Пензенский государственный университет

Кафедра "Высшая и прикладная математика"

РЕФЕРАТ

По курсу «Математический анализ»

на тему «Численные методы интегрирования. Метод Симпсона»

Выполнил: студент группы 08ВВ1

Чубарь Алексей

Проверил: доцент кафедры высшей и прикладной математики

Руденко Алевтина Кирилловна

Пенза, 2009

Содержание

• Биография Томаса Симпсона
• Численные методы интегрирования
• Интерполяционная формула Лагранжа
• Вывод формулы Симпсона
• Геометрическая иллюстрация
• Выбор шага интегрирования
• Пример вычисления интеграла по методу Симпсона
• Список литературы

Биография Томаса Симпсона

Томас Симпсон (англ. Thomas Simpson, 1710--1761) -- английский математик. Занимаясь частными уроками математики и ремеслом ткача шелковых тканей, он работал над своим первым сочинением «A new treatise of fluxions» (Лондон), напечатанным в 1737 году. В 1740 году вышло в свет второе сочинение Симпсона, посвященное теории вероятностей: «A treatise on the nature and laws of change» (Лондон). Оригинальных решений, принадлежащих самому автору, немного. Потом вышли «Essay on several subjects in speculative and mixed mathematics" (Л., 1740), "The doctrine of аnnuities and reversions» (там же, 1742), «Mathematical Dissertations on a variety of physical and analytical subjects» (там же, 1743). В одной из диссертаций этого сборника, озаглавленной «Of the areas of curves etc. by approximation» (стр. 109--119), выведена известная под именем правило Симпсона формула приближенного определения квадратур кривых, принимаемых по первоначальной идее Ньютона за параболы. Из других диссертаций одна содержит вывод удобной формулы рефракции.

В 1746 году Симпсон избран в члены Лондонского королевского общества, а ранее -- в члены основанного в 1717 году в Лондоне Математического общества. Назначенный профессором в Вульвич, Симсон составил учебники по элементарной математике. В особых отделах геометрии рассматриваются задачи о наибольших и наименьших величинах, решаемые с помощью элементарной геометрии, правильные многогранники, измерение поверхностей, объёмы тел и, наконец, смешанные задачи. Относительно учебника тригонометрии Симпсона следует заметить, что он отличается замечательною краткостью: он пользуется здесь, как изобретенным им новым средством доказательства, введением вспомогательного угла. Давно уже известное арабским ученым, это средство не было новостью в науке. Но в Европе до появления «Тригонометрии» Симпсона о нем не знали. Симпсон внес упрощения в вычисление синусов и косинусов.

В 1750 году вышло второе сочинение Симпсона о флюкциях под заглавием «The doctrine and applications of fluxions» (2 тома, Лондон). В нём автор заявляет, что оно не должно быть считаемо вторым изданием вышедшего 13-ю годами ранее юношеского опыта. После этого вышли «Select exercises in the mathematics» (Лондон, 1752) и «Miscellaneous tracts» (там же, 1757). Симпсон поместил в «Philosophical Transactions» мемуары: «On the fluents of multinomians, and series affected by radical sings, which do not begin to converge till after the second term» (1748), «The motion of projectiles near the earth's surface considered etc.» (1748), «A general method for exhibiting the value of an algebraic expression involving several radical quantifies in an infinite series etc.» (1751), «The resolution of a general proposition for determining the horary alteration of position of the terrestrial equator from the attraction of the sun and moon etc.» (1757), «The invention of a general method for determining the sum of every 2d, 3d 4th or 5th etc. term of a series, taken in order; the sum of the whole series being known» (1758) и некоторые другие. Душевная болезнь свела Симпсона в могилу. Краткие сведения о жизни и деятельности Симпсона находятся в статье де ла Ланда «Remarques sur la vie de Mss. de Lacaille, Bradley et Simpson» («Connaissance des temps pour 1767», 197--204). Список сочинений Симпсона приведён в «Biographisch-L itterarisches Handworrterbuch von Poggendorff».

Численные методы интегрирования

Задача численного интегрирования заключается в вычислении интеграла

посредством ряда значений подынтегральной функции .

Задачи численного интегрирования приходится решать для функций, заданных таблично, функцией, интегралы от которых не берутся в элементарных функциях, и т.д. Рассмотрим только функции одной переменной.

Вместо функции, которую требуется проинтегрировать, проинтегрируем интерполяционный многочлен. Методы, основанные на замене подынтегральной функции интерполяционным многочленом, позволяют по параметрам многочлена оценить точность результата или же по заданной точности подобрать эти параметры.

Численные методы условно можно сгруппировать по способу аппроксимации подынтегральной функции.

Методы Ньютона-Котеса основаны на аппроксимации функции полиномом степени . Алгоритм этого класса отличается только степенью полинома. Как правило, узлы аппроксимирующего полинома - равноотносящие.

Методы сплайн-интегрирования базируются на аппроксимации функции сплайном-кусочным полиномом.

В методах наивысшей алгебраической точности (метод Гаусса) используются специально выбранные неравноотносящие узлы, обеспечивающие минимальную погрешность интегрирования при заданном (выбранном) количестве узлов.

Методы Монте-Карло используются чаще всего при вычислении кратных интегралов, узлы выбираются случайным образом, ответ носит вероятностный характер.

Независимо от выбранного метода в процессе численного интегрирования необходимо вычислить приближенное значение интеграла и оценить погрешность. Погрешность уменьшается при увеличении n-количества разбиений отрезка . Однако, при этом возрастает погрешность округления за счет суммирования значений интегралов, вычисленных на частичных отрезках.

Погрешность усечения зависит от свойств подынтегральной функции и длины частичного отрезка.

Интерполяционная формула Лагранжа

Для произвольно заданных узлов интерполирования пользуются более общей форму-лой, так называемой интерполяци-онной формулой Лагранжа.

Пусть на отрезке [а, b] даны n+1 различных значений аргумента x₀, x₁, x₂,…,x_n и известны для функции y=f(x) соответствующие значения:

Требуется построить полином L_n (х) степени не выше п, имеющий в заданных узлах х₀, x₁..., х_п те же значения, что и функция f(x), т. е. такой, что

Решим сначала частную задачу: построим полином P_i(x) такой, что

Короче эти условия можно записать следующим образом:

(1)

где - символ Кронекера.

Так как искомый полином обращается в нуль в п точках х₀, то он имеет вид:

где C_i -- постоянный коэффициент. Полагая x = x_i в формуле (2) и учитывая, что p_i(x_i)=l, получим:

Отсюда:

Подставив это значение в формулу (2), будем иметь:

(3)

Теперь перейдем к решению общей задачи: к отысканию полинома L_n(x), удовлетворяющего указанным выше условиям . Этот полином имеет следующий вид:

(4)

В самом деле, во-первых, очевидно, степень построенного полинома L_n(x) не выше n и, во-вторых, в силу условия (1) имеем:

Подставив в формулу (4) значение p_i (х) из (3), получим:

Это и есть интерполяционная формула Лагранжа.

Формуле (5) Лагранжа можно придать более сжатый вид. Для этого введем обозначение

(6)

Дифференцируя по х это произведение, получим:

Полагая х = х_i, (i = 0, 1, 2, …, п), будем иметь:

Внося выражения (6) и (7) в формулу (5), получим:

Вывод формулы Симпсона

Если для каждой пары отрезков построить многочлен второй степени, затем проинтегрировать его и воспользоваться свойством аддитивности интеграла, то получим формулу Симпсона.

Рассмотрим подынтегральную функцию на отрезке . Заменим эту подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени, совпадающим с в точках

:

Проинтегрируем :

Формула:

и называется формулой Симпсона.

Полученное для интеграла значение совпадает с площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью , прямыми , и параболой, проходящей через точки

Оценим теперь погрешность интегрирования по формуле Симпсона. Будем считать, что у на отрезке существуют непрерывные производные . Составим разность

К каждому из этих двух интегралов уже можно применить теорему о среднем, поскольку непрерывна на и функция неотрицательна на первом интервале интегрирования и неположительна на втором (то есть не меняет знака на каждом из этих интервалов). Поэтому:

(мы воспользовались теоремой о среднем, поскольку - непрерывная функция; ).

Дифференцируя дважды и применяя затем теорему о среднем, получим для другое выражение:

, где

Из обеих оценок для следует, что формула Симпсона является точной для многочленов степени не выше третьей. Запишем формулу Симпсона, например, в виде:

,.

Если отрезок интегрирования слишком велик, то его разбивают на равных частей (полагая ), после чего к каждой паре соседних отрезков , ,..., применяют формулу Симпсона, именно:

Запишем формулу Симпсона в общем виде:

(1)

(2)

Погрешность формулы Симпсона - метода четвертого порядка:

, (3)

Метод Симпсона позволяет получить высокую точность, если не слишком велика. В противном случае метод второго порядка может дать большую точность.

Например, для функции форма трапеции при для дает точный результат, тогда как по формуле Симпсона получаем

Геометрическая иллюстрация

На отрезке длиной 2h строится парабола, проходящая через три точки ,. Площадь под параболой, заключенная между осью OX и прямыми, принимают равной интегралу.

Особенностью применения формулы Симпсона является тот факт, что число разбиений отрезка интегрирования - четное.

Если же количество отрезков разбиения - нечетное, то для первых трех отрезков следует применить формулу, использующую параболу третьей степени, проходящую через четыре первые точки, для аппроксимации подынтегральной функции.

(4)

Это формула Симпсона «трех восьмых».

Для произвольного отрезка интегрирования формула (4) может быть «продолжена»; при этом число частичных отрезков должно быть кратно трем ( точек).

, m=2,3,... (5)

- целая часть

Можно получить формулы Ньютона-Котеса старших порядков:

(6)

- количество отрезков разбиения;

- степень используемого полинома;

- производная -го порядка в точке ;

- шаг разбиения.

Алгоритм оценки погрешности формул трапеции и Симпсона можно записать в виде: (7),

где - коэффициент, зависящий от метода интегрирования и свойств подынтегральной функции;

h - шаг интегрирования;

p - порядок метода.

Правило Рунге применяют для вычисления погрешности путем двойного просчета интеграла с шагами h и kh.

(8)

(8) - апостериорная оценка. Тогда I_уточн.= +Ro (9), уточненное значение интеграла .

Если порядок метода неизвестен, необходимо вычислить I в третий раз с шагом , то есть:

из системы трех уравнений:

с неизвестными I,А и p получаем:

(10)

Из (10) следует

(11)

Таким образом, метод двойного просчета, использованный необходимое число раз, позволяет вычислить интеграл с заданной степенью точности. Выбор необходимого числа разбиений осуществляется автоматически. Можно при этом использовать многократное обращение к подпрограммам соответствующих методов интегрирования, не изменяя алгоритмов этих методов. Однако для методов, использующих равноотносящие узлы, удается модифицировать алгоритмы и уменьшить вдвое количество вычислений подынтегральной функции за счет использования интегральных сумм, накопленных при предыдущих кратных разбиениях интервала интегрирования. Два приближенных значения интеграла и, вычисляемые по методу трапеции с шагами и , связаны соотношением:

(12)

Аналогично, для интегралов, вычисленных по формуле с шагами и , справедливы соотношения:

,

(13)

Выбор шага интегрирования

Для выбора шага интегрирования можно воспользоваться выражением остаточного члена. Возьмем, например, остаточный член формулы Симпсона:

Если , то .

По заданной точности метода интегрирования из последнего неравенства определяем подходящий шаг.

, .

Однако такой способ требует оценки (что на практике не всегда возможно). Поэтому пользуются другими приемами определения оценки точности, которые по ходу вычислений позволяют выбрать нужный шаг h.

Разберем один из таких приемов. Пусть

,

где - приближенное значение интеграла с шагом . Уменьшим шаг в два раза, разбив отрезок на две равные части и ().

Тогда ,

Предположим теперь, что меняется не слишком быстро, так что почти постоянна: . Тогда

и ,

откуда , то есть .

Отсюда можно сделать такой вывод: если , то есть если , , а - требуемая точность, то шаг подходит для вычисления интеграла с достаточной точностью. Если же , то расчет повторяют с шагом и затем сравнивают и и т.д. Это правило называется правилом Рунге.

Однако при применении правила Рунге необходимо учитывать величину погрешности вычислений: с уменьшением абсолютная погрешность вычислений интеграла увеличивается (зависимость от обратно пропорциональная) и при достаточно малых может оказаться больше погрешности метода. Если превышает , то для данного шага применять правило Рунге нельзя и желаемая точность не может быть достигнута. В таких случаях необходимо увеличивать значение .

При выводе правила Рунге вы существенно пользовались предположением, что . Если имеется только таблица значений , то проверку «на постоянство» можно сделать непосредственно по таблице. Дальнейшее развитие приведенных алгоритмов позволяет перейти к адаптивным алгоритмам, в которых за счет выбора различного шага интегрирования в разных частях отрезка интегрирования в зависимости от свойств уменьшается количество вычислений подынтегральной функции.

Другая схема уточнения значений интеграла - процесс Эйтнена. Производится вычисление интеграла с шагами, причем . Вычисление значений . Тогда

(14).

За меру точности метода Симпсона принимают величину:

Пример вычисления интеграла по методу Симпсона

Вариант №26.

Вычислить интеграл по формуле Симпсона, 2n=10.

Решение: Имеем . Отсюда h==0.1. Результаты вычислений приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Вычисление интеграла по формуле Симпсона

i
0	0		y0=1.00000
1	0,1	1,000005
2	0,2		1,000160
3	0,3	1,001214
4	0,4		1,005107
5	0,5	1,015505
6	0,6		1,038152
7	0,7	1,080773
8	0,8		1,152250
9	0,9	1,261146
10	1		yn =1,414214
		1=5,358643	2=4,195669

По формуле Симпсона (1) получим:

=

Подсчитаем погрешность полученного результата. Полная погрешность складывается из погрешностей действий и остаточного члена . Очевидно:

= ;

где - коэффициенты формулы Симпсона и - максимальная ошибка округления значений подынтегральной функции.

= .

Оценим остаточный член.

Так как , то

.

Отсюда при и, следовательно,

.

Таким образом, предельная полная погрешность равна

R=

и, значит, I = 0.0001.

Ответ: I = 0.0001.

Оценка погрешности по правилу Рунге

По заданию k = 2, p = 4.

Таким образом, формула для вычисления апостериорной оценки примет вид

Удвоим шаг интегрирования: h^* = 0.2.

Таблица 2.

Вычисление интеграла с удвоенным шагом

i
0	0		y0=1.00000
1	0,2	1,000160
2	0,4		1,005107
3	0,6	1,038152
4	0,8		1,152250
5	1	yn =1,414214
		1=2,038312	2=2,157357

По формуле Симпсона (1) получим:

= 0,7203701,

тогда

=0,0236200.

Таким образом, предельная полная погрешность (с учётом погрешности округления) равна R= и, значит, I = 0.1.

Ответ: I = 0.1.

Список литературы

1. «Основы вычислительной математики», Б.П. Демидович, И.А. Марон, 1966г.

2. Материалы электронной библиотеки http://elib.ispu.ru/

3. Материалы электронной энциклопедии http://ru.wikipedia.org