Аксіоматика в логіці і математиці

Аксіоматика в логіці й математиці

До початку XIX ст. вчені вважали, що всі математичні постулати та базисні означення є абсолютно! вірогідними й самоочевидними, інтуїтивно ясними. Сучасні математики й логіки відкидають це положення, пропонуючи розглядати постулати й означення як умовно обрані висловлення, що забезпечує більшу свободу в разі їх вибору. Свого часу в результаті такого розкріпачення наукового мислення на світ з'явилися неевклідові геометри та булева алгебра.

Нагадаємо, що строго формальний опис алгебри типу! булевої має аксіоматичний характер. Йдеться про де-І дуктивну систему, в якій теореми доводяться на основі аксіом та означень.

Завдяки відмові від ставки на інтуїтивну очевидність деяких істин математики й логіки виявилося, що у формальному плані аксіоми мають відповідати вимогам н е- суперечності, повноти й незалежності Ці абстрактні вимоги є противагою образності й передбачають вироблення нового типу мислення та пам'яті. РозЧ глянемо, у чому вони полягають.

1. Систему аксіом називають несу перечною, якщо з цих аксіом не можна зробити два взаємовиключні висновки.

2. Система аксіом називається повною, якщо вона припускає лише одну реалізацію, тобто якщо дві будь-які моделі цієї системи аксіом збігаються, або, як говорять, є ізоморфними. Дві моделі аксіоматичної системи називаються ізоморфними, якщо між: елементами, що утворюють ці моделі, можна встановити взаємно-однозначну відповідність. Інакше кажучи, дві ізоморфні моделі являють собою один і той же математичний об'єкт, тільки описаний різними мовами. 3. Система аксіом називається незалежною, якщо жодну з аксіом цієї системи не можна вивести з інших аксіом, тобто довести як теорему, базуючись на решті аксіом системи.

Головним стимулом поширення аксіоматичного методу в сучасній математиці й математичній логіці слід вважати революційні зміни в математиці, початок яким було покладено працями М. І. Лобачевського (1792-- 1856) і Я. Бояї (1802-- 1860). Ці вчені виявили, що можна побудувати несуперечну геометрію, виходячи з аксіом, які не здаються очевидними, на відміну від евклідових. На зміну інтуїтивно очевидному прийшли незвичні форми доведень, які не потребували наочності. Однак виникала потреба в новому виді пам'яті для кодування абстрактних означень і формул.

Питання про те, чи є постулат про паралельні Евкліда* незалежною аксіомою, чи його можна вивести з інших аксіом, цікавило математиків протягом двох тисяч років.

Першим відповів на зазначене питання німецький математик К. Ф. Гаусе (1777-- 1855), проте його не почули з тієї причини, що він сам цього не захотів. Публічно «єретичну» думку про можливість нетрадиційних геометрій, Що ґрунтуються на іншому наборі аксіом, ніж аксіоми Евкліда, висловили тільки Лобачевський і Бояї.

З розвитком ідей неевклідових геометрій виникла можливість заявити: даремно шукати в аксіомах математики Щось наочне, очевидне, таке, що не викликає сумнівів. Математичні аксіоми істинні лише тією мірою, якою доводяться теореми, що з них випливають.

Позбавляючи більшість наукових понять очевидного чи інтуїтивно очевидного змісту, ми не збіднюємо їх. За нового погляду на предмети теоретичного пізнання навіть високі абстракції перестають здаватися чимось сухим і беззмістовним. Це стосується й такого загадкового поняття, як «нескінченність», що відіграло важливу роль у розвитку сучасної математики й логіки.

* Евклід -- давньогрецький математик III ст. до н. є.

Неодноразово траплялися непорозуміння через те, що люди намагалися перенести на нескінченність принципи й методи, узяті зі скінченного світу. І кожного разу Не-! скінченність «ламала» найхитромудріші теорії. Та знайшовся сміливець, який спробував якщо не перехитрити, тої хоча б краєчком ока поглянути на поняття нескінченності.; Цим сміливцем був Г. Кантор, створивший теорію мно-1 жин, яку було визнано наріжним каменем усієї математики, сполучною ланкою між логікою й математикою. Нині багато сучасних учених вбачають у теорії множин схему будь-якої дедуктивної теорії.

Логічні дослідження Д. Гільберта

Не залишився осторонь від нових віянь і видатний німецький математик Д. Гільберт (1862-- 1943), який стверджував, що пряма, точка й площина, за означеннями Евкліда, не мають жорстко закріпленого за ними змісту, а свого строгого аксіоматичного змісту вони набувають лише у зв'язку з тими аксіомами, які вибираються для них.

Отже, Гільберт доводить погляди Паша й Пеано до їх логічного завершення. Він стверджує, що навіть назви основних понять математичної теорії можна обирати довільно. Цю думку вчений сформулював у такий спосіб: слід домогтися того, щоб з однаковим успіхом можна було говорити замість точок, прямих і площин про столи, стільці й кінви (кухлі для пива). Тобто він мав на увазі, що від заміни слів «точка», «пряма» і «площина» словами «стіл», «стілець» і «кінва» у геометрії нічого не зміниться, бо, незалежно від назв або вживаних символів, справу мають з абстрактними об'єктами, для яких правильними будуть співвідношення, виражені аксіомами.

Подібні новаторські ідеї істотно зачіпали основу основ математики, радикально змінюючи погляди на природу математичних об'єктів, що протягом тривалого часу асоціювалися з величинами й геометричними фігурами. Математики другої половини XIX ст. починають погоджуватися з тим, що у сфері їхньої науки цілком правомірно говорити про об'єкти, які не мають ніякої наочної інтерпретації. Виражаючи ці настрої, точніше -- випереджаючи їх, Дж. Буль іще в 1854 р. писав, що в природі математики не закладена необхідність оперувати ідеями числа та величини.

Нові погляди на об'єкти математики сприяли широкому застосуванню в ній аксіоматичного методу, а разом з ним і символічної логіки. Задачу математики вчені починали бачити у створенні вчення про відношення між абстрактними об'єктами, про які нічого не відомо, крім деяких властивостей, аксіоматично покладених у основу теорії.

В університетському місті Геттінгені, що славилося своїми вченими в усьому світі, у 1899 р. було опубліковано знамениті «Основи геометрії» Гільберта, в яких чітко визначено підхід до ключових проблем математики. Це -- метаматематика (буквально: «за межами математики»), своєрідна надматематика, головним завданням якої є доведення несуперечності формалізованих теорій, що розглядаються неначе ззовні, неначе згори. Природно припустити, що методи метаматематики мають бути у певному розумінні надформалізованими, наджорсткими для того, щоб подолати «граніт» формалізованих теорій.

Однак уже доведено, що процес формалізації є безмежним, а метаматематика -- це ще не найвища інстанція для оцінки формалізованих теорій.

Вихід із такої ситуації запропонував асистент Гільберта, талановитий німецький логік Г. Генцен (1909-- 1945), який винайшов відповідний інструмент для метаматематики. Цим інструментом виявилася математична індукція, за допомогою якої було здійснено мрію Гільберта -- доведення несуперечності арифметики. Проте зауважимо, що запропоноване доведення істотно знижувало вимоги до метаматематики, які спочатку висував Гільберт.

Розробляючи метаматематику, Гільберт наполягав на тому, що система аксіом має бути повною, незалежною й несуперечною. Особливого значення вчений надавав вимозі несуперечності аксіом, бо за нового розуміння математичної теорії як системи теорем, що виводяться дедуктивно з безлічі довільно вибраних аксіом, поняття несуперечності було єдино ефективною заміною інтуїтивно очевидних математичних істин.

Основна роль у розробках Гільберта відводилася математичній логіці. Та не встигли відлунати пророчі слова про бурхливий розвиток математичної логіки, як Е. Цермело, на той час доцент Геттінгенського університету, вказав Гільбертові на прикрий парадокс у теорії множин. (Аналогічно вчинив англійський логік і філософ Б. Рассел (1872-- 1970) щодо німецького вченого Г. Фреге (1848-- 1925) саме тоді, коли Фреге готував до друку свою працю з основ арифметики.)

Логіки зазвичай говорять: теорія містить антиномію, або парадокс, якщо в ній доводяться два суперечні один одному вирази. Щодо математиків, то більшість із них вважали антиномії філософськими фокусами, а їх еквівалент, парадокси, -- чимось, що стосується лінгвістики, а не математики, коли йдеться про труднощі у формі суперечностей. Проте час показав, що проблеми анти-номій є не лише філософськими чи лінгвістичними: вони мають пряме відношення й до математики.

Поділяючи погляди англійського математика й логіка Ф. Рамсея (1903-- 1930), вчені розрізняють логічні й семантичні (смислові) антиномії. До числа логічних належить і викладена нижче антиномія Рассела.

Нехай для якоїсь довільної множини необхідно з'ясувати, чи є вона своїм елементом, чи ні. Припустімо, що множина планет не є «великою планетою». Отже, множина планет не є власним елементом. Але множина може складатися й з одного елемента, тобто бути власним елементом. Очевидно, що власною множиною має бути й множина всіх множин.

Перевіримо це твердження, позначивши множину всіх множин великою літерою М. Якщо М є елементом М (елементом самої себе), то вона належить множині всіх множин, що не є власними елементами. Отже, М не є власним елементом. З іншого боку, якщо М -- не власний елемент М, вона не належить множині всіх множин, які не є власними елементами. Тоді М є власним елементом. Тепер можна констатувати: М є елементом М у тому й тільки в тому разі, коли М не є елементом М. Розглянемо і цю суперечність на прикладі.

Припустімо, живе в якомусь селі цирульник, що голить лише тих жителів села, які не голяться самі. Якщо позначити цирульника літерою х, яку підставимо в наведений вираз, то дійдемо висновку: х голить ху тому й тільки в тому разі, коли хне голить х. Умова, котру має за припущенням задовольняти цирульник, якого непокоїть питання, чи голити йому себе самого, виявляється внутрішньо суперечливою, а отже, нездійсненною. Щоб уникнути суперечності, пропонується до опису ситуації додати кілька слів, а саме: «Цирульник голить усіх жителів села, крім себе».

Однак у теоретичній науці все не так просто, як у випадку з сільським цирульником, про що й свідчать парадокси Цермело та Рассела. Тому деякий відхід від традиційних способів логічних міркувань був потрібен.

За словами Гільберта, парадокс Рассела справив у математиці «ефект повної катастрофи». Один за одним видатні спеціалісти з питань теорії множин залишали свої дослідження у цій галузі. Нависла небезпека й над дедуктивними методами, оскільки було зрозуміло, що подібні парадокси виникли як наслідок цих методів, які постійно використовувались у математиці. Захисників концепції Кантора почали звинувачувати у тому, що вони не розуміють природи математики й необгрунтовано переносять на сферу нескінченного методи міркувань, правильні лише стосовно області скінченного.

Гільберт був упевнений, що існує спосіб позбутися парадоксів без надто великих жертв. У зв'язку з цим він пропонує, щоб саме доведення стало об'єктом логіко-ма-тематичного дослідження. Так виникла ідея метаматематики, або теорії доведень.

Учений мав намір здійснити свою програму в два етапи. На першому етапі всю математику планувалося Формалізувати, тобто побудувати таку формальну систему, з аксіом якої за допомогою чітко означених правил виведення можна було б дійти, принаймні, основ математики. Ця система мала бути формальною у тому розумінні, що в ній враховувалися тільки вид і порядок символів (синтаксис), але ніяк не їхнє значення (семантика).

На другому етапі Гільберт збирався показати, що застосування правил виведення до аксіом ніколи не призведе До суперечності, якщо логічні міркування матимуть настільки елементарний характер, що їх правильність не можна буде взяти під сумнів. За допомогою таких міркувань мала бути встановлена метатеорема про неможливість суперечності, тобто Гільберт пропонував дослідити методи математичних доведень засобами теорії доведень (метаматематики). Він наполягав і на тому, щоб у теорії доведень дозволялося користуватися лише фінітними (скінченними) методами, які дають змогу уникнути застосування поняття «актуальна нескінченність». Новий підхід мав також до-j зводити уникнути використання «актуальної нескінчен-ч ності» і у формулюванні проблеми доведення несупереч-ності, оскільки в будь-якій даній теорії існує зчисленно-нескінченна множина доведень, але у твердженні про її несуперечність йдеться лише про довільну пару доведень, а не про всю множину доведень як про завершений об'єкті

Запропонувавши перетворити математику на формалізовану систему, об'єкти якої виражаються мовою символічної логіки, Гільберт зазначав, що ці об'єкти (математичні теореми та їх доведення) мають охоплювати сукупність усіх теорем даної математичної теорії. Несуперечність цієї формальної математичної системи слід було встановлювати за допомогою фінітних методів.

Гільберту здавалося правдоподібним, що проблему не-суперечності, сформульовану у фінітних термінах, МОЖНЕ й розв'язати фінітними методами. На жаль, учений так не уточнив, які саме методи розглядалися ним як фінітні.

Однак ні Гільбертові, ні його послідовникам не вдалося виконати намічену програму сповна, бо вони хибно уяв-j ляли місце й роль антиномій у розвитку математики. Проте в процесі пізнавального пошуку цими вченими було нагромаджено багато цінного у сфері теоретичного мислення.

Наприкінці 20-х років XX ст. Гільберт додав до проблеми несуперечності нову -- проблему повноти формальної системи. Це істотне обмеження було зумовлене спробами деяких учених довести несуперечність як вихідний принцип математичного мислення. У своїй науковій прац учений К. Гедель у 1931 р. з усією логіко-математичною строгістю обґрунтував принципову неповноту формалізованої теорії чисел. При цьому доводилася теорема, з якої однозначно випливало, що не існує фінітного доведення несуперечності формальної системи, досить повної, щоб формалізувати всі фінітні міркування. Отже, втрачали сенс усі зусилля Гільберта математично довести несуперечність формальної системи.

Вчений спробував винайти конструктивний підхід до проблеми. До того ж, хоч як це дивно, сам Гедель відчував,ідо його праця не суперечить формалізмові Гільберта. Дійсно, незабаром стало ясно, що не слід відмовлятися від початкової програми Гільберта, завдяки якій плідно розвивалася теорія доведення: необхідно дещо зменшити вимоги формалізації. Це зрозумів і Гільберт, запропонувавши замінити свою схему повної індукції на правило, що дістало назву трансфінітної індукції.

Незважаючи на тяжкий удар, завданий Геделем програмі формалізації математики й встановленню її несуперечності за допомогою абсолютного доведення, питання про несуперечність математики, підняте Гільбертом, відіграло неоціненну роль в історії логіко-математичної думки. За словами самого Геделя, доведення несуперечності є цікавими й ведуть до надзвичайно важливого проникання у структуру теорії доведень у математиці.

Запам'ятаймо, що завдяки Гільберту було створено нову галузь науки -- метаматематику. І хоч окремі дослідження в цій галузі були й до нього, тільки він мав най-оригінальніші й найпозитивніші результати в теорії доведень. Тому Гільберта цілком справедливо вважають батьком метаматематики як самостійної науки. А його талановитий учень Г. Вейль (1885-- 1955) таким чином сформулював суть формалізму Гільберта.

Якщо Евклід намагався дати описове означення основних просторових об'єктів і співвідношень, що діють у його аксіомах, то Гільберт рішуче відмовився від такого підходу. На думку німецького вченого, основні поняття геометрії містяться в аксіомах, які є неявними й неповними означеннями цих понять. Крім того, Евклід вважав аксіоми очевидними, тоді як у дедуктивній системі геометрії очевидність аксіом зовсім неістотна: аксіоми є лише своєрідними припущеннями, з яких виводяться ті чи інші логічні висновки.

Гільберт прагнув не просто побудувати геометрію на міцному фундаменті, але вперше детально дослідити логічну структуру геометричної будови. Так учений натрапив на питання про незалежність аксіом, їх невивідність із Даної системи аксіом. З цим питанням тісно пов'язане інше -- про несуперечність теоретичних тверджень, про Доведення неможливості виведення одного твердження з *нших у системі тверджень. Предметом вивчення тут стають самі твердження, а не ті об'єкти, до яких вони належать. У разі відходу від безпосередньо математичних об'єктів усе зводиться до питання про несуперечність аксіом (арифметики), яке залишається невирішеним. Аналогічно твердження про повноту означає, що кожне загальне твердження про об'єкти, які беруть участь в аксіомах, може бути виведене з них. Але питання про повноту формалізму, як його розумів Гільберт, було зняте Геделем: він указав на спосіб побудови арифметичних тверджень, істинність яких очевидна, хоча вони й не виводяться в рамках формалізму. У результаті межі того, що заслуговувало на довіру з інтуїтивного погляду, знову стали нечітко окресленими, невизначеними. У цьому, за Вейлем, і полягає основна проблема, що хвилювала Гільберта.

Крім постулатів несуперечності, незалежності й повноти в логіці існує ще один важливий постулат --постулат вирішення дедуктивної с и с т е-м и як один із базисних для аксіоматичного методу.

Розв'язною називають таку систему, в якій стосовно кожного правильно побудованого висловлення можна обґрунтувати або вивідність його з аксіом системи, або його невивідність. Інакше кажучи, проблема вирішення полягає у тому, щоб визначити, чи можливо для даної формалізованої мови уявити якусь «механічну» процедуру, котра давала б змогу для будь-якого відношення з розглядуваного формалізму визначити, істинне воно чи ні. Така проблема є розв'язною для формалізмів, що містять мало початкових знаків і аксіом, а для більш багатих систем ц" зробити неймовірно важко, якщо взагалі можливо. Вс впирається в проблему несуперечності.

Видатний американський математик, логік і філосо' У. О. Куайн (нар. 1908) першим назвав операцію використання логічних правил для перевірки логічних формул розв'язанням. Суть розв'язання логічної формули полягає у вивченні того, за яких підстановок («істина» чи «лож-ність»*) на місце змінних формула перетворюється на істинне або ложне висловлення. Це дає відповідь на

Оскільки в українській мові немає точного терміна, еквівалентного російському логіко-математичному терміну «ложность» («ложь»), а українське слово «хибність» («хиба») використовується здебільшого для указания на помилковість, у даному посібнику пропонується використовувати термін «ложність» («лож»). (Тим більше, що в українській мові широковживаними є слова «лжепророк», «лженаука» тощо.)

запитання, чи є логічна формула виконуваною (чи переходить вона за умови хоча б одного добору підстановок в істинне висловлення) і загальнозначущою (чи переходить вона в істинне висловлення за будь-яких підстановок).

Куайн не був засновником процедур вирішення. Його заслуга перед логікою полягає в тому, що проблему вирішення було сфокусовано на фундамент логічної науки, яким є логіка висловлень.