Пензенский государственный университет

Кафедра "Высшая и прикладная математика"

РЕФЕРАТ

По курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»

На тему «Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений»

Выполнил: студент группы 08ВВ1

Чубарь Алексей

Проверил:

Руденко Алевтина Кирилловна

Пенза, 2008

Содержание

Математика в моей жизни

• Введение
• Описание метода Гаусса
• Описание алгоритма
• Условие применимости метода
• Прямой и обратный ход, построение схемы единственного деления
• Контроль вычислений
• Точность метода
• Список литературы

Математика в моей жизни

Роль математики в моей жизни, определённо, велика. Причин этому весьма много, и я хотел бы выделить несколько из них.

Во-первых, эта фундаментальная наука служит основой, платформой для других наук. Без неё существование большинства дисциплин было бы невозможно, поскольку предмет изучения практически любой науки требует количественного описания. Исключение могут составить, пожалуй, лишь сугубо гуманитарные науки, такие как философия и литературоведение. Однако элементарные математические понятия так или иначе используются во всех сферах деятельности человека. Таким образом, чтобы человек смог на ранних этапах своего развития получить базовые сведения об окружающем мире (дошкольный возраст) и приступить к изучению теоретических и прикладных дисциплин (в школе), он должен обладать основами математической грамотности. Притом необходимо, чтобы уровень математических знаний рос соразмерно познаниям в других дисциплинах. Иначе, прогресс в изучении остановится. Например, школьный курс физики для старших классов предполагает, что ученик способен оперировать дифференциальными и интегральными вычислениями.

Во-вторых, стоит отметить, что сейчас наступает эра информационных технологий, растет количество цифровых устройств. Для того чтобы свободно ориентироваться в 21-м веке, математические знания крайне желательны, ведь информатика и информационные технологии базируются на идеях, знаниях и принципах математики. Логические элементы любой схемы, к примеру, устроены в соответствии с принципами Булевой алгебры.

Но мне как студенту специальности «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети» недостаточно просто ориентироваться в современных технологиях. По ходу своего обучения, а также при работе по специальности мне нужно будет свободно оперировать достаточно сложными математическими моделями, массивами данных. Задачи, решение которых ложится на плечи современного студента технической специальности, требуют высокого уровня математической подготовки (а для высококвалифицированных специалистов этот уровень еще выше). Поэтому математика для меня как для студента очень важна.

Однако, помимо всего прочего, у математики есть не только прикладные функции. Я особенно ценю одно её свойство. Она, если можно так сказать, организовывает сознание, развивает мышление.. Ведь эта наука представляет собой не просто набор фактов. Каждое утверждение, каждый закон или теорема базируются на других знаниях. В ней всё взаимосвязано. Поэтому человек, изучающий математику, не только овладевает приемами решения конкретных задач, но и учится логически мыслить, анализировать, соотносить различные точки зрения, находить причинно-следственные связи, делать обоснованные выводы. В целом это формирует особый тип мышления. Человек, который им обладает, без труда решит задачу из другой области и справится со сложной ситуацией.

Таким образом, математика, без сомнения, играет огромную роль в моей жизни. Она даёт мне возможность быть разносторонне развитым, мыслящим современным человеком.

Введение

ГАУСС, КАРЛ ФРИДРИХ (Gauss, Carl Friedrich) (1777-1855), немецкий математик, астроном и физик. Родился 30 апреля 1777 в Брауншвейге. В 1788 при поддержке герцога Брауншвейгского Гаусс поступил в закрытую школу Коллегиум Каролинум, а затем в Гёттингенский университет, где обучался с 1795 по 1798. В 1796 Гауссу удалось решить задачу, не поддававшуюся усилиям геометров со времен Евклида: он нашел способ, позволяющий построить с помощью циркуля и линейки правильный 17-угольник. На самого Гаусса этот результат произвел столь сильное впечатление, что он решил посвятить себя изучению математики, а не классических языков, как предполагал вначале. В 1799 защитил докторскую диссертацию в университете Хельмштадта, в которой впервые дал строгое доказательство т. н. основной теоремы алгебры, а в 1801 опубликовал знаменитые Арифметические исследования (Disquisitiones arithmeticae), считающиеся началом современной теории чисел. Центральное место в книге занимает теория квадратичных форм, вычетов и сравнений второй степени, а высшим достижением является закон квадратичной взаимности -- "золотая теорема", первое полное доказательство которой привел Гаусс.

В январе 1801 астроном Дж.Пьяцци, составлявший звездный каталог, обнаружил неизвестную звезду 8-й величины. Ему удалось проследить ее путь только на протяжении дуги 9° (1/40 орбиты), и возникла задача определения полной эллиптической траектории тела по имеющимся данным, тем более интересная, что, по-видимому, на самом деле речь шла о давно предполагаемой между Марсом и Юпитером малой планете. В сентябре 1801 вычислением орбиты занялся Гаусс, в ноябре вычисления были закончены, в декабре опубликованы результаты, а в ночь с 31 декабря на 1 января известный немецкий астроном Ольберс, пользуясь данными Гаусса, нашел планету (ее назвали Церерой). В марте 1802 была открыта еще одна аналогичная планета -- Паллада, и Гаусс тут же вычислил ее орбиту. Свои методы вычисления орбит он изложил в знаменитой Теории движения небесных тел (Theoria motus corporum coelestium, 1809). В книге описан использованный им метод наименьших квадратов, и по сей день остающийся одним из самых распространенных методов обработки экспериментальных данных.

В 1807 Гаусс возглавил кафедру математики и астрономии в Гёттингенском университете, получил должность директора Гёттингенской астрономической обсерватории. В последующие годы занимался вопросами теории гипергеометрических рядов (первое систематическое исследование сходимости рядов), механических квадратур, вековых возмущений планетных орбит, дифференциальной геометрией.

В 1818-1848 в центре научных интересов Гаусса находилась геодезия. Он проводил как практические работы (геодезическая съемка и составление детальной карты Ганноверского королевства, измерение дуги меридиана Гёттинген -- Альтона, предпринятое для определения истинного сжатия Земли), так и теоретические исследования. Им были заложены основы высшей геодезии и создана теория т. н. внутренней геометрии поверхностей. В 1828 вышел в свет основной геометрический трактат Гаусса Общие исследования относительно кривых поверхностей (Disquisitiones generales circa superficies curvas). В нем, в частности, упоминается поверхность вращения постоянной отрицательной кривизны, внутренняя геометрия которой, как потом обнаружилось, является геометрией Лобачевского.

Исследования в области физики, которыми Гаусс занимался с начала 1830-х годов, относятся к разным разделам этой науки. В 1832 он создал абсолютную систему мер, введя три основные единицы: 1 сек, 1 мм и 1 кг. В 1833 совместно с В.Вебером построил первый в Германии электромагнитный телеграф, связывавший обсерваторию и физический институт в Гёттингене, выполнил большую экспериментальную работу по земному магнетизму, изобрел униполярный магнитометр, а затем бифилярный (также совместно с В.Вебером), создал основы теории потенциала, в частности сформулировал основную теорему электростатики (теорема Гаусса -- Остроградского). В 1840 разработал теорию построения изображений в сложных оптических системах. В 1835 создал магнитную обсерваторию при Гёттингенской астрономической обсерватории.

В 1845 университет поручил Гауссу реорганизовать Фонд поддержки вдов и детей профессоров. Гаусс не только отлично справился с этой задачей, но и попутно внес важный вклад в теорию страхования. 16 июля 1849 Гёттингенский университет торжественно отметил золотой юбилей диссертации Гаусса. В юбилейной лекции ученый вернулся к теме своей диссертации, предложив четвертое доказательство основной теоремы алгебры.

Умер Гаусс в Гёттингене 23 февраля 1855.

Описание метода Гаусса

Одним из самых распространенных методов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Этот метод (который также называют методом последовательного исключения неизвестных) известен в различных вариантах уже более 2000 лет.

Описание алгоритма