f(t)=B=const, причому
(5)
тоді справедлива нерівність
, ( t > to.)
Доведення:
Поділимо обидві частини нерівністі (5) на , отримаємо:
.
Оскільки В0, то помноживши ліву та праву частини на В , отримаємо рівносильну нерівність:
.
Легко бачити, що
,
тому остання нерівність матиме вигляд:
.
Проінтегруємо ліву і праву частини останньої нерівністі в межах від tо до t:
,
або
.
Покладемо t=tо ,тоді отримаємо с=с1. Оскільки за умовою леми , тому маємо:
.
Лема доведена.
Наслідок: Нехай u(t)0 u(t)C[to , to+T] , а f(t)=B=const, і с=0 причому
, тоді u(t)0.
Доведення:
Оскільки функція u(t) задовольняє умові леми 2, то:
( t > to)
Оскільки с = 0 , то підставивши значення с=0 в отанню нерівність, одержимо: , але за умовою , отже .
Що й треба було довести.
Лема 3: Нехай u(t)0 u(t)C[to-T , to+T] , а f(t)=B=const, і с0 і B>0 причому , тоді
.
§ 4. Застосування леми Гронуола - Беллмана для дослідження єдиності розв`язку задачі Коші.
Розглянемо задачу Коші:
де f(t) - функція, яка визначена в прямокутнику:
.
Коли мова йде про єдиність розв`язку задачі Коші, то повинна виконуватись умова теореми Пікара про єдиність та існування розв`язку диференціального рівняння.
Таким чином покладемо, що f(t,x)СП і задовольняє умові Ліпшиця по х з сталою L :
.
Нехай y - другий розв`язок задачі Коші , який задовольняє тій же початковій умові:
Тоді x(t)=y(t).
Розв`язок задачі Коші:
Застосуємо до (8) , (9) , (10) , (11) лему про еквівалентність. В результаті одержуємо:
та
.
Звідси випливає:
.
Нехай
,
Тоді
(12).
Отримана нерівність є частинним випадком нерівністі Гронyола - Беллмана при умові, що с=0. Отже, маємо, що u(t)0, тобто x(t)y(t).
§ 5. Посилення леми Гронуола - Беллмана.
Лема 4: Нехай функція u(t)0 u(t)C[to , to+T] і задавольняє нерівність:
, (1)
де с0, В0, >0. Тоді на цьому проміжку справедлива нерівність:
. (2)
Доведення :
Покладемо
,
.
Отже (1) матиме вигляд:
.
Помножимо обидві частини на і проінтегруємо в межах від to до t:
Оскільки: =.
.
=== =
В результаті одержимо:
.
Помножимо обидві частини останньої нерівністі на , одержимо:
.
Оскільки , то
.
Розглянемо нерівність:
,
підставимо замість виразу , вираз :
,
тоді одержимо:
Аналогічно доведемо, для t - to< 0. Нерівність (1) матиме вигляд :
,
а нерівність (2) :
.
§6. Узагальнення леми Гронуола - Беллмана.
Узагальнення леми Гронуола - Беллмана полягає у тому, що доводиться лема Гронуола-Беллмана, при C = C ( t ) .
Лема 5: Нехай задана інтегральна нерівність
, (1)
де u(t)0 і f(t)0 u(t),f(t)C[to , ] - неперервні і невід`ємні функції , B>0 ,c(t) - додатня функція, тоді дана інтегральна нерівність має розв`язок:
. (2)
Доведення:
Нехай
,
де t > to , тоді (1) запишемо у вигляді:
() ,
помножимо обидві частини (*) на , отримаємо:
,
або
.
Проінтегруємо останню нерівність в межах від t до to:
,
або
.
Проінтегруємо цю нерівність за частинами. Нехай
, а ,
тоді
==.
Отже,
(4) .
З () випливає, що
,
підставивши замість F(t) нерівність (4), отримаємо:
,
або
.
Аналогічно доводимо, що дана нерівність має місце при . Обєднавши, одержимо нерівність:
, ( t I).
Таким чином, справедлива наступна лема.
Лема 6: (Узагальненна лема Гронуола - Беллмана.)
Нехай в нерівністі (2) , c(t)0 - неперервна диференційовна на проміжку I функція, а В - довільна додатня стала, тоді має місце нерівність (4).
Література
1. Демидович Б.П. Лекции по математической тиории устойчивости. -М.: Наука, 1967. - 472с.
2. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. - М.: ИЛ , 1954. - 210 с.
3. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: “Мир”, 1970. - 720 с.
4. Еругин Н.П. и др. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. - К.: Вища шк., 1974 - 471 с.
Подобные документы
Вивчення теорії інтегральних нерівностей типу Біхарі для неперервних і розривних функцій та її застосування. Розгляд леми Гронуолла–Беллмана–Бiхарi для нелiнiйних iнтегро-сумарних нерiвностей. Критерій стійкості автономної системи диференціальних рівнянь.
курсовая работа [121,7 K], добавлен 21.04.2015Поняття диференціальних рівнянь. Задача Коші і крайова задача. Класифікація методів для задачі Коші. Похибка методу Ейлера. Модифікований метод Ейлера-Коші. Пошук рішення задачі однокроковим методом Ейлера. Порівняння чисельного рішення з точним рішенням.
презентация [294,4 K], добавлен 06.02.2014Загальні властивості диференціальних рівнянь Ріккаті. Прості випадки інтегрованості в квадратурах. Побудова загального розв’язку у випадку, коли відомий один частинний розв’язок. Структура загального розв’язку, коли відомо два або три частинних розв’язки.
курсовая работа [134,0 K], добавлен 22.01.2013Чисельні методи рішення диференціальних рівнянь у частинних похідних 2-го порядку, початкові і крайові умови. Метод сіток та представлення часткових похідних у скінчено-різницевому вигляді. Структура похибки розв'язку задачі, стійкість і коректність.
курсовая работа [986,6 K], добавлен 22.08.2010Етапи розв'язування задачі дослідження певного фізичного явища чи процесу, зведення її до диференціального рівняння. Методика та схема складання диференціальних рівнянь. Приклади розв'язування прикладних задач за допомогою диференціального рівняння.
контрольная работа [723,3 K], добавлен 07.01.2016Загальні відомості про раціональні нерівності, теореми про рівносильність нерівностей. Методи розв'язування раціональних нерівностей вищих степенів узвгальненим методом інтервалів, методом заміни змінної. Розв'язування дробово-раціональних нерівностей.
курсовая работа [774,9 K], добавлен 01.04.2010Аналіз найвідоміших методів розв’язування звичайних диференціальних рівнянь і їх систем, користуючись рекомендованою літературою. Розробка відповідної схеми алгоритму. Розв’язання системи звичайних диференціальних рівнянь в за допомогою MathCAD.
лабораторная работа [412,4 K], добавлен 21.10.2014Вивчення методів розв'язання лінійної крайової задачі комбінуванням двох задач Коші. Переваги та недоліки інших методів: прицілювання, колокацій, Гальоркіна, найменших квадратів та ін. Пошук єдиного розв'язку звичайного диференціального рівняння.
курсовая работа [419,2 K], добавлен 29.08.2010Задача Коші і крайова задача. Двоточкова крайова задача для диференціального рівняння другого порядку. Види граничних умов. Метод, заснований на заміні розв’язку крайової задачі розв’язком декількох задач Коші. Розв'язування систем нелінійних рівнянь.
презентация [86,2 K], добавлен 06.02.2014Розгляд крайової задачі для нелінійного рівняння другого порядку. Вивчення різницевого методу розв'язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Метод прогонки - окремий випадок методу Гауса. Програма на алгоритмічній мові Turbo Pascal.
курсовая работа [49,7 K], добавлен 10.04.2011
