§1. Поняття метричного простору

Одним з найважливіших понять в математичному аналізі є поняття граничного переходу; воно лежить в основі таких фундаментальних для аналізу операцій, як диференціювання і інтегрування. За означенням (§ 2.2) послідовність дійсних чисел х_n має границею число а, якщо відстань між х_n і а, тобто модуль різниці х_n - а, прямує до нуля при . Таким чином, поняття граничного переходу ґрунтується на можливості вимірювати відстані між точками дійсної осі. Аналогічно поняття граничного переходу на площині чи в просторі ґрунтується на можливості вимірювати відстані між точками у відповідних множинах. Ми введемо дані поняття метричного простору; так буде називатися сукупність об'єктів, для яких вказані взаємні “відстані”, які задовольняють деяким природним умовам. Наявність відстаней дає змогу ввести і вивчити властивості граничного переходу “в чистому вигляді”, тобто незалежно від природи елементів, що беруть участь в усій побудові.

Означення 1. Довільна множина М елементів (“точок”) x, y, z, … називається метричним простором, якщо для будь-яких двох елементів ставиться у відповідність число (“відстань від x до у”, або метрика) і при цьому виконуються умови (аксіоми):

1) (аксіома симетрії);

2) ;

3) (аксіома трикутника).

Приклади.

1.

2.

3.

4. М - множина обмежених числових послідовностей, Цей простір позначається буквою m.

5. М - множина числових послідовностей , що задовольняють умову Цей простір позначається буквою l.

6. М - множина неперервних на функцій, . Цей простір позначається .

Зауваження. З означення метричного простору випливає така властивість метрики: якщо , де - довільне, як завгодно мале число, то х = у.

Задача 1. Довести цей факт.

Означення 2. Множина всіх елементів , що задовольняють нерівності , називається відкритою кулею радіуса r з центром в точці х₀, або околом точки х₀; - замкнута куля; - сфера.

Означення 3. Точка називається внутрішньою точкою L, якщо вона належить L разом з деяким околом.

Означення 4. Множина, всі точки якої внутрішні, називається відкритою.

§2. Збіжність послідовностей

Означення 5. Послідовність точок метричного простору М називається збіжною до точки ,якщо

(1)

тобто, якщо для . (2)

Точку при цьому називатимемо границею послідовності і записуватимемо , або

З'ясуємо зміст збіжності послідовності точок наприклад в просторі (приклад 3 § 12.1). Нехай функціональна послідовність збігається до функції . Тоді для тобто для , а це означає (§ 4.2), що послідовність збігається до рівномірно на .

Збіжні послідовності точок у метричному просторі мають ряд властивостей, відмітимо деякі з них.

Теорема 1. (про єдність границі). Якщо послідовність має границю, то вона єдина.

Доведення.

Припустимо, що і . Тоді для , тому

і (задача 1) звідси випливає, що .

Теорема 2. Якщо послідовність збігається до точки , то будь-яка послідовність послідовності збігається до тієї ж точки .

Доведення.

Якщо , то будучи підпослідовністю збіжної до нуля числової послідовності теж збігається до нуля, тобто

Л е м а 1. Для будь-яких чотирьох точок справедлива нерівність (нерівність чотирикутника)

. (3)

Доведення.

За аксіомою трикутника

. (4)

Помінявши місцями і , і , дістанемо

. (5)

З (4) і (5) і випливає (3).

Теорема 3. (про неперервність метрики). Якщо то .

Доведення. За лемою 1

Означення 6. Множина називається обмеженою, якщо вона лежить всередині кулі скінченного радіуса з центром в фіксованій точці.

Теорема 4. Всяка збіжна послідовність точок обмежена.

Доведення. Оскільки , то і, отже, де - стале число. Якщо - довільний фіксований елемент простору М, то Отже всі точки містяться в кулі з центром в точці радіуса С.

§3. Фундаментальні послідовності.

Повні метричні простори.

Означення 7. Послідовність метричного простору М називається фундаментальною, якщо для

(1)

Означення 7'. . Послідовність метричного простору М називається фундаментальною, якщо для

(2)

Задача 2. Доведіть еквівалентність означень 7 і 7'.

Теорема 5. Кожна збіжна в даному просторі М послідовність є фундаментальною.

Доведення. Нехай . , для А тому

Зауваження. В § 2.8. показано, що має місце і твердження, обернене до теореми 5, тобто будь-яка фундаментальна послідовність дійсних чисел є збіжною. Проте в довільному метричному просторі критерій Коші (теорема 2.3 з § 2.8) не виконується.

Задача 3. Нехай . Покажіть: а) послідовність - фундаментальна; б) послідовність не є збіжною в просторі .

Таким чином , в довільному метричному просторі не можна вважати, що виконується критерій Коші. Якщо в деяких конкретних метричних просторах критерій Коші все ж виконується, то це відбувається в силу специфічних властивостей цих просторів. Клас таких просторів ми виділимо згідно наступного означення.

Означення 8. Метричний простір М називається повним, якщо в ньому довільна фундаментальна послідовність є збіжною.

П р и к д а д и.

1. Цей простір повний згідно § 2.8.

2. . Нехай - фундаментальна, тоді , тобто для . А виконання останньої нерівності означає (§ 4.2), що для послідовності виконується критерій Коші рівномірної збіжності . Оскільки ж , то згідно теореми 4.2' (§ 4.3) функція , тобто фундаментальна послідовність збігається в просторі , а тому цей простір є повним.

§4. Принцип стиснутих відображень

Означення 9. Якщо кожному елементу за певним правилом А ставиться у відповідність елемент , то говорять, що задано відображення А метричного простору М в себе, або, що задано оператор А, що діє з М в М' і записують

. (1)

Приклади.

1.

2. .

3. .

4.

Означення 10. Відображення А називається відображенням стиску, якщо для

. (1)

Означення 11. Точка називається нерухомою точкою оператора А, якщо .

Теорема 6. (принцип стиснутих відображень - теорема Банаха) . Якщо оператор стиску А відображає повний метричний простір М в себе, то він має єдину нерухому точку.

Доведення. Нехай - довільний елемент. Утворимо послідовність :

(2)

.

Покажемо, що послідовність фундаментальна. Візьмемо два довільних сусідніх елементи послідовності (2) тоді

А тому

. Оскільки , то , а тому для що і означає, що послідовність (2) фундаментальна. Оскільки М - новий метричний простір, то послідовність (2) збігається, тобто існує , або ж

 , (3)

тобто для .

Покажемо, що у - нерухома точка.

(4)

З (3), (4) теореми 12.1 випливає, що

Покажемо, нарешті, що така точка єдина. Нехай оператор А має дві нерухомі точки і , тобто Тоді . І оскільки , то поділивши останню нерівність на це число, одержимо , що неможливо.

Зауваження. Доведена теорема не лише стверджує існування та єдність нерухомої точки, а й дає практичний метод її знаходження - метод послідовних наближень. А саме, щоб знайти нерухому точку стиснутого відображення А, що діє в повному метричному просторі М, досить взяти довільний елемент , побудувати послідовність за правилом (2) і знайти границю цієї послідовності - це і є шукана нерухома точка.

§5. Простір “R”

Розглянемо n - вимірний координатний простір , елементами якого

є впорядковані сукупності дійсних чисел (надалі будемо записувати ). Введемо в цьому просторі метрику за формулою

(1)

і покажемо, що цей простір є метричним.

Перші дві аксіоми метричного простору очевидні, тому залишається перевірити виконання аксіоми трикутника. Для цього використаємо нерівність Коші-Бунаковського

, (2)

чи

. (2')

Задача 4. Довести нерівність (2), розглянувши функцію .

Нехай - довільні елементи простору . Тоді, згідно (1),

,

звідки і випливає, що . Координатний простір з метрикою (1) позначається .

Розглянемо деякі множини точок простору .

Означення 12. Прямокутним околом (n- вимірним паралелепіпедом) точки називається множина всіх точок , координати яких задовольняють нерівностям

де - сталі числа. При маємо -окіл.

Означення 13. Кульовим околом точки Х₀ називається множина всіх точок , що задовольняють нерівності

,

де - стале число. При маємо -окіл.

Зауваження. Можна показати, що якщо існує прямокутний (кульовий) окіл точки Х₀ , то існує і кульовий (прямокутний) окіл.

Означення 14. Неперервною кривою в називається множина всіх точок цього простору координати яких є неперервними функціями параметра :

Означення 15. Відкрита множина , будь-які дві точки якої можна з'єднати неперервною кривою, що належить , називається областю.

Означення 16. Точка М називається межовою (пограничною) точкою області , якщо в будь-якому околі точки є точки як належні , так і не належні цій області. Множину всіх межових точок області називають границею (межею) області.

Означення 17. Замкнутою областю називається об'єднання області і її границі.

Означення 18. Обмежена замкнута область називається компактом.

Розглянемо тепер питання збіжності в . Нехай - послідовність точок простору , - фіксована точка цього простору. Нехай , . За означенням 5 точка буде границею при , якщо для

. (3)

Має місце наступна теорема.

Теорема 7. Для того щоб послідовність збігалася до необхідно і достатньо щоб збігалися числові послідовності

. (4)

Доведення. Необхідна умова. Нехай . Тоді виконується нерівність (3), звідки випливає виконання нерівностей

, (5)

що і означає (4).

Достатня умова. Нехай існують границі (4) і нехай . Тоді, виходячи з означення границі числової послідовності (§ 2.2), для числа . А тоді

Зауваження. Доведена теорема показує, що в збіжність по координатна. А оскільки для числових послідовностей виконується критерій Коші, то будь-яка фундаментальна послідовність є повним метричним простором.

§6. Поняття функції n змінних

Нехай .

Означення 19. Якщо кожній точці за певним правилом ставиться у відповідність число то говорять, що на множині визначена функція

Множина називається областю визначення функції, а множина - областю значень функції.

При

при

при

Приклади.

1. Областю визначення є множина всіх , що задовольняють умові , тобто - круг радіуса 2 з центром в початку координат, а область значень - сегмент .

2. Область визначення - множина точок, що лежать зовні круга радіуса 2 з центром в початку координат, а область значень - півпряма .

Вияснимо геометричний зміст функції двох змінних. Нехай функція визначена в області . Кожній точці відповідає число і точка в просторі . Множина всіх таких точок простору , при умові, що точка М пробігає область , називається графіком функції . І це буде, взагалі кажучи, деяка поверхня, проекція якої на площину (простір ) є область .

Так графіком функції є верхня частина сфери (півсфера), а графіком функції є параболоїд обертання.

Графік функції двох змінних допоможе з'ясувати деякі особливості цієї функції. Однак накреслити такий графік - не завжди проста справа. Її графіка звертається до так званих ліній рівня.

Означення 20. Множина всіх точок з області визначення функції , що задовольняють рівності , називається лінією рівня.

Беручи різні значення с з області значень функції, будемо мати, взагалі кажучи, різні криві на площині (сім'ю ліній рівня), яка є плоским графіком функції . Наприклад, розглянемо функцію Вона може набувати значень, що належать відрізку . Тому за число с можемо взяти будь-яке число з цього відрізка. Взявши , одержимо чотири лінії рівня , перші три з яких є концентричними колами з центром в початку координат і радіусами (мал.. 12.1), а четверта - точка (0;0).

По розміщенню ліній рівня на площині можна судити про швидкість зростання функції - чим густіше розміщені лінії, тим швидше росте функція.

Аналогічним чином для функції 3-х змінних вводиться поняття поверхонь рівня : .

§7. Границя функції

Нехай функція визначена на множині , а - гранична точка цієї множини (вона може як належати , так і не належати їй).

Означення 21. (Границі функції в точці за Коші). Число називається границею функції в точці , якщо для таке, що для

. (1)

Для позначення границі функції використовується така символіка:

 (2)

Означення 21'(границі функції в точці за Гейне). Число називається границею функції в точці , якщо із збіжності довільної послідовності до випливає збіжність послідовності до

Як і в § 3.3 можна показати, що ці два означення границі рівносильні.

Границю (2) називають ще -кратною границею функції:

Введемо тепер поняття границі функції при , при цьому символ розуміється наступним чином: принаймні одна з координат

Означення 22. Число називається границею функції при , якщо для таке, що для

Це символічно записується так

,

або .

Як і для функцій однієї змінної мають місце наступні властивості:

1. Якщо функція в точці має границю, то ця границя єдина.

2. Якщо функція в точці має границю, то в певному околі цієї точки вона обмежена.

3. Якщо в околі точки і , то і .

4. Якщо функції і в точці мають границі і відповідно, то функції мають в точці границі, що відповідно дорівнюють (при умові ).

§8. Повторні границі

В попередньому параграфі ми ввели поняття -кратної границі функції (2). Але для функції кількох змінних можна ввести поняття границі по одній з змінних при фіксованих значеннях решти змінних. В зв'язку з цим виникає поняття повторних границь. Вияснимо це поняття на прикладі функції 2-х змінних. Нехай функція визначена в деякому околі точки за винятком, може, самої точки . Нехай при довільному існує

(1)

і нехай існує

Тоді число називають повторною границею функції і позначається

. (2)

Аналогічно визначається границя при фіксова

ному х

(3)

та повторна границя

. (4)

Таким чином, поряд з подвійною границею

(5)

розглядаються дві повторні границі (2), (4).

Має місце наступне твердження (достатні умови рівності повторних границь), яке приймемо без доведення.