54

Міністерство освіти і науки України

Полтавський державний педагогічний університет

імені В.Г. Короленка

Кафедра математичного аналізу та інформатики

Курсова робота

З дисципліни: «Методика викладання математики»

На тему: «Розв'язування тригонометричних рівнянь та нерівностей при поглибленому вивченні шкільного курсу математики»

Виконала студентка групи М-41

Лозицька Тетяна Петрівна

Науковий керівник

канд. фіз.-мат. наук, доцент

Кононович Тетяна Олександрівна

Полтава-2009

Зміст

1. Розв'язування тригонометричних рівнянь у шкільному курсі математики

1.1 Методичні особливості вивчення теми

1.2 Найпростіші тригонометричні рівняння та їх розв'язування

1.3 Основні способи розв'язування тригонометричних рівнянь

1.4 Втрачені і сторонні корені та перевірка знайдених розв'язків тригонометричних рівнянь

1.5 Розв'язування складніших тригонометричних рівнянь при поглибленому вивчені математики

2. Приклади розв'язування більш складних нерівностей

Висновки

Список використаних джерел

Вступ

Актуальність роботи. В умовах реформування системи освіти, відтворення і зміцнення інтелектуального потенціалу нації, виходу вітчизняної науки і техніки, економіки і виробництва на світовий рівень, інтеграції в світову систему освіти, переходу до ринкових відносин і конкуренції будь-якої продукції, у тому числі й інтелектуальної, особливо актуальним стає забезпечення належного рівня математичної підготовки підростаючого покоління. Математика має широкі можливості для інтелектуального розвитку особистості, у першу чергу - розвитку логічного мислення, просторових уявлень та уяви, алгоритмічної культури, формування вміння встановлювати причинно-наслідкові зв'язки, обґрунтовувати твердження, моделювання ситуації та ін. У курсі алгебри і початків аналізу розвиваються основні змістові лінії курсу алгебри і завершується розробка аналітичного апарату, що застосовується в предметах природничо-математичного циклу. Тригонометричні рівняння і нерівності в математиці відіграють важливу роль. Лінії тотожних перетворень, рівнянь та нерівностей розвиваються у зв'язку з вивченням тригонометричних функцій, формул тригонометрії.

Метою даної курсової роботи є дослідження методики викладання тригонометричних рівнянь і нерівностей при поглибленому вивченні шкільного курсу математики.

Відповідно до мети, сформулюємо задачі роботи:

1. Розглянути теоретичні основи теми „Тригонометричні рівняння і нерівності" .

2. Вивчити методичні особливості викладання теми „Тригонометричні рівняння і нерівності" при поглибленому вивченні предмету.

3. Розробити план-конспект уроку на тему „Приклади розв'язування деяких типів тригонометричних рівнянь".

Практичне значення. Питання, пов'язані з тригонометричними рівняннями та нерівностями, використовуються в різних галузях математики. Знання про тригонометричні рівняння і нерівності стають складовою світогляду і певним обсягом цієї інформації повинна володіти кожна освічена людина.

Структура і об'єм роботи. Робота складається з вступу, двох розділів, висновку, списку використаної літератури.

У першому розділі розглянуті основні теоретичні відомості про тригонометричні рівняння, а саме: найпростіші тригонометричні рівняння, способи їх розв'язування та розв'язування рівнянь, що відрізняються від найпростіших. Тут же розглянуто й методичні особливості вивчення теми.

У другому розділі розглядається методика викладання тригонометричних нерівностей. У даному розділі також наведені основні типи нерівностей та способи їх розв'язання, і способи та приклади розв'язання складніших нерівностей

У додатку наведено приклад конспекту уроку з вивчення теми „Приклади розв'язування деяких типів тригонометричних рівнянь".

1. Розв'язування тригонометричних рівнянь у шкільному курсі математики

1.1 Методичні особливості вивчення теми

Вивчення обернених тригонометричних функцій слід починати з повторення і розширення відомостей про обернені функції, які вивчались в курсі алгебри VIII класу і використовувались під час вивчення функцій і . У VIII класі було сформульовано означення оборотної функції f, введено поняття функції g, оберненої до функції f, сформульовано необхідну і достатню умову існування функції, оберненої до даної і доведено достатню умову: кожна монотонна функція оборотна. Було доведено також теорему про властивість графіків взаємно обернених функцій і розглянуто вправи на знаходження за формулою даної функції оберненої до неї функції.

У IX класі було введено означення числової функції як відображення підмножини D множини R на деяку підмножину Е множини R. Для позначення області визначення і множини значень функції f були введені символи D(f) і E(f). У X класі під час повторення відомостей про обернену функцію є можливість, використовуючи введену в IX класі термінологію і символіку, сформулювати означення взаємно обернених функцій. З нових відомостей про взаємно обернені функції є теорема (яку формулюють без доведення) про неперервність і монотонність функції, оберненої до даної неперервної і монотонної функції. Ця теорема використовується, коли розглядаються обернені тригонометричні функції.

Перед введенням обернених тригонометричних функцій кожного виду слід повторити з учнями властивості всіх тригонометричних функцій числового аргументу.

Після цього доцільно запропонувати учням знайти функцію, обернену, наприклад, до функції. З курсу алгебри VIII класу відомо, що спочатку треба переконатись, чи є оборотною дана функція на області її визначення. З графіка синуса добре видно, що ця функція не є оборотною на області визначення, оскільки кожного свого значення вона набуває безліч раз. Але приклад функції свідчить, що функція може бути оборотною на певній підмножині з області визначення, зокрема на тій множині, де вона монотонна. Функція має безліч проміжків зростання і спадання і тому є оборотною на кожному з них. Домовились вибрати один з цих проміжків - проміжок , на якому синус зростає і набуває всіх своїх значень з множини значень [-1;1].

Отже, функція , якщо , оборотна і має обернену функцію, яку називають арксинусом і позначають . Після цього доцільно, щоб учні самі записали область визначення функції і множину її значень:

,

і назвали дві властивості функції арксинус (зростаюча і неперервна функція), спираючись на сформульовану раніше теорему про неперервність і монотонність функції, оберненої до даної монотонної і неперервної функції.

Графік функції учні також можуть побудувати без допомоги вчителя, спираючись на властивість графіків взаємно обернених функцій.

Доцільно наголосити на тому, що коли під знаком стоїть число додатне, то значення функції належать проміжку ]0; ], а коли від'ємне - то проміжку  [-;0], причому, , , .

Доведемо непарність функції арксинус, тобто доведемо, що . За означенням арксинуса маємо:

Помноживши всі три частини останньої нерівності на -1, дістанемо

Визначимо синуси виразів і , спираючись на означення арксинуса і непарність синуса

Але якщо два числа належать одному проміжку [-; ] і синуси їх рівні, то й числа рівні, оскільки синус монотонний на вказаному проміжку.

Отже,

Властивість непарності підтверджується симетрією графіка функції відносно початку координат.

Обчислюючи значення функції за таблицями синусів кутів, виражених у градусах, слід додержуватися правил наближених обчислень.

Вивчення інших обернених тригонометричних функцій можна проводити за таким самим планом, максимально стимулюючи самостійну роботу учнів під час знаходження відповідної оберненої функції і з'ясування її властивостей. Щодо арккосинуса вчитель має звернути увагу учнів на те, що ця функція не належить ні до парних, ні до непарних функцій. Вона задовольняє умову

.

Можна запропонувати допитливим учням самостійно довести цю тотожність.

Учні краще засвоять обернені тригонометричні функції та їх властивості, виконавши такі вправи[5,6].

Чи існує 1,5?

Чи правильні рівності: , , ?

Знайдіть область визначення .

В якій чверті знаходиться дуга y = 3arctg 1,7?

5. Обчисліть

Детальніше розглянути властивості обернених тригонометричних функцій можна на заняттях математичного гуртка, зокрема на таких заняттях доцільно довести тотожності:

,

розглянути тригонометричні операції над оберненими тригонометричними функціями; вивести основні співвідношення між ними.

1.2 Найпростіші тригонометричні рівняння та їх розв'язування

Рівняння називається тригонометричним, якщо невідома величина входить під знак тригонометричної функції. Такими є, наприклад, рівняння

Розв'язати тригонометричне рівняння - значить визначити, всі значення невідомої величини, які його задовольняють.

Тригонометричне рівняння може не мати розв'язків. Наприклад, рівняння розв'язків не має, бо абсолютна величина синуса не може бути більша за одиницю.

Якщо тригонометричне рівняння має розв'язки, то їх безліч. Усяку множину розв'язків тригонометричного рівняння, яка задається формулою, називають загальним розв'язком (або серією розв'язків). Так, загальним розв'язком найпростішого рівняння буде , де Розв'язки за певних значень називають частинними. Наприклад, при к = 0 дістанемо частинний розв'язок попереднього рівняння , при - .

До найпростіших рівнянь належать такі рівняння: Знайдемо розв'язки цих рівнянь при деяких значеннях , зокрема:

1. Якщо , тп . Справді, синус дорівнює нулю для дуг, які закінчуються в кінцях горизонтального діаметра. А така множина дуг виражається формулою , де .

Якщо , тп , де . Справді, косинус дорівнює нулю для дуг, які закінчуються в кінцях вертикального діаметра. А множина таких дуг виражається формулою , де .

Якщо , то , де

Якщо , тп , де .

2. Якщо , то , де . Справді, синус дорівнює одиниці для дуг, які закінчуються у верхньому кінці вертикального діаметра. А множина таких дуг виражається формулою , де .

Якщо , то , де . Справді, косинус дорівнює одиниці для дуг, які закінчуються в правому кінці горизонтального діаметра. А множина таких дуг виражається формулою , де .

3. Якщо , то , де оскільки синус дорівнює - 1 для дуг, які закінчуються у нижньому кінці вертикального діаметра. А множина таких дуг виражається формулою , де .

Якщо , то , де . Справді, косинус дорівнює - 1 для дуг, які закінчуються в лівому кінці горизонтального діаметра. А множина таких дуг виражається формулою , де .

Для значень а, які не дорівнюють 0, ±1, формули розв'язання найпростіших рівнянь такі:

якщо , то , де ;

якщо , то , де ;

якщо , то , де ;

якщо , то , де .

Всі інші типи рівнянь зводяться до найпростіших за допомогою алгебраїчних тригонометричних формул [8].

Приклад 1.1. Розв'язати рівняння .

Розв'язання. Запишемо через , скориставшись формулою . Тоді або .

Введемо заміну: . Тоді , звідки .

Підставивши значення в , дістанемо: 1) , де ; 2) , то бо .

Приклад 1.2. Розв'язати рівняння .

Розв'язання. Розв'яжемо рівняння відносно тангенса. Тоді ;

або

, де .

Приклад 1.3. Розв'язати рівняння .

Розв'язання. Розв'яжемо рівняння відносно аргументу :

Звідки і .

Ці значення задовольняють умову і тому вони є розв'язками рівняння.

Для знаходження розв'язків тригонометричних рівнянь виду ;; можливий будь-який з трьох методичних підходів [5].

1.3. Основні способи розв'язування тригонометричних рівнянь

Використання графічного способу

Цим буде здійснено єдиний підхід до вивчення рівнянь, який проводиться тепер в курсі алгебри восьмирічної школи - кожний новий вид рівнянь і систем рівнянь починати з графічного способу розв'язування, який яскраво ілюструє множину розв'язків рівняння.

Приклад 1.4. Розв'язати рівняння графічним способом.

Розв'язання.

(1)

Спочатку слід нагадати учням, в чому полягає графічний спосіб розв'язування рівнянь: треба побудувати графіки функцій і знайти абсциси точок перетину цих графіків.

Оскільки , то при і рівняння (1) не має розв'язків.

Отже, шукатимемо розв'язки даного рівняння, коли . Враховуючи періодичність функції синус на будь-якому числовому проміжку завдовжки 2 -, розглянемо, наприклад, проміжок [- р;р].

Можливі два випадки.

а) Нехай . З рисунку 1.3 видно, що пряма в цьому випадку перетинає синусоїду в двох точках, обидві з яких мають абсциси, що належать проміжку . Одна з цих точок належить проміжку , тому за означенням арксинуса її можна позначити через . Тоді абсциса другої точки дорівнює р - . Інших розв'язків на проміжку рівняння (1) не має.

Множину всіх розв'язків даного рівняння, коли , можна записати за допомогою двох рівностей

, (2)

(3)

Або

(3)

де .

Отже, об'єднання множин розв'язків (2) і (3) становить множину розв'язків рівняння (1). Формули (2) і (3) можна об'єднати в одну:

, де (4)

При парному n, тобто при дістанемо формулу (2), при непарному, тобто коли дістанемо формулу ().

б) Нехай . Пряма перетинає синусоїду теж у двох точках, абсциси яких належать проміжку. Абсциса однієї з точок належить проміжку, тому її можна позначити через З рисунку видно, що абсцису другої точки можна подати через абсцису першої у вигляді . Інших розв'язків на проміжку за умови рівняння (1) не має.

Множину всіх розв'язків рівняння (1), коли , можна записати за допомогою двох рівностей

(5)

(6)

Або

, (6)

де n Ж.

Об'єднуючи формули (5) і (6) в одну, дістанемо формулу

де ,

яка збігається з формулою (4).

Якщо , то з рисунку видно, що пряма перетинає синусоїду в точках, абсциси яких дорівнюють . Отже, формула дає множину розв'язків рівняння .

Якщо , то як видно з малюнка, ; якщо , то

Неважко довести, що при ті самі множини розв'язків знаходимо за формулою (4). Доцільно, щоб учні запам'ятали формули загальних розв'язків рівняння у таких випадках:

,

,

Знаходження розв'язків рівнянь за допомогою одиничного кола

Приклад 1.5. Розв'язати рівняння за допомогою одиничного кола

Розв'язання.

(1)

Накладемо обмеження на і домовимось шукати розв'язки рівняння (1) на проміжку [].

а) Нехай. Оскільки є ординатою точки одиничного кола, що відповідає числу , то відповідні точки належать верхньому півколу.

Позначимо на осі Оу точку А з ординатою і проведемо через неї пряму, паралельну осі О (рис. 1.4.). Ця пряма перетне коло в двох точках M і М.

Точка М відповідає числу, що належить проміжку ] [. Це число можна позначити через . Будь-яке інше число , що зображується точкою M , можна записати формулою:

, де .

Точка М.відповідає числу, що дорівнює . Справді, як видно з малюнка, , бо .

Будь-яке інше число, що зображується точкою , має вигляд

, де .

Об'єднуючи формули розв'язків рівняння (1) в одну, дістанемо

де .

б) Нехай . Відповідні точки, що зображають числа на одиничному колі, належать нижньому півколі.

Позначимо на осі Оу точку А і проведемо пряму, паралельну осі Ох (рис. 1.5.). Ця пряма перетне коло в двох точках і . Точка відповідає числу, що належить проміжку . Це число можна позначити через . Будь-яке інше число, що зображується точкою , можна записати формулою:

, де .

Точка відповідає числу, що дорівнює . Це видно безпосередньо з мал. 5. Будь-яке інше число, що зображується точкою M, має вигляд

,

Або

де. .

Об'єднуючи формули і в одну, дістанемо формулу розв'язків рівняння (1):

, де ,

що збігається з формулою для випадку

Якщо , то відповідні точки одиничного кола зображають числа виду:

,

,

,

які можна дістати також із знайденої формули загальних розв'язків рівняння (1) при вказаних значеннях [1;3].

Аналітичне виведення Формул розв'язків рівнянь

Приклад 1.6. Виведіть аналітично формули розв'язків рівняння .

Розв'язання.

(1)

З'ясувавши питання про обмеження, які накладають на , міркування можна проводити так.

Нехай - будь-яке число, що є коренем рівняння (1). Це означає, що

.

За формулами зведення

,

тому

.

Враховуючи періодичність синуса, маємо:

, де .

Об'єднання множин чисел видуохоплює всі розв'язки рівняння (1).

Об'єднуючи дві останні формули в одну, дістанемо

, де ,

- будь-який розв'язок рівняння (1). Для зручності вибирають з проміжку [; ], де синус набуває всіх своїх значень. Але тоді можна позначити, формула розв'язків рівняння (1) матиме вигляд:

, де .

Останній спосіб знаходження розв'язків рівняння (1) простий і зручний. Геометричні інтерпретації, які використовуються в попередніх двох способах, переконують учнів у тому, що формули охоплює всі можливі розв'язки рівняння (1).

З кількома способами розв'язування тригонометричних рівнянь зручно ознайомити учнів на прикладах розв'язування одного й того самого рівняння, наприклад рівняння

. (7)

Спосіб зведення до однієї тригонометричної функції

Перенесемо у праву частину і, враховуючи, що , дістанемо рівняння:

. (8)

Підставивши до квадрата обидві частини рівняння (8), дістанемо:

або

Звідси, тобто маємо:

, де (9)

, де (10)

Ці дві формули задають чотири множини розв'язків:

 де ,

де ,

де ,

які дістанемо, якщо підставимо в формули (9) та (10) і.

Серед цих розв'язків можуть бути сторонні, оскільки до квадрата було піднесено обидві частини рівняння (8). Враховуючи періодичність синуса, досить перевірити лише чотири зображені на колі розв'язки.

Можна перевірити, що розв'язки даного рівняння задаються формулами:

де, (11)

де , (12)

які неважко об'єднати в одну. Справді, подамо вираз (12) у вигляді і, зваживши на те, що числа виду і дають всі цілі числа, дістанемо:

де .

Спосіб розкладання на множники

Перепишемо рівняння (7) у вигляді

і застосуємо формули перетворення суми синусів. Дістанемо

Оскільки , то

Звідки

де

, де .

Спосіб розв'язування однорідних рівнянь

Він застосовується до розв'язування однорідних тригонометричних рівнянь, тобто таких, в яких кожний член лівої частини - одночлен одного і того самого степеня відносно синуса і косинуса, а права частина 0. В загальному вигляді однорідне рівняння можна записати так:

.

Однорідне рівняння k-го степеня розв'язується діленням лівої і правої частини на або на .

Рівняння (7) - однорідне рівняння першого степеня відносно синуса і косинуса.

Доведемо, що в рівнянні (7).

Припустимо, що , тоді, покладаючи в рівнянні (7) , дістанемо, що й . Але синус і косинус одночасно не можуть дорівнювати нулю.

Поділивши обидві частини рівняння (7) на , дістанемо

, або ;

де .

Неважко показати на одиничному колі, що це та сама множина

розв'язків, що ї , де , знайдена раніше.

Спосіб введення допоміжного аргументу

Вивчаючи гармонічні коливання, учні перетворювали у добуток

вираз :

,

де допоміжний аргумент.

Застосовуючи це перетворення до лівої частини рівняння (7), дістанемо:

бо .

Звідси

,

де .

Останнє рівняння можна було дістати інакше, записавши дане рівняння у вигляді:

.

Спосіб піднесення до квадрата

Рівняння (7) можна розв'язати способом піднесення до квадрата обох його частин. Справді,



, де .

У даному випадку піднесення до квадрата не спричинило появу сторонніх розв'язків [1].

Графічний спосіб

Порівнюючи розглянуті способи розв'язування рівняння (7), учні прийдуть до висновку, що найменш раціональним є алгебраїчний спосіб, оскільки він не виключає появи сторонніх розв'язків.

Розглядаючи формули, що виражають тригонометричні функції через тангенс половинного кута, є можливість спинитись на розв'язуванні лінійних тригонометричних рівнянь

Корисно звернути увагу на те, що можна розв'язати лінійне рівняння не лише за допомогою підстановки , а й іншими способами, зокрема зведенням до однорідного, перетворенням у добуток або алгебраїчним способом (зведенням рівняння до алгебраїчного відносно ).

Спеціальної уваги заслуговують тригонометричні рівняння, ліва частина яких являє собою добуток тригонометричних функцій чи виразів, що їх містять, а права частина дорівнює нулю. Для таких рівнянь умову рівності добутку нулю слід дещо уточнити: добуток двох (або кількох) множників дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли принаймні один з них дорівнює нулю, а кожний з решти не втрачає смислу при тих значеннях змінної, які перетворюють в нуль згаданий множник [6].

Приклад 1.7. Розв'язати рівняння .

Розв'язання. Щоб дістати розв'язки цього рівняння, досить кожний з множників прирівняти до нуля, розв'язати знайдене рівняння і з множини його розв'язків виключити ті, при яких інші два множники втрачають смисл. Множиною розв'язків даного рівняння буде об'єднання таких множин:

де ;

де ;

де .

Щоб виключити з цих множин розв'язків ті, які є сторонніми і зустрічаються більш як один раз, розкладемо формули, якими задаються ці множини, на елементарні(елементарними називаються формули виду де ) і зобразимо їх на одиничному колі. Це можливо, оскільки період є спільним для всіх трьох множників

Як видно з рисунку, із знайдених десяти різних елементарних формул треба виключити шість. Вони задають такі значення х, при яких не існують функції і Відповідні відрізки перекреслено. Відрізки, які відповідають значенням , що повторюються, зображено пунктиром. Чотири розв'язки, що залишилися, легко виразити двома формулами:

де.

Рівняння, що містять тригонометричні функції в знаменнику,доцільно доводити до рівняння виду . Тут треба звернути увагу учнів на умову рівності дробу нулю: дріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник при значенні змінної, що перетворює в нуль чисельник, не втрачає смислу і не дорівнює нулю.

Наприклад, рівняння задовольняють ті значення змінної ,при яких , тобто при. Але при цих значеннях не існує . Тому дане рівняння не має розв'язків.

Окремі види тригонометричних рівнянь доцільно пов'язати з використанням формул тригонометричних функцій подвійного аргументу, формул перетворень в суму добутків

Під час розв'язування тригонометричних рівнянь особливу увагу слід звертати на рівносильність рівнянь. Важливо, щоб учні свідомо виконували тотожні перетворення, чітко уявляли, які з них можуть привести до порушення рівносильності рівнянь. Множення і ділення обох частин тригонометричного рівняння на вираз із змінною, піднесення обох частин рівняння до квадрата можуть привести до порушення рівносильності. Можливі випадки появи сторонніх розв'язків, а також втрати розв'язків, пов'язані з властивостями тригонометричних функцій. В зв'язку з цим перевірка є обов'язковим етапом розв'язування тригонометричного рівняння, якщо в процесі його розв'язування виконувались перетворення, які можуть привести до порушення рівносильності [5].

1.4 Втрачені і сторонні корені та перевірка знайдених розв'язків

тригонометричних рівнянь

Під час розв'язування рівнянь взагалі й зокрема тригонометричних доводиться виконувати різні математичні операції, які призводять до звуження або розширення областей існування рівнянь, внаслідок чого може змінитися й множина розв'язків рівнянь. Отже, виконання математичних перетворень може призвести до рівняння, яке не є еквівалентним даному.

Якщо область визначення рівняння звужується, то можлива втрата розв'язків, якщо розширюється, то можлива поява сторонніх розв'язків.

Деякі операції, які можуть призводити до втрати розв'язків або до появи сторонніх коренів. Корені можуть бути втрачені, коли:

а) рівняння ділять на вираз, що містить змінну, причому втрачається
той корінь, при якому цей вираз перетворюється в нуль;

б) вирази логарифмують, оскільки ця операція звужує область
визначення.

Поява сторонніх коренів можлива тоді, коли:

а) обидві частини рівняння множать на вираз, що містить змінну,
причому стороннім коренем є той корінь, при якому цей вираз
перетворюється в нуль;

б) обидві частини рівняння підносять до парного степеня;

в) взаємно протилежні доданки скорочують;

г) вирази потенціюють, оскільки ця операція розширює область
визначення.

Тому, розв'язуючи рівняння, треба стежити за зміною області визначення рівнянь і передбачити втрату або появу сторонніх коренів.

Якщо в процесі спрощення виразів не використовувались згадані перетворення, то сторонніми коренями можуть бути лише ті, за яких ліва або права частини рівняння не визначені.

Відсіюють сторонні корені перевіркою знайдених, підставляючи їх у вихідне або в еквівалентне йому рівняння.

Розв'язки тригонометричного рівняння періоду достатньо перевірити на проміжку який дорівнює за довжиною періоду рівняння, причому, якщо рівняння містить тільки парні або тільки непарні функції, то перевіряють лише невід'ємні корені на півперіоді [], бо корінь передбачає існування кореня .

Якщо період рівняння не перевищує то перевірку доцільно виконувати на одиничному колі, надаючи к послідовно значень і т. д., не виходячи за межі періоду рівняння і позначаючи точками корені. Якщо період рівняння більший від , то корені перевіряють на числовій прямій [6].

Приклад 1.8. Розв'язати рівняння

Розв'язання. Часто, щоб розв'язати таке рівняння, обидві частини його ділять на і втрачають множину коренів: де ,

оскільки при цих значеннях ліва і права частини рівняння дорівнюють нулю. Тому тут треба перенести всі члени рівняння в ліву частину і розкласти її на множники:, звідси: 1) ,, де ;

2) , . Корені перевіряти не слід, бо

еквівалентність рівняння не порушувалась [2;7].

Приклад 1.9. Розв'язати рівняння

Розв'язання. Рівняння визначено при всіх , крім і

Послідовно маємо

Звідки

.

У процесі розв'язування рівняння область його визначення розширилась і тому перевірка знайдених коренів обов'язкова.

Ліва частина рівняння -- парна періодична функція з періодом . Тому потрібно перевіряти корені в проміжку []. Якщо , то . Корінь не задовольняє рівняння - це сторонній корінь. Якщо , то. Цей корінь задовольняє рівняння. У проміжку який дорівнює за довжиною періоду, рівняння має два корені - - загальний розв'язок рівняння.

1.5 Розв'язування складніших тригонометричних рівнянь при поглибленому вивченні математики

Розв'язування тригонометричних рівнянь з додатковими умовами

Часто на розв'язання тригонометричних рівнянь накладаються різні умови. Наприклад, розв'язки повинні бути обов'язково додатні, задовольняти певну нерівність тощо. Щоб розв'язати рівняння з додатковими умовами, треба розв'язати його, не враховуючи цих умов, і з множини всіх розв'язків вибрати ті, які задовольняють додаткові умови [5].

Приклад 1.10. Знайти всі корені рівняння , які задовольняють нерівність .

Розв'язання. Перетворимо задану умову:, звідки.

Знайдемо множину розв'язків рівняння. Послідовно дістанемо:

Оскільки то Розв'язавши цю нерівність відносно ,маємо Отже, додаткова умова виконується при

Розв'язування тригонометричних рівнянь з модулем

Модулем, або абсолютною величиною, дійсного числа (позначається ), називається невід'ємне число, яке визначається за правилом:

Процес розв'язування прикладів, які містять абсолютну величину, зводиться до зняття знака модуля, тобто до заміни прикладів з абсолютною величиною прикладами без абсолютної величини [2].

Приклад 1.11. Розв'язати рівняння .

Розв'язання. Якщо ,то або

і Якщо то що суперечить умові, при якій розв'язується приклад, а саме . Отже, вказана умова не виконується, рівняння розв'язків не має. Отже, .

Розв'язування тригонометричних рівнянь з параметром

Параметром називається змінна величина, яка в умовах даної задачі стає сталою. Розв'язати рівняння з параметром - це означає встановити відповідність між значенням параметра і змінною, які задовольняють рівняння при заданих умовах.

Приклад. 1.12 Розв'язати рівняння

Розв'язання. Помноживши обидві частини рівняння на , дістанемо Отже,де і звідки - загальний розв'язок рівняння. Якщо , то і . При рівняння розв'язків не має.

2. Приклади розв'язування більш складних нерівностей

Нерівності в математиці відіграють важливу роль. Їх використовують у математичному аналізі, теорії функцій, програмуванні та в усіх інших розділах математики. Не випадково й у школі їм приділяють багато уваги. Із знаками “<” і “>” учні ознайомлюються ще в початкових класах. У IV-VI класах знаки використовують для порівняння чисел, розглядають подвійні нерівності, нерівності із знаками “” і “”.

Окремий розділ «Нерівності» вивчають у кінці VII класу. Тут учні ознайомлюються з властивостями числових нерівностей, вчаться розв'язувати нерівності з однією змінною та їх системи, застосовувати нерівності до вивчення властивостей функцій та ін.

Квадратичні, дробово-раціональні та інші нерівності вчаться розв'язувати в старших класах.

В ході вивчення нерівностей повинні бути розкриті такі логічні поняття як: невідоме, рівносильність, рівність, логічне слідування та інші. Для того щоб розв'язати нерівність треба знайти всі її розв'язки, або довести, що розв'язків немає.

Нерівності можна класифікувати за видом функції. Вони бувають:

- алгебраїчними: нерівності називаються алгебраїчними, якщо і - алгебраїчні функції;

- трансцендентними - якщо хоч одна із функцій і трансцендентна;

- раціональними, якщо алгебраїчні функції і цілі раціональні;

- дробово-раціональними, якщо хоч одна із раціональних функцій і дробово-раціональна;

- ірраціональним, якщо хоч одна із алгебраїчних функцій і ірраціональна.

Прийоми розв'язання і дослідження нерівностей і їх систем:

1. Логічні методи обґрунтування розв'язання;

2. Обчислювальні прийоми;

3. Наочно-графічні прийоми.

Формування умінь і навичок розв'язування рівнянь і нерівностей.

Для того, щоб формувати в учнів вміння розв'язувати нерівності потрібно спочатку визначити мету, потім ознайомитися з відповідними поняттями. Наступний крок - це пояснення учням прийомів і методів розв'язання нерівностей. Далі вони повинні вміти застосовувати ці знання на практиці.

Існує два шляхи розгортання змісту лінії нерівностей:

Спочатку вивчається матеріал, який відноситься до рівнянь, потім до нерівностей. В старших класах логарифмічні, показникові, тригонометричні рівняння і нерівності вивчаються в більш тісному зв'язку.

Основні класи нерівностей вивчаються відразу за вивченням відповідних рівнянь. Деякі класи рівнянь і нерівностей зближені, а інші не пов'язані в часі.

Методи розв'язання нерівностей та їх систем:

- метод інтервалів;

- графічний метод;

- функціональний метод.

Розв'язання тригонометричних нерівностей зводиться, як правило, до розв'язання найпростіших тригонометричних нерівностей, тобто нерівностей виду і т.д., а також до розв'язання сукупностей, систем або сукупностей систем найпростіших тригонометричних нерівностей. Для розв'язання найпростіших тригонометричних нерівностей у багатьох випадках зручно користуватися числовим колом, на якому множина значень змінної, яка задовольняє задану найпростішу нерівність, зображується у вигляді однієї або декількох дуг, а також аналітичним способом [5].

Тригонометричне коло. Аналогічно тому, як за допомогою нерівностей задаються проміжки на числовій прямій, можна записувати й множину точок, що належать тій або іншій дузі числового кола.

Будемо символом позначати дугу, для якої точка - початкова точка (у позначенні дуги вона записується першою), - кінцева точка шляху, описуваного поточною точкою по колу в додатному напрямку (проти годинникової стрілки).

Так, нехай за допомогою нерівності потрібно записати наступні замкнуті дуги числового кола (рис. 2.1): 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) , де точка середина дуги

1) Точка відповідає числу 0, точка відповідає числу , тому поточна точка дуги відповідає числу х такому, що

З огляду на те, що якщо точка кола відповідає числу х, то вона відповідає й всім числам виду х + 2лк (к - ціле), одержуємо, що точки дуги відповідають числам х, що задовольняють наступній системі нерівностей

або

Це -- аналітичний запис дуги .

Для дуги одержуємо:

.

Як було відзначено вище, у цьому випадку під записом розуміється дута . При першому обході кола точка відповідає числу (але не числу 0, тому що обхід кола від до іде в додатному напрямку), виходить, аналітично и можна записати так:

Дугу можна записати двома способами:

або

5) :

6) :

7) :

Нехай тепер кожна чверть числового кола розбита на три рівні частини (мал. 2). Знайдемо аналітичні записи наступних замкнутих дуг: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

1) Розглянемо дугу . Так як кожна з дуг , має довжину , то при першому додатному обході кола точка відповідає числу , точка -- числу . Отже, аналітичний запис дуги буде:

2) : .

3) :

Розв'язання. За означенням, - це ордината точки числового кола , що відповідає числу х. Відмітимо на числовому колі точки, що мають ординату, яка дорівнює (точки М і Р на рис 2.3.) Тоді точки, ордината яких більше , заповнюють відкриту дугу МР Ця дуга - геометричне розв'язання нерівності (2). Складемо аналітичний запис відкритої дуги МР. Це і є розв'язання нерівності(2).

Приклад 2.2. Розв'яжемо нерівність (3)

Розв'язання. За означенням, - це абсциса точки , що відповідає числу х. Відмітимо на числовому колі точки, що мають абсцису, яка дорівнює (точки М і Р на рисунку 2.4). Тоді геометричним розв'язанням нерівності (3) буде відкрита дуга МР (точки цієї дуги мають абсцису, меншу ). Складемо аналітичний запис відкритої дуги МР:

Приклад 2.3. Розв'яжемо нерівність (4)

Розв'язання. не визначений при . Цим числам відповідають точки й числового кола (рис. 2.5). Відзначимо на півколі точку М=М(х) таку, що . Тому що на дузі (а точніше, на кожному з інтервалів числової прямої R, які відображаються на дугу ) функція зростає , то нерівність буде виконуватися для всіх точок дуги що лежать від точки М у від'ємному напрямку, тобто на напіввідкритій дузі .

Так як, далі, основний період тангенса дорівнює то нерівність (4) буде виконуватися й для всіх точок дуги , що відрізняється від дуги на половину кола.

Отже, геометричним розв'язанням нерівності (4) є об'єднання двох напіввідкритих дуг й Складемо аналітичні записи зазначених дуг. Для дуги маємо:

а для дуги :

Втім, розв'язання нерівності (4) можна записати коротше:

Приклад 2.4. Розв'яжемо нерівність: (5)

Розв'язання. не визначений при . Цим числам відповідають точки й числового кола (рис. 2.6). Відмітимо на півколі , точку М = М(х) таку, що , для цього відкладемо дугу , довжина якої дорівнює .

Так як на дузі функція спадає, то нерівність буде виконуватися для всіх точок дуги що лежать від точки М у додатному напрямку, тобто на відкритій дузі (при розв'язанні нерівності довелося б взяти дугу ). З огляду на те, що основний період котангенса дорівнює , відзначимо ще дугу , на якій виконується нерівність (5) (вона утворюється із дуги поворотом навколо точки О на 180).

Так, геометричним розв'язанням нерівності (5) є об'єднання двох відкритих дуг й . Аналітичний запис дуги такий:

аналітичний запис дути така:

Коротше, розв'язання нерівності (5) можна записати в такий спосіб:

Приклад 2.5. Розв'яжемо систему нерівностей

Розв'язання. Знайдемо геометричне розв'язання нерівності (Дуга МР числового кола відмічена на рисунку 2.7 внутрішнім штрихуванням). На тому ж колі знайдемо геометричне розв'язання нерівності (відповідна дуга ЕК відмічена на рисунку 2.7 зовнішнім штрихуванням). Тоді геометричним розв'язанням системи (6) буде перетин дуг МР й ЕК, тобто об'єднання дуг МК і ЕР. Залишилося скласти аналітичний запис кожної із цих дуг. Для дуги МР маємо:

,

для дуги ЕР:

Найпростіші тригонометричні нерівності. Способи їх розв'язування. Метод інтервалів

При розв'язанні нерівностей із тригонометричними функціями істотно використовуються періодичність цих функцій й їхня монотонність на відповідних проміжках.

Найпростіші тригонометричні нерівності.

Функція sinх має найменший додатний період 2р. Тому нерівності виду

sin х > б, sin х > a, (1)

sin х < a, sin х < a (2)

досить розв'язати спочатку на якому-небудь відрізку довжини 2 р. Множину всіх розв'язків одержимо, додавши до кожного зі знайдених на цьому відрізку розв'язків числа виду 2 рn, n є Ж. Нерівність (1) зручно розв'язати спочатку на відрізку (тут графік функції sinх утворить «горб».)

Приклад 2.6. Розв'язати нерівність .

Розв'язання. Розв'яжемо цю нерівність на відрізку . Розглянемо його ліву половину - відрізок (Рис. 2.9). Тут рівняння має єдиний розв'язок , а функція монотонно зростає. Виходить, якщо , то , тобто ці значення х не є розв'язками нерівності. Якщо ж , то . Всі ці значення х є розв'язками нерівності. На відрізку , що залишився, функція sinx монотонно спадає й рівняння має один розв'язок . Отже, якщо , то , тобто всі ці значення х є розв'язками нерівності. Для маємо , ці значення х не є розв'язками. Таким чином ,множина всіх розв'язків даної нерівності на відрізку є інтервал .У силу періодичності функції sinх з періодом 2 значення х з будь-якого інтервалу виду , , маючи на увазі, що розв'язками початкової нерівності є ті й тільки ті значення ч, кожне з яких при якомусь з є Ж задовольняє цим двом нерівностям.

Нерівності (2) зручно розв'язати спочатку на відрізку (тут графік sinx утворить «впадину», рис. 2.10). На рисунку 2.10 дана графічна ілюстрація до розв'язання нерівності . Її розв'язками є ті й тільки ті значення , кожне з яких при якомусь задовольняє нерівності

Для нерівностей

,

зручно спочатку знайти розв'язок на відрізку («впадина»)

Приклад 2.7. Розв'язати нерівність

Розв'язання. На відрізку функція cosx монотонно спадає (рис. 2.11), а рівняння cosx має один розв'язок . Міркуючи так само, як й у прикладі 2.6, одержуємо,що значення ч з відрізка і тільки вони є розв'язками даної нерівності на відрізку. На відрізку функція монотонно зростає й рівняння має розв'язок . Звідси випливає, що всі значення ч на відрізку і тільки вони тут є розв'язками даної нерівності.

Таким чином, множина розв'язків нерівності на відрізку є відрізок . Функція періодична з періодом , тому всі значення х, кожне з яких при якомусь задовольняє нерівності

,

і тільки вона є розв'язком початкової нерівності.

Нерівності , зручно розв'язувати спочатку на відрізку

[-р,р] («горб», рис. 2.12). Рис. 2.12 є графічною ілюстрацією до розв'язання нерівності :

Всі розв'язки цієї нерівності задаються нерівностями виду:

, де

Нерівності

, , , (5)

зручно розв'язати спочатку на інтервалі , а нерівності

, , , (6)

на інтервалі . Функції й мають період , тому, додаючи до знайденого на відповідних інтервалах розв'язку числа виду , одержимо всі розв'язки нерівностей (5) і (6).

Приклад 2.8. Розв'язати нерівність <2.

Розв'язання. На інтервалі функція монотонно зростає (рис. 2.13) і рівняння tgх=2 має один розв'язок . Якщо , де , виходить ці значення ч є розв'язками даної нерівності. Якщо , то . Ці значення ч розв'язками не є.

Отже, множина розв'язків нерівності на інтервалі є інтервал . Розв'язками даної нерівності на всій числовій прямій є всі ті й тільки ті значення х, кожне з яких при якомусь задовольняє нерівності

.

Рис. 2.14 є графічною ілюстрацією до розв'язання нерівності

Його розв'язками є ті й тільки ті значення х, кожне з яких при якомусь задовольняє нерівності

.

Нерівність тригонометрична відносно . Для розв'язання її на одиничному колі з центром у початку координат (рис. 2.15) знаходимо дві точки, ордината кожної з яких дорівнює 0,5. Одна з них є кінцем кожної з дуг множини а інша - кінцем кожної з дуг множини

.

З малюнка видно, що дана нерівність справедлива при

.

Звідси при одержимо:

;

при

: ;

при розв'язків нема [5].

Приведемо деякі приклади розв'язання нерівностей (щодо невідомого х):

Приклад 2.9. при .

Розв'язання. Побудувавши на одиничному колі дві точки з ординатою, рівною (Мал. 16), зауважимо, що дана нерівність справедлива при

.

Звідси при : ;

при :

при : - будь-яке дійсне число.

Приклад 2.10. , де .

Розв'язання. Знайшовши на одиничному колі дві точки, абсциси яких рівні (рис. 2.17), зауважимо, що дана нерівність справедлива при: .

Звідси .

Приклад 2.11. .

Розв'язання. На вісі тангенсів (рис. 2.18) знаходимо точку К, ордината якої дорівнює . Точка перетину відрізка ОК з колом є кінцем дуги . З огляду на те, що період тангенса дорівнює , приходимо до висновку, що дана нерівність справедлива при або . Звідси при :

;

При

: .

Зауважимо, що при нерівність має вигляд , отже при і (будь-яке дійсне число).

Приклад 2.12. , де .

Розв'язання. На вісі котангенсів знаходимо точку М, абсциса якої дорівнює (рис. 2.19). Точка перетину відрізку ОМ з колом - кінець дуги . З огляду на періодичність функції, дійдемо висновку, що дана нерівність справедлива при

, де

Звідси

а) , тобто

;

б) , тобто

Приклад 2.13. при й.

Розв'язання. Ця нерівність рівносильна нерівності . За допомогою одиничного кола легко знаходимо розв'язок (мал. 20).

а) тобто

б) , отже

.

При розв'язанні деяких тригонометричних нерівностей зручно користуватися властивістю коренів квадратного рівняння. Розглянемо

Приклад 2.14. (1)

Розв'язання. Насамперед розглянемо випадок . Нерівність (1) приймає вигляд: , тобто

,

Нехай . Нерівність (1) легко приводиться до виду

(2)

Нехай , де . Нерівність (2) рівносильна системі

(3)

Введемо позначення . - дискримінант .

при . При цьому при будь-яких дійсних значеннях і тому розв'язанням системи (3) слугує тобто , отже (будь-яке дійсне число). при . У такому випадку система (3) прийме вигляд:

що виконується при , тобто. Звідси , крім .

Розглянемо тепер випадок , тобто . при двох дійсних значеннях

: , .

Якщо , то при і при . У цьому випадку система (3) рівносильна сукупності двох систем:

(4,5)

Для розв'язання цієї сукупності скористаємося відомою властивістю коренів квадратного рівняння. Для цього обчислимо і :

, .

Ми розглядаємо випадок . При цьому і , отже,

.

Звідси випливає, що система (4) несумісна, а розв'язком системи (5) слугує

, тобто

Нехай тепер . При цьому і при . У такому випадку система (3) рівносильна системі

І тому, при й , та , отже розв'язанням системи (6) є тобто, так, як й у попередньому випадку, . Залишилося розглянути випадок . При система (3) прийме вигляд:

тобто

Звідси , тобто , виходить,

;

При при й система (3) прийме вигляд:

(6а)

Для її розв'язання зауважимо, що , , тобто числа -1 і 1 розташовані поза проміжком . Для уточнення зрівняємо їх з напівсумою і :. Так як та , отже, , і тому . Звідси видно, що розв'язками системи (6а) є , або

, тобто

а) ;

б) .

Відповідь:

при ;

при ;

при й при ;

при ;

при , ;

при ;

.

Для зведення тригонометричних нерівностей до найпростіших можна використати у деяких випадках ті ж перетворення (введення нового невідомого, розкладання на множники й т.д.), які застосовуються для розв'язання рівнянь.

Приклад 2.15. Розв'язати нерівність .

Розв'язання. Позначимо , тоді нерівність буде мати вигляд . На відрізку множиною розв'язків цієї нерівності є інтервал . Множину всіх розв'язків запишемо у вигляді

де (7)

Підставивши в (7) , одержимо

звідки . Всі ті і тільки ті значення , кожне з яких при якомусь задовольняє цим нерівностям, і є розв'язками даної нерівності.

Приклад 2.16 Розв'язати нерівність .

Розв'язання. Перетворимо цю нерівність за допомогою введення допоміжного кута, у результаті одержимо нерівність

яка має таке ж рішення, що й перше. Із властивостей косинуса випливає, що розв'язками цієї нерівності є ті й тільки ті значення х, кожне з яких при якомусь задовольняє нерівності

тобто

Приклад 2.17. Розв'язати нерівність

Розв'язання. Скориставшись формулою й позначивши , запишемо дану нерівність у вигляді

. Звідси . Таким чином, розв'язками даної нерівності є ті й тільки ті значення х, для яких

. (8)

На відрізку ліва нерівність має розв'язок (рис. 2.23) . Серед цих значень розв'язками правої нерівності системи (8) є

,

Це і є множина всіх розв'язків системи (8), а значить, і даної нерівності на відрізку .

Тепер, використовуючи періодичність функції , легко знайти на числовій прямій всі розв'язки.

Відповідь: ;

Висновок

Тема „Тригонометричні рівняння й нерівності" вивчається в курсі алгебри і початків аналізу 10 класу. Саме в цей час тригонометричні рівняння й нерівності найбільш широко використовуються при вивченні інших навчальних дисциплін. Для її засвоєння в учнів повинна бути вже сформована і напрацьована система методів розв'язування різного роду рівнянь і нерівностей. Крім того необхідне врахування вікових та індивідуальних навчальних особливостей кожного з учнів, що має досить значний вплив при вивченні не тільки даної теми, а й будь-якої іншої.

Мету роботи досягнуто - досліджено методику викладання тригонометричних рівнянь і нерівностей при поглибленому вивченні предмету. Поставлені, відповідно мети завдання виконано повністю:

- розглянуто теоретичні відомості з розв'язування тригонометричних рівнянь і нерівностей;

- розглянуті методичні особливості вивчення тригонометричних рівнянь та нерівностей в шкільному та поглибленому курсі математики;

- Наведено велику кількість наочних рисунків та графіків, що мають допомогти у формуванні правильного розуміння теоретичного змісту теми;

Дана курсова робота може бути використана учителями класів природничо-математичного профілю при підготовці до уроків з теми „Тригонометричні рівняння та нерівності", оскільки розглянуто методику і приклади, розраховані на профільні класи.

Список використаних джерел

1. Шкіль М.І та ін. Алгебра і початки аналізу: підручник для 10 кл.
загальноосвітніх навчальних закладів. - К.: Зодіак-ЕКО, 2002. - 272 с.

2. Башмаков М.И. Математика: экспериментальное учебное пособие для СПТУ. - М.: Высш. шк., 1987. - 463 с.

3. Колмогоров А.Н и др. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. средней школы. - М.: Просвещение, 1991. - 320 с.

4. Математика 5-11 класи: програми для загальноосвітніх закладів. -Шкільний світ, 2001. - 110 с.

5. Слєпкань М.І. Методика навчання математики. - К.: Зодіак-ЕКО, 2000.- 512с.

6. Бевз Г.П. Методика викладання математики. К.: Вища школа, 1989. - 323с.

7. Калинин, С.И. Задачи и упражнения по началам математического анализа. - Киров: ВГПУ, 1997. - 288c.

8. Бескин, Н.М. Вопросы тригонометрии и ее преподавания - Москва: Учпедгиз, 1950. - 311c.

9. Мордкович, А.Г. Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной школе//Математика в школе. 2002 - 6 с.32-38.

10. Цукарь, А.Я. Упражнения практического характера по тригонометрии //Математика в школе. 1993-3- с 12-15.

11. Гилемханов, Р.Г. О преподавании тригонометрии в 10 классе по курсу В //Математика в школе. 2001- 6 -с. 26-28.