Доказательство гипотезы Биля

4

Доказательство гипотезы Биля

Гипотеза Биля формулируется следующим образом: неопределенное уравнение (http://soluvel.okis.ru/vertex.html):

А^x +В^y= С^z /1/

не имеет решения в целых положительных числах А, В, С, x, y и z при условии, что x, y и z больше 2, а А, В и С взаимно простые числа, т. е. числа, общим наибольшим делителем которых является единица.

Суть гипотезы Биля не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:

А^x = С^z - В^y /2/

Как из уравнения /1/, так и из уравнения /2/ с очевидностью следуют такие сочетания четных и нечетных значений чисел А, В и С:

- все три числа могут быть четными;

- одно число может быть четным, а два другие - нечетными.

Все три числа не могут быть нечетными числами.

Рассмотрим возможные решения уравнения /2/ в числах.

1. Решение уравнения /2/:

А^x = С^z - В^y

при условии, что x, y и z - четные числа, т.е.:

х=2к; y=2m; z=2n.

В этом случае:

А^х = А^2к=С²ⁿ - В^2m=(Сⁿ)² - (В^m)² /3/

А^х = (А^к)²=(Сⁿ)² - (В^m)²/4/

Обозначим:

В^m=Х /5/

Сⁿ =Y /6/

Отсюда:

В^y =Х² /7/

С^z =Y² /8/

В = /9/

С = /10/

Тогда из уравнений /2/, /7/ и /8/ следует:

А^x = С^z - В^y=Y²-Х² /11/

т.е. любое целое положительное число A в степени x=2к, большей двух, равно разности квадратов двух чисел Y и X. При этом полагаем, что числа Х и Y должны быть целыми положительными числами. При этом значения чисел Х и Y зависят только от значения числа А и показателя степени х и не зависят от значения показателей степени y и z.

Из уравнения /11/ следует, что любое целое положительное число А>2 является пифагоровым числом, так как А^2к при к=1 равно А² , то есть квадрат любого целого положительного числа всегда равен разности квадратов одной пары или нескольких пар соответствующих ему целых положительных пифагоровых чисел.

Уравнение /11/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:

А^х=(Y-Х)•(Y+Х) /12/

Обозначим: Y-Х=М, 13/

где М - целое положительное число.

Из уравнения /13/ имеем: Y=Х+М /14/

Из уравнений /12/, /13/ и /14/ имеем:

А^х =М (Х+М+Х)=М(2Х+М)=2ХМ+М² /15/

Из уравнения /15/ имеем: А^х - М²=2ХМ /16/

Отсюда:

Х= /17/

Из уравнений /14/ и /17/ имеем:

Y=== /18/

Из уравнений /9/, /10/, /17/ и /18/ имеем:

В= /19/

С= /20/

Из уравнений /17/ и /18/ в виде:

Х= и Y=

следует, что число М должно быть делителем числа А^х, т.е. входить как множитель в число А^х. Если число М является составным числом, т.е. произведением нескольких простых чисел, то оно должно быть произведением множителей, входящих в состав числа А^х.

Из уравнений /17/ и /18/ в виде:

Х= и Y=

также следует, что поскольку знаменатель дроби содержит цифру 2, их числитель должен делиться на 2. Это условие выполняется только в том случае, если числа А и М оба четные или оба нечетные.

Из уравнения /17/ следует, что поскольку число Х, исходя из выше принятого условия, должно быть положительным целым числом, должны выполняться условия:

А^х-М² 0; или: М² А^х и А^х-М² 2М /21/

Рассмотрим несколько примеров решения уравнений /11/, /17/, /18/, /7/ и /8/.

Пример 1.1: А=7; х=4; М=1

Х=

Y=- простое число

А⁴=Y²-Х²=1201²-1200²=2401

А=; В^y=Х² =1200²=(2⁴35²)²(abc)^y; С^z=Y²=1201²(d)^z

Пример 1.2: А=2•5=10; x=4; М=2

Х==

Y==

А⁴=Y²-Х²=2501²-2499²=10000; А=

В^y=Х² =(37²17)²(abc)^y при y=6, 8, 10

С^z=Y²=(4161)²(de)^z при z=6, 8, 10

2. Решение уравнения /2/:

А^x = С^z - В^y

при условии, что показатель степени x - нечетное число, а y и z - четные показатели степени, т.е.:

y=2m; z=2n.

В этом случае:

А^х = С²ⁿ - В^2m=(Сⁿ)² - (В^m)²=Y²-Х² /22/

Мы получили уравнение, идентичное уравнениям /4/ и /11/. Рассмотрим возможность применения уравнений /11/, /17/, /18/, /7/ и /8/ при условии, что показатель степени х - нечетное число.

Пример 2.1: А=7; х=5; М=1

Х=

Y=

А⁵=Y²-Х²=8404²-8403²=16807; А=

В^y=Х² =(32801)²(ab)^y при у = 4,6,8

С^z=Y²=(2211191)²(сdеf)^z при z=4,6,8

Пример 2.2: А=2•7=14; x=3; М=2

Х==

Y==

А³=Y²-Х²=687²-685²=2744; А=

В^y=Х² =(5137)²(ab)^y при y=4,6,8

С^z=Y²=(3229)²(сd)^z при z=4,6,8

3. Решение уравнения /2/:

А^x = С^z - В^y

при условии, что показатели степени x, y и z - нечетные числа.

Запишем уравнение /2/ в следующем виде:

А^х = (С^0,5z)² - (В^0,5y)² /23/

Обозначим:

В^0,5y = Х /24/

С^0,5z= Y /25/

Отсюда:

В^y=Х² /26/

С^z=Y² /27/

В = /28/

С = /29/

Тогда из уравнений /23/, /24/ и /25/ следует:

А^х= Y²- Х² /30/

Уравнение /30/ идентичное уравнениям /11/ и /22/.

Пример : А=16; х=5; М=2

Х=

Y=

А⁵=Y²-Х²=262145²-262143²=1048576=16⁵

В^y=Х² =(33•3•7•71973)²(aa•a•b•bc •d)^y при y=3,7,9

С^z=Y²=(5134023)²(е •fq)^z при z=3,7,9

Из приведенных числовых примеров следует, что любое целое положительное число А в любой целой, четной или нечетной, положительной степени, большей 2, всегда равно разности квадратов одной пары или разности квадратов нескольких пар целых положительных чисел Y и X. Другими словами, в уравнении /2/ всегда:

В^y =Х² и С^z =Y²

При этом при заданных значениям чисел А, M и показателя степени х числа Х и Y имеют величины, не зависящие от показателей степени у и z.

Таким образом, уравнение /2/: А^x = С^z - В^y

имеет решение в целых положительных числах только при интерпретации его в виде уравнения /11/:

А^x = С^z - В^y = Y²-Х²

4. Соотношения между числами Х и Y, В и С

Разделим уравнение /18/ на уравнение /17/:

= /31/

Обозначим: =D /32/

Тогда: D= /33/

Y=D•X /34/

Определим пределы значений числа D.

В соответствии с формулой /32/:

D==

число D будет тем больше, чем больше числитель дроби и чем меньше знаменатель дроби.

Проанализируем уравнение /33/.

1. Рассмотрим случай, когда число А - простое, показатель степени x - четное число. В этом случае максимальное значение числа D равно:

D===

Очевидно, что число D имеет максимальное значение при минимальном значении простого нечетного числа А=3:

D== ==1,25

Пример: А=17, x=6.

D= ==1,006944

- иррациональное число.

2. Рассмотрим случай, когда число А=a•b•c - сложное четное число, показатель степени x - четное число, при этом:

a<b<c; a=2, b и c - простые числа.

В этом случае максимальное значение числа D равно:

D===== 1,666666

Пример: А=2· 3· 5 =30; x=4; a=2; b=3; c=5.

D==1,666666

- иррациональное число.

3. Рассмотрим случай, когда число А=a·b•c -сложное нечетное целое число, показатель степени x - четное число, при этом:

a<b<c; a, b, с - простые числа.

В этом случае максимальное значение числа D равно:

D===

Очевидно, что число D имеет максимальное значение при a=3:

D=== 1,25.

Пример: А=3•5•7=105; x=4.

1,118033 - иррациональное число.

4. Рассмотрим случай, когда число А - простое, показатель степени x - нечетное число. В этом случае максимальное значение числа D равно:

D==

Очевидно, что число D имеет максимальное значение при минимальном значении простого нечетного числа А=3:

D===2.

Пример: А=13, x=5.

D===1,166666

- иррациональное число.

5. Рассмотрим случай, когда число А=a•b•c - сложное четное число, показатель степени x - нечетное число, при этом:

a<b<c; a=2, b и c - простые числа.

В этом случае максимальное значение числа D равно:

D= = =

Пример: А=2· 3· 5 =30 = 2bc; b =3; c =5; x=3.

D= ==1,068965

- иррациональное число.

6. Рассмотрим случай, когда число А=a•b•c - сложное нечетное число, показатель степени x - нечетное число, при этом:

a<b<c; a, b и c - простые числа.

В этом случае максимальное значение числа D равно:

D= = =

Пример: А= a b·c = 3 5·7 =105; x=3.

D===1,019230

- иррациональное число.

7. Рассмотрим случай, когда A= a•b, M=a^x при a<b. В этом случае в соответствии с уравнениями /1 7 / и /18/ имеем:

X = = /35/

Y = = , /36/

при этом чтобы числа X и Y были целыми, числа a и b должны быть оба четными или оба нечетными. Число D равно:

D = = 37/

Из уравнений /35/ и /36/ следует, что для того чтобы числа X и Y были целыми положительными числами, числа a и b должны быть оба четными или оба нечетными.

Пример 1: a=6; b=14; x=5.

D = =

-иррациональное число

Пример 2: a=5; b=9; x=4.

D = = = 1,210579…

- иррациональное число

Из рассмотренных примеров следует, что число при показателе степени x, большем двух, - иррациональное число.

Из уравнения /33/ следует, что поскольку числитель больше знаменателя, то число D1.

Из приведенного выше анализа уравнения /33/ и приведенных числовых примеров следует, что максимальное значение числа D равно: D=2.

Следовательно, значение числа D лежит в пределах:

1 D ? 2,

а значение числа Y в соответствии с уравнением /34/ - в пределах:

Х Y ? 2X

Разделим уравнение /8/ на уравнение /7/:

/38/

Из уравнений /38/ и /32/ следует:

Отсюда: ; /39/

Из уравнения /38/ следует, что при показателе степени z>2 множитель: - дробное иррациональное число, поскольку в пределах 1<D?2 нет целого числа D, квадрат которого был бы целым числом в степени z>2:

D² ? N^z

Следовательно, в соответствии с уравнением /39/ число С^z - всегда дробное число, даже при условии, что - целое число.

Таким образом, при заданных целых положительных числах А и В и при заданных показателях степени х2 и y2 число С^z всегда дробное число при показателе степени z>2.

Поэтому дробным является и число С.

5. Преобразование уравнений /17/ и /18/:

Х= и Y=

Как показано выше, число М должно состоять из множителей, входящих в число А^x. Поэтому можно записать:

X = /40/

Y=, /41/

где a -целое число.

Тогда:

X = /42/

Y= /43/

В этом случае число D в соответствии с формулой /32/ равно:

/44/

Обозначим:

/45/

Тогда: /46/

Число С в соответствии с формулой /39/ равно:

= /47/

Поскольку в уравнении /47/ разность между числителем и знаменателем дроби равна 2, очевидно, что не существует таких значений числа S, при которых и числитель и знаменатель дроби имели бы значения:

S² = ( b • с • d… )^z; /48/

( S-2)² =( e • f • g… )^z, /49/

где b, c, d…, e, f, d…- целые положительные числа. Значит, число - всегда иррациональное число.

Поэтому даже при условии, что число В- целое положительное число, число С всегда дробное число при показателе степени z >2.

Выводы

Из изложенного следует:

1. При заданных целых положительных числах А и В и при заданных показателях степени х2 и y2 число С всегда дробное при показателе степени z>2. Таким образом:

А^x + В^y ? С^z

при условии, что А, В и С - целые положительные числа, а x, y и z - показатели степени, большие двух.

2. Каждому целому положительному числу А при заданном показатели степени х соответствует вполне определенное количество пар целых положительных чисел X и Y, имеющих при этом вполне определенные значения.

Некоторые частные решения, когда один из показателей степени равен 2:

13² + 7³ = 2⁹; 7² + 2⁵ = 3⁴; 6³ + 5⁴ = 29 ²; 10² + 3⁵ = 7³; 28² + 6³ = 10³; 1 + 2³= 3²;

7⁴ + 15³ = 76².

Автор Козий Николай Михайлович,

инженер-механик

E-mail: nik_krm@mail.ru

© Н. М. Козий, 2007

Авторские права защищены свидетельствами

Украины № 23145, № 27312 и 28607