Основные формулы алгебры и геометрии

Формулы сокращенного умножения и разложения на множители:

(ab)=a2ab+b

(ab)=a3ab+3abb

a-b=(a+b)(a-b)

ab=(ab)(aab+b),

где знак озн. противополож. знак

xⁿ-aⁿ=(x-a)(x^n-1+ax^n-2+ax^n-3+...+a^n-1)

ax+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)

где x₁ и корни уравнения

ax+bx+c=0

Степени и корни:

a^pa^g = a^p+g

a^p:a^g=a ^p-g

(a^p)^g=a ^pg

ap /bp = (a/b)p

a^pb^p = ab^p

a⁰=1; a¹=a

a^-p = 1/a

^pa =b => b^p=a

^pa^pb = ^pab

a ; a 0

____

/ __ _

^{p g}a = ^pga

___ __

^pka^gk = ^pa^g

_p ____

/ a ^pa

/ =

b ^pb

a ^1/p = ^pa

^pa^g = a^p/g

Квадратное уравнение

ax+bx+c=0; (a0)

x_1,2= (-bD)/2a; D=b -4ac

D>0 x₁x₂ ;D=0 x₁=x₂

D<0, корней нет.

Теорема Виета:

x₁+x₂ = -b/a

x₁ x₂ = c/a

Приведенное кв. уравнение:

x + px+q =0

x₁+x₂ = -p

x₁x₂ = q

Если p=2k (p-четн.)

и x+2kx+q=0, то x_1,2 = -k(k-q)

Логарифмы:

log_a x = b => a^b = x; a>0,a0

a ^{loga x} = x, log_aa =1; log_a 1 = 0

log_a x = b; x=a^b

log_a b = 1/(log _b a)

log_axy = log_ax + log_a y

log_a x/y = log_a x - log_a y

log_a x^k =k log_a x (x >0)

log_a^k x =1/k log_a x

log_a x = (log_c x)/( log_ca); c>0,c1

Прогрессии

Арифметическая

a_n = a_n-1 +d

2a_n= a_n-1 + a_n+1

a_n = a₁ + d(n-1)

S_n = n(a₁ + a_n )/2

S_n = (a₁+d(n-1))n/2

S_n= a₁ + a₂ +...+a_n

Геометрическая

b_n = b_n-1 q

b²_n = b_n-1 b_n+1

b_n = b₁q^n-1

S_n= (b_nq- b₁)/(q-1)

S_n = b₁ (qⁿ-1)/(q-1)

S= b₁/(1-q)

Тригонометрия

sin x = a/c

cos x = b/c

tg x = a/b=sinx/cos x

ctg x = b/a = cos x/sin x

sin (-) = sin

sin (/2 -) = cos

cos (/2 -) = sin

cos ( + 2k) = cos

sin ( + 2k) = sin

tg ( + k) = tg

ctg ( + k) = ctg

sin + cos =1

tg = cos / sin , n, nZ

tg ctg = 1, (n)/2, nZ

1+tg = 1/cos , (2n+1)/2

1+ ctg =1/sin , n

Формулы сложения:

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y

cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y

tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )

x, y, x + y /2 + n

tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)

x, y, x - y /2 + n

Формулы двойного аргумента.

sin 2 = 2sin cos

cos 2 = cos - sin = 2 cos - 1 = 1-2 sin

tg 2 = (2 tg)/ (1-tg)

1+ cos = 2 cos /2

1-cos = 2 sin /2

tg = (2 tg (/2))/(1-tg(/2))

Ф-лы половинного аргумента

sin /2 = (1 - cos )/2

cos/2 = (1 + cos)/2

tg /2 = sin/(1 + cos ) = (1-cos )/sin

 + 2n, n Z

Ф-лы преобразования суммы в произв.

sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)

sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)

cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2

cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2

sin (x+y)

tg x + tg y = ----------

cos x cos y

sin (x - y)

tg x - tgy = ----------

cos x cos y

Формулы преобр. произв. в сумму

sin x sin y = (cos (x-y) - cos (x+y))

cos x cos y = (cos (x-y)+ cos (x+y))

sin x cos y = (sin (x-y)+ sin (x+y))

Соотнош. между ф-ями

2 tg x/2

sin x = ------------

1+ tg x/2

1-tg 2/x

cos x = ----------

1+ tg x/2

Тригонометрические уравнения

sin x = m ; |m| 1

x = (-1)ⁿ arcsin m + k, k Z

sin x =1 sin x = 0

x = /2 + 2k x = k

sin x = -1

x = -/2 + 2 k

cos x = m; |m| 1

x = arccos m + 2k

cos x = 1 cos x = 0

x = 2k x = /2+k

cos x = -1

x = + 2k

tg x = m

x = arctg m + k

ctg x = m

x = arcctg m +k

sin x/2 = 2t/(1+t²); t - tg

cos x/2 = (1-t)/(1+t)

Геометрия

Треугольники

+ + =180

Теорема синусов

a = b+c - 2bc cos

b = a+c - 2ac cos

c = a + b - 2ab cos

Медиана делит треуг. на два равновеликих. Медиана делит противопол. сторону напополам.

Биссектриса - угол.

Высота падает на пр. сторону под прямым углом.

Формула Герона:

p= (a+b+c)

 _____________

S = p(p-a)(p-b)(p-c)

S = ab sin

S_равн.=(a3)/4

S = bh/2

S=abc/4R

S=pr

Трапеция

S = (a+b)/2 h

Круг

S= R

S_{сектора}=(R)/360

Стереометрия

Параллепипед

V=S_оснР

Прямоугольный

V=abc

Пирамида

V =1/3S_осн.H

S_полн.= S_бок.+ S_осн.

Усеченная:

H . _____

V = 3 (S₁+S₂+S₁S₂)

S₁ и S₂ -- площади осн.

S_полн.=S_бок.+S₁+S₂

Конус

V=1/3 RH

S_бок. =Rl

S_бок.= R(R+1)

Усеченный

S_бок.= l(R₁+R₂)

V=1/3H(R₁²+R₁R₂+R₂²)

Призма

V=S_осн.H

прямая: S_бок.=P_осн.H

S_полн.=S_бок+2S_осн.

Наклонная

:

S_бок.=P_псa

V = S_псa, а -бок. ребро.

P_пс -- периметр

S_пс -- пл. перпенд. сечения

Цилиндр

V=RH ; S_бок.= 2RH

S_полн.=2R(H+R)

S_бок.= 2RH

Сфера и шар

V = 4/3 R - шар

S = 4R - сфера

Шаровой сектор

V = 2/3 RH

H - высота сегм.

Шаровой сегмент

V=H(R-H/3)

S=2RH



град					0	30	45	60	90	120	135		180
	-/2	-/3	-/4	-/6	0	/6	/4	/3	/2	2/3	3/4	3/6
sin	-1	-3/2	-2/2	-	0		2/2	3/2	1			-	0
cos					1	3/2	2/2		0	-	-2/2	- 3/2	-1
tg		-3	-1	-1/3	0	1/3	1	3		-3	-1		0
ctg					---	3	1	1/3	0	-1/3	-1		--

n	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	9	16	25	36	49	64	81
3	8	27	64	125	216	343	512	729
4	16	81	256	625	1296	2401	4096	6561
5	32	243	1024	3125	7776	16807	32768	59049
6	64	729	4096	15625	46656
7	128	2181
8	256	6561