История возникновения тригонометрических функций

10

Астраханский кооперативный техникум

Доклад

История возникновения тригонометрических функций

Выполнил: студент гр. Т-11

Ильбалиев М.М.

АСТРАХАНЬ 2005

Краткий обзор развития тригонометрии

Тригонометрия возникла и развивалась в древности как один из разделов астрономии, как ее вычислительный аппарат; отвечающий практическим нуждам человека. Именно астрономия определила тот факт, что сферическая тригонометрия возникла раньше плоской.

Некоторые тригонометрические сведения были известны древним вавилонянам и египтянам, но основы этой науки заложены в Древней Греции, Древнегреческие астрономы успешно решали отдельные вопросы из тригонометрии, связанные с астрономией. Однако они рассматривали не линии синуса, косинуса и др., а хорды. Роль линии синусов угла ее у них выполняла хорда, стягивающая дугу, равную 2а.

Греческий астроном Гиппарх во II в. до н. э. составил таблицу числовых значений хорд в зависимости от величин стягиваемых ими дуг. Более полные сведения из тригонометрии содержатся в известном «Альмагесте» Птолемея.

Птолемей делилокружностьна360 градусов, а диаметр -- на 120 частей. Он считал радиус равным 60 частям (60Ч). Каждую, из частей он делил на 60', а каждую минуту на 60", секунду -- на 60 терций (60'") и т. д. Говоря иными словами, он воспользовался шестидесятеричной системой счисления, по всей вероятности, позаимствованной им от вавилонян. Применяя указанное деление, Птолемей выражал сторону правильного вписанного шестиугольника или хорду, стягивающую дугу в 60° в виде 60 частей радиуса (60^Ч), а сторону вписанного квадрата или хорду в 90° приравнивал числу 84^Ч5110". Хорду в 120° -- сторону вписанного равностороннего треугольника -- он выражал числом 103^Ч55'23"и т.д.

Применив известные из геометрии теоремы, ученый нашел зависимости, которые равнозначны следующим современным формулам при условии:

Воспользовавшись этими соотношениями и выраженными в частях радиуса значениями хорд 60°' и 72°, он вычислил хорду, стягивающую дугу в 6°, затем 3°; 1,5° и, наконец, --0,75°. (Значение хорды в Г он выражал приближенно.)

Сделанные расчеты позволили Птолемею составить таблицу, которая содержала хорды от 0 до 180°, вычисленные с точностью до 1" радиуса.

Эта таблица, сохранившаяся до нашего времени, равнозначна таблице синусов от 0 до 90° с шагом 0, 25° с пятью верными десятичными знаками.

Названия линий синуса и косинуса впервые были введены индийскими учеными. Они же составили первые таблицы синусов, хотя и менее точные, чем птолемеевы. В Индии и начинается по существу учение о тригонометрических величинах, названное позже гониометрией (от «гониа», -- угол и «мехрио» -- измеряю).

Дальнейшее развитие учение о тригонометрических величинах получило в IX--XV вв. в странах Среднего и Ближнего Востока в трудах ряда математиков, которые не только воспользовались существовавшими в то время достижениями в этой области, но и сделали свой значительный вклад в науку.

Известный Мухаммад ибн Муса ал-Хорезми (IX в.) составил таблицы синусов и котангенсов. Ал-Хабаш или (Ахмед ибн Абдаллах ал-Марвази) вычислил таблицы для тангенса, котангенса и косеканса.

Важное значение в развитии тригонометрии имели труды ал-Баттани (ок. 850--929) и Абу-л-Вафы ал-Бузджани (940--998). Последний вывел теорему синусов сферической тригонометрии, вычислил для синусов таблицу с интервалом в 15', значения в которой приведены с точностью до 8-го десятичного знака, нашел отрезки, соответствующие секансу и косекансу.

Абу Райхан Мухаммад ибн Ахмад-ал-Беруни (по другой транскрипции Бируни (973--1048)) обобщил и при этом уточнил результаты, которых достигли его предшественники в области тригонометрии. В труде «Канон Мас'уда» он изложил все известные в то время положения из тригонометрии и существенно дополнил их. Важное нововведение, предпринятое Абу-л-Вафой, подтвердил и ал-Беруни. Вместо деления радиуса на части, сделанного Птолемеем, они брали единичный радиус. Ал-Беруни подробно объяснил причину этой замены, показав, что все вычисления с единичным радиусом значительно проще.

Насир ад-Дин Мухаммад ат-Туси (1201--1274) в «Трактате о полном четырехстороннике» впервые изложил тригонометрические сведения как самостоятельный отдел математики, а не придаток к астрономии. Его трактат впоследствии оказал большое влияние на работы Региомонтана (1436--1476).

В первой половине XV в. Джемшид ибн Масуд ал-Каши вычислил с большой точностью тригонометрические таблицы с шагом в. Г, которые на протяжении 250 лет оставались непревзойденными.

В Европе XII--XV вв., после того как были переведены с арабского и греческого языков на латинский некоторые классические математические и астрономические произведения, развитие тригонометрии продолжалось. При решении плоских треугольников широко применялась теорема синусов, вновь открытая жившим в Южной Франции Львом Герсонидом (1288--1344), тригонометрия которого была в 1342 г. переведена на латинский язык. Самым видным европейским представителем этой эпохи в области тригонометрии был Региомонтан. Его обширные таблицы синусов через Г с точностью до 7-й значащей цифры и его мастерски изложенный тригонометрический труд «Пять книг о треугольниках всех видов» имели большое значение для дальнейшего развития, тригонометрии в XVI--XVII вв.

На пороге XVII в. в развитии тригонометрии намечается новое направление -- аналитическое. Если до этого главной целью тригонометрии считалось решение треугольников, вычисление элементов геометрических фигур и учение о тригонометрических функциях строилось на геометрической основе, то в XVII--XIX вв. тригонометрия постепенно становится одной из глав математического анализа. Она находит широкое применение в механике, физике и технике, особенно при изучении колебательных движений и других периодических процессов. О свойстве периодичности тригонометрических функций знал еще Виет, первые математические исследования которого относились к тригонометрии. Швейцарский математик Иоганн Бернулли (1642--1727) уже применял символы тригонометрических функций. И если развитие алгебраической символики, введение отрицательных чисел и направленных отрезков содействовали расширению понятия угла и дуги, то развитие учения о колебательных движениях, о звуковых, световых и электромагнитных волнах привело к тому, что основным содержанием тригонометрии стало изучение и описание колебательных процессов. Из физики известно, что уравнение гармонического колебания (например, колебания маятника, переменного электрического тока) имеет вид:

Графиками гармонических колебаний являются синусоиды, поэтому в физике и технике сами гармонические колебания часто называют синусоидальными колебаниями.

В первой половине XIX в. французский ученый Ж. Фурье доказал, что всякое периодическое движение может быть представлено (с любой степенью точности) в виде суммы простых гармонических колебаний.

Расширение представлений о тригонометрических функциях привело к обоснованию их на новой, аналитической базе: тригонометрические функции определяются независимо от геометрии при помощи степенных рядов и других понятий математического анализа.

Развитию аналитической теории тригонометрических функций содействовали И. Ньютон и Л. Эйлер. Основоположником этой теории следует считать Л. Эйлера. Он придал всей тригонометрии современный вид. Дальнейшее развитие теории было продолжено в XIX в. Н.И.Лобачевским и другими учеными. В наше время тригонометрия больше не рассматривается как самостоятельная ветвь математики. Важнейшая ее часть -- учение о тригонометрических функциях,-- является частью более общего, построенного с единой точки зрения учения о функциях, изучаемых в математическом анализе; другая же часть -- решение .треугольников -- рассматривается как глава геометрии (плоской и сферической).

Теоремы сложения

Тригонометрические функции суммы и разности аргументов

При составлении тригонометрических таблиц важны формулы, которые позволяют находить тригонометрические функции суммы и разности аргументов (<х± Р), зная тригонометрические функции их. Первым дошедшим до нас трактатом, содержащим такие формулы (относящиеся, однако, к хордам), является «Альмагест» Птолемея. В этом труде геометрическим путем с помощью теоремы Птолемея выводятся формулы для хорды разности и суммы двух углов. Индийские ученые, в частности Бхаскара (XII в.), пользовались формулой, которую в_ современной символике можно записать так:

где R -- радиус окружности. Этой и другими формулами сложения пользовались ученые средних веков стран Азии и Европы.

В «Аналитической тригонометрии», опубликованной в Брауншвецге (Германия) в 1770 г. Г. Клюгелем, одним из последователей Эйлера, впервые фигурирует термин «тригонометрические функции». Также впервые эти функции вводятся с самого начала не как линии в круге, а как отношение сторон треугольников. Аналитический подход позволил автору раскрыть много неясных мест в тригонометрии. Теорему о синусе суммы Клюгель выводил из формулы:

которую он предварительно получал, непосредственно рассматривая треугольник ABC. Название и содержание книги Клюгеля не случайны. Под влиянием трудов Эйлера начиная с 70-х годов XVIII в., аналитический метод стал постепенно господствующим в тригонометрических работах, несмотря на то что в школьных учебниках еще долго фигурировали геометрические выводы.

Тригонометрические функции двойного и половинного аргумента. Формулы преобразования

При составлении таблиц хорд уже Птолемей пользовался соотношением, эквивалентным нашей формуле:

Этой формуле эквивалентно и следующее, содержащееся в индийских сиддхантах соотношение:

Индийцы знали также формулу для двойного синуса. Абу-л-Ва-фа установил формулу

Эта и другие формулы удвоения и деления на два для синуса и косинуса встречаются у многих ученых средних веков. Виет в «Исчислении треугольников» вычислял синусы и косинусы любых кратных дуг, используя прием, подобный умножению комплексных чисел.

Англичанин Джон Пелль, француз Г. Роберваль и другие математики XVII в. разными способами доказывали формулу.

Формула же

появилась впервые во «Введении в анализ» Л. Эйлера.

На протяжении веков практиковались как преобразования произведений в суммы, так и суммы в произведения в зависимости не только от целей преобразований, но и от применявшихся вычислительных средств. Действие умножения, особенно когда речь идет о многозначных числах, всегда считалось более сложным и более утомительным, чем действие сложения. Поэтому до изобретения логарифмов вычислители искали формулы преобразования произведения тригонометрических величин в сумму, чтобы заменить умножение сложением.

В XVI в. астрономы, в том числе и датский ученый Тихо Браге, один из предшественников Кеплера, применяли формулу

для замены произведения суммой. С этой же целью применяли и позже и применяют поныне формулы преобразования в случаях доказательства тригонометрических тождеств, вычислений с помощью натуральных таблиц и т. п.

Для обратной цели, т. е. для замены сложения умножением, формулы преобразования стали широко использоваться после того, как при вычислении стали применять таблицы логарифмов для приведения к логарифмическому виду. В этом, как и в других вопросах тригонометрии, много было сделано Эйлером.

Теорема тангенсов, формулы площади треугольника и некоторые другие формулы

Для нахождения площади S в треугольнике издавна применялась так называемая «формула Герона», установленная еще в III в. до н. э. великим Архимедом. Однако еще до этого Евклид в своем произведении, названном «Данные», изложил некоторые предположения, по существу имеющие тригонометрический характер. Одно из них эквивалентно известной формуле, выражающей площадь треугольника ABC:

Доказательство и современная формулировка соотношения были изложены в 20-х годах XVII в. в одном из произведений нидерландского ученого В. Снелля (Снеллиуса), того самого, который открыл закон преломления света.

При решении треугольников иногда применяется следующее соотношение, названное «теоремой тангенсов»:

Эта теорема была в основном установлена еще в 1583 г. Т. Финком и сформулирована устно в современных терминах Ф. Вистом в 1593 г. Ее без оснований иногда называют «формулой Непера».

Другие две формулы, применяемые в отдельных случаях к решению треугольников, а именно:

тоже неправильно называют «формулами Мольвейде». Дело в том, что первая из них была установлена И. Ньютоном еще в 1707 г. В 1746 г. Ф. фон-Оппель в своей книге «Анализ треугольников» вывел обе формулы (7) из геометрически доказанной «теоремы тангенсов». Что же касается К. Мольвейде, то он ограничился помещением этих двух формул в одной из своих работ, изданной в 1808 г.

При решении треугольников нередко применяется и так называемая «теорема проекций»:

В XVIII--XIX и начале XX в., когда применялись лишь логарифмические таблицы для решения треугольников, прибегали в основном к формулам (2) и (6), удобным для логарифмирования: с распространением таблиц натуральных значений тригонометрических функций довольно часто стали применять и формулы (1) и (8).