8

СОДЕРЖАНИЕ

• 1. Понятие о случайном событии
• 2. Алгебра событий
• 3. Классическое определение вероятности
• 4. Относительная частота
• Список литературы

1. Понятие о случайном событии

Определение 1. Суммой событий Аи В называется событие С = А + В, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В.

Аналогично суммой конечного числа событий А1, А2,..., A_k -- называется событие А = А1 + А2 + ... + A_k, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A. (i = 1, 2, ..., _К).

Из определения 1 непосредственно следует, что А + В = В + А. Справедливо также и сочетательное свойство. Однако А+А = А (а не 2А, как в алгебре).

Определение 2. Произведением событий А и В называется событие С = АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошли и событие А, и событие В.

Из определения 2 непосредственно следует, что АВ = ВА. Справедливы также сочетательный и дистрибутивный законы. Однако АА = А (а не А2).

3. Классическое определение вероятности

Можно ли как-то измерить возможность появления некоторого случайного события? Другими словами, можно ли охарактеризовать эту возможность некоторым числом?

Всякое испытание влечет за собой некоторую совокупность исходов -- результатов испытания, т. е. событий. Во многих случаях возможно перечислить все события, которые могут быть исходами данного испытания.

Определение 1. Говорят, что совокупность событий образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится хотя бы одно из них.

Определение 2. События U₁, U₂, ..., U, образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий, будем называть элементарными событиями.

Определение 3. Событие А называется благоприятствующим событию Б, если наступление события А влечет за собой наступление события В.

Определение 4 (классическое определение вероятности). Вероятностью Р(А) события А называется отношение m/n числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т. е. Р(А) = m/n.

Из приведенного классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства.

1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, достоверному событию должны благоприятствовать все n элементарных событий, т.е. m = n, и, следовательно,

2. Вероятность невозможного события равна нулю. В самом деле, невозможному событию не может благоприятствовать ни одно из элементарных событий, т.е. m = 0, откуда

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

4. Относительная частота

Статистическое определение вероятности. Классическое определение вероятности не является пригодным для изучения произвольных случайных событий. Так, оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны. Например, при бросании неправильной игральной кости выпадение ее различных граней не равновозможно.

В таких случаях используется так называемое статистическое определение вероятности.

Пусть произведено n испытаний, при этом некоторое событие А наступило m раз.

Определение 1. Число m называется абсолютной частотой (или просто частотой) события А, а отношение Р*(А) = m/n называется относительной частотой события А.

Результаты многочисленных опытов и наблюдений помогают заключить: при проведении серий из n испытаний, когда число n сравнительно мало, относительная частота Р*(А) принимает значения, которые могут довольно сильно отличаться друг от друга. Но с увеличением n - числа испытаний в сериях - относительная частота Р*(А) = m/n приближается к некоторому числа Р(А), стабилизируясь возле него и принимая все более устойчивые значения.

Определение 2 (статистическое определение вероятности). Вероятностью события А в данном испытании называется число Р(А), около которого группируются значения относительной частоты при больших n.

Таким образом, относительная частота события приближенно совпадает с его вероятностью в статистическом смысле, если число испытаний достаточно велико (имеется огромный опытный материал по проверке последнего утверждения).

С этой точки зрения величина m = n Р(А) представляет собой среднее значение числа появления события А при n испытаниях.

Статистическое определение вероятности, использующее статистическую обработку данных, находит широкое применение.

При широких предположениях доказывается, что вероятности события в классическом и статистическом смыслах совпадают между собой.

Список литературы

1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика: Учеб. для студ. высш. учеб. заведений. - М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2002.

2. Горин Е.А. Высшая математика: Учебник для вузов. - М.: Юнити-Дана, 2001.

3. Суетин П.К. Высшая математика для экономистов: Учебник для студентов вузов. - М.: Дрофа, 2002.