Математические парадоксы

Содержание

Введение

1. Многообразие парадоксов и их причины

1.1 Парадокс Греллинга

1.2 Парадокс Бери

1.3 Парадоксы как петли

2. Абстракции и иерархические языки, парадоксы с множествами

3. Парадоксы и развитие математики

Заключение

Список использованных источников

Введение

Парадокс в широком смысле -- это утверждение, резко расходящееся с общепринятыми, устоявшимися мнениями, отрицание того, что представляется безусловно, правильным". Само греческое слово, от которого произведено наше слово "парадокс", буквально означало "необычное, странное, невероятное, замечательное".

Парадокс в более узком и более современном значении -- это два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются представляющиеся убедительными аргументы.

Парадоксы были типичными способами постановки проблем в античном мышлении. Сначала парадоксы рассматривались только как продукт философских измышлений, теперь наука признала их полноправными членами сообщества научных проблем [1]. Парадоксы возникают в современных прикладных науках также часто, как и в древних.

В свое время (VII в. до н.э.) вавилонские жрецы-астрологи заметили, что некоторые планеты временами замедляют движение, пятятся назад, а затем снова продолжают движение в обычном направлении. Гераклид Пантийский смог объяснить "явление блуждающих светил" с помощью математической теории эпицикла. Но при этом оставались другие проблемы -- не все светила вели себя по этой схеме. Долгое время ученые с помощью своих теорий (геометрическая, механическая) не могли объяснить "дуализм света" (XVIII-XIX вв.), только предположение Д.К.Максвелла о электромагнитной природе света разрешило эту проблему. Таким образом, можно считать, что парадоксы возникают в науке там, где теория не описывает процессы должным образом. Разрешение таких парадоксальных явлений ведет в свою очередь к возникновению новых теорий [2].

Особое место занимают парадоксы в математике и логике, так как "чистая математика" -- абстрактная наука, построенная на теориях, которые не кажутся очевидными с первого взгляда. Здесь их статус глубоких и кардинальных проблем не подвергается сомнению. Тем более, что в математике, как ни в одной другой науке, особое внимание обращается на строгость и логическую последовательность доказательств. При этом часто возникают ситуации, в которых рассуждения, применяющиеся совсем недавно и считающиеся строгими, будут требовать дополнительного обоснования. Тогда математик просто излагает свои идеи в том виде, как они у него возникают. Однако часто возникает необходимость сделать выбор между методами изложения некорректными, но, быть может, плодотворными, и корректными, но позволяющими выразить мысль лишь в измененном виде и притом ценой значительных усилий. Ни тот, ни другой путь не свободен от опасностей. Первый путь ведет к возникновению и развитию новых теории и нового уровня абстракции, а следовательно и парадоксов, второй к "затуханию науки" [1].

1. Многообразие парадоксов и их причины

1.1 Парадокс Греллинга

Парадокс Греллинга был сформулирован в 1908 году математиками Куртом Греллингом (1886-1941) и Леонардом Нельсоном (1882-1927). В этом парадоксе речь идет о прилагательных. Каждое прилагательное либо само обладает тем свойством, которое оно выражает, либо -- нет. Например, прилагательное "русский" (-ая, -ое, -ие) само является русским, а прилагательное "голубой" (-ая, -ое, -ые) само, конечно, голубым не является. Прилагательные первого вида описывают самих себя, т.е. применимы к себе. Такие прилагательные назовем "автологичными". Прилагательные второго вида не применимы к себе, их мы назовем "гетерологическими". Введем теперь обозначения: прилагательные обозначим буквами р, g, ..., а выражаемые ими свойства обозначим, соответственно, буквами Р, G, ... .

Предложение "Прилагательное р применимо к себе "символически запишется в форме Р(р), а предложение "Прилагательное р не применимо к себе" запишется в форме ¬Р(р). Если относительно некоторого прилагательного р установлено ¬Р(p), то по принятому определению, прилагательное р будет гетерологическим. Обозначив свойство "быть гетерологическим" через G получим:

"p(G(p)? (P(p)) (*)

Заметим теперь, что слово "гетерологический" само тоже является прилагательным. Обозначим это прилагательное буквой g. Тогда при р=g из условия (*) получим противоречие: (g)«G(g).

Это противоречие снимается, если учесть, что первоначально мы имели только прилагательные некоторого предметного языка, которые классифицировались на автологические и гетерологические; прилагательное же "гетерологический" появилось только при описании этой классификации и, значит, относится к метаязыку. Поэтому в условии (*) квантор общности имел смысл "для всех прилагательных предметного языка" и подстановка р=g была неправомерной.

1.2 Парадокс Бери

Еще один внешне простой парадокс был указан в самом начале нашего века Д. Берри, занимавшем должность библиотекаря Оксфордского университета. Позже он был опубликован Бертраном Расселом. В русской интерпретации он звучит так: Множество натуральных чисел бесконечно. Множество же тех имен этих чисел, которые имеются в русском языке и содержат меньше, чем, допустим, сто слов, является конечным. Это означает, что существуют такие натуральные числа, для которых в русском языке нет имен менее чем из ста слов. Среди этих чисел есть, очевидно, наименьшее число. Его нельзя назвать посредством русского выражения, содержащего менее ста слов. Но выражение "наименьшее натуральное число, для которого не существует в русском языке его сложное имя, слагающееся из менее чем ста слов" является как раз именем этого числа! Это имя сформулировано в русском языке и содержит только девятнадцать слов. Очевидный парадокс: названным оказалось то число, для которого нет имени!

Этот парадокс исчезает, если различать предметный язык и метаязык. В самом деле, в рассматриваемой фразе речь идет о различных описаниях названного числа, сделанных на некотором предметном языке, следовательно, в этой фразе утверждается, что эти описания должны содержать не менее 100 букв предметного языка; сама же эта фраза относится к метаязыку и поэтому может содержать и меньшее количество букв.

Рассмотренные парадоксы говорят о необходимости четкого различения предметного языка и метаязыка, что, однако, не всегда возможно. Дело в том, что естественный язык является семантически замкнутым языком: он одновременно является и предметным языком, и метаязыком по отношению к самому себе. Именно поэтому в естественном языке и возникают те семантические парадоксы, о которых говорилось выше.

Эти парадоксы можно объяснить, но исключить их появление в естественном языке мы не в состоянии.

Выход заключается в создании искусственных символических и иерархических языков и большой осторожности в сомнительных случаях. В предметном языке и в метаязыке мы должны пользоваться разной символикой. Следует еще отметить, что рассмотренные семантические парадоксы мы объясняли необходимостью различения языка и метаязыка, но существует и большое число других объяснений. К сожалению, однако, ни одно из них не стало общепризнанным и поэтому проблему объяснения парадоксов нельзя считать окончательно решенной. Наличие в познании различных иерархических уровней можно проиллюстрировать и на целом ряде других примеров.

1.3 Парадоксы как петли

Выше было показано, что игнорирование иерархических различий приводит к противоречиям и парадоксам. Проводимые при этом рассуждения имеют иногда вид странных петель: исходя из некоторого утверждения, относящегося к определенному иерархическому уровню, мы по ходу рассуждения попадаем на другой иерархический уровень и уже на этом новом уровне каким-то странным образом приходим к первоначальному утверждению.

Петля рассуждения замыкается невозможным образом: на новом уровне мы обнаруживаем то утверждение, которое на самом деле относится к первоначальному иерархическому уровню. Так получилось и с парадоксом лжеца.

Приведем еще несколько примеров странных петель.

Парадокс Рассела (О парикмахере)

Рассмотрим парадокс парикмахера, найденный Бертраном Расселом (1872-1970). Допустим, что в некотором поселке нет бородатых людей и все мужчины бреются либо сами, либо у местного парикмахера. Допустим также, что в этом поселке принято правило, согласно которому парикмахер бреет тех и только тех, кто не бреется сам. Спрашивается: бреет ли парикмахер самого себя? Оказывается, что ни "да", ни "нет" ответить нельзя. Если парикмахер бреет самого себя, то он относится к категории тех, кто бреется сам, а людей этой категории, согласно принятому правилу, он не должен брить. Значит, он не должен себя брить. Если же парикмахер не будет брить самого себя, то он относится к категории тех, кто не бреется сам, а таких людей он как раз и должен брить. Значит, он должен бриться сам.

Получается странная, невозможная петля: если парикмахер бреется сам, то он не должен брить себя, а если он не бреет себя, то он, напротив, должен бриться сам. Если же он бреется сам, то повторяется предыдущее рассуждение. Получается странная, бесконечная заколдованная петля, из которой нет выхода. Объяснение же парадокса состоит в том, что при формулировке правила, которым должен руководствоваться парикмахер, не были учтены иерархические различия. Правило должно относиться ко всем жителям поселка, кроме парикмахера, так как парикмахер в данном случае относится к другой иерархической категории.

Если же не учитывать иерархических различий и не уточнять правило, которым должен руководствоваться парикмахер, то парадокс говорит только о том, что такого парикмахера быть не может.

Парадокс Маннури (О мэре)

Похожим на предыдущий парадокс является парадокс "О мэре" голландского математика Геррита Маннури (1867-1956). В этом парадоксе речь идет о стране, состоящей из отдельных областей. Каждая из которых имеет мэра, который, однако, не обязательно должен жить в той же области, которой он управляет. На основании этой оговорки всех мэров можно разделить на две категории. К одной из них относятся те мэры, которые живут в той же области, которой они управляют, -- их мы назовем "хорошими"; к другой относятся все те, которые не живут в той области, которой они управляют, -- этих мы назовем "плохими".

Известно также, что президент страны выделил для плохих мэров отдельную область и издал приказ, обязывающий всех плохих мэров переселиться именно в эту новую область. Кроме того в приказе было сказано, что в новой области никто кроме плохих мэров проживать не может. Очевидно, новая область должна была иметь и своего мэра. В связи с этим спрашивается: каким будет этот мэр -- хорошим или плохим?

Если он хороший, то он должен жить в той области, которой он управляет, но там он жить не может, так как эта область создана только для плохих мэров, а он, по предположению, хороший.

Если же он плохой, то с одной стороны из определения понятия "плохой" следует, что он не должен жить в той области, которой он управляет, а с другой стороны он должен жить именно в этой области, так как она специально создана для плохих мэров.

Таким образом, возникает та же самая неразрешимая ситуация: мэр особой области не может быть ни хорошим, ни плохим; и не может жить ни в самой этой области, ни вне ее. В чем же дело?

Причина парадокса в том, что иерархические уровни опять оказались спутанными. В данном случае все жители рассматриваемого государства распадаются на три категории: обыкновенные граждане, мэры обычных областей, и мэр той особой области, в которой живут все плохие мэры.

Мэр особой области существенно отличается от остальных мэров: обычные мэры управляют гражданами, а мэр особой области управляет мэрами -- это новый, более высокий иерархический уровень. Свойства "быть плохим мэром" и "быть хорошим мэром" пригодны только для характеристики обычных мэров, а мэр особой области относится к другой категории, -- его характеризуют другие свойства, и поэтому бессмысленно спрашивать, хороший он, или плохой. Выявленное противоречие как раз и показывает, что он не может быть ни тем, ни другим.

Принципиальное различие в свойствах элементов различных иерархических уровней на практике обычно сразу же бросается в глаза. Например, все яблоки, лежащие на столе, могут быть желтыми -- это их общее свойство. Но множество этих яблок желтым быть не может, так как множество яблок -- это абстрактный, идеальный предмет, относящийся к совершенно другому иерархическому уровню.

Элементы определенного иерархического уровня либо обладают некоторым, естественным для них свойством, либо нет. Ничего другого быть не может. Третьего не дано! Поэтому, когда обнаруживается элемент, который не может обладать; этим свойством и в то же время не может не обладать им, а третьего не дано, то это противоречие кажется неразрешимым. Но это только кажущееся противоречие. Третье все же дано! Рассматриваемый элемент на самом деле относится к другой категории и обладает другими свойствами.

Свойства элементов различных иерархических уровней совершенно различны -- они не сводимы друг к другу. Свойства элементов более высокого уровня нельзя определить, нельзя объяснить, нельзя свести к свойствам элементов какого-либо другого уровня. Таким образом, можно сказать, что рассмотренные парадоксы возникают вследствие игнорирования иерархических различий.

Следует заметить, что в каждом из рассмотренных парадоксов имеется неосознанное и к тому же неправомерное предположение. Именно оно и приводит к противоречию. Поэтому парадокс на самом деле следует рассматривать как доказательство ошибочности принятого предположения. Здесь, по существу, имеет место доказательство "от противного".

Следует отметить, что в основном все эти парадоксы семантический характер. Язык играет существенную роль. Возникновение странных петель и обнаружение иерархических различий так или иначе всегда связано с языком.

Но кроме естественного языка, используемого при речевом общении, существуют и другие языки: язык изобразительного искусства и язык музыки. В этих языках тоже есть различные иерархические уровни. Поэтому и здесь спутанность иерархий по необходимости приводит к возможности образования странных, парадоксальных петель. Но сконструировать такую петлю -- дело не легкое, оно требует большой изобретательности и большого мастерства.

Можно привести примеры некоторых графических парадоксов. Возможно такие же парадоксы встречаются и в музыке, которые вероятно связаны с переходами в тональности.

Плоские и пространственные предметы, очевидно, относятся к различным иерархическим уровням, но необходимость плоского изображения объектов трехмерного пространства приводит к смешению восприятий двумерного и трехмерного пространств. Талантливое же использование этого смешения может привести к парадоксальным картинам -- к удивительным петлям. Именно такие картины и создал знаменитый художник -- график Мориц Корнелиус Эшер (1898-1971).

На этих картинах мы видим изображение нереальных, невозможных конструкций, которые, тем не менее, весьма похожи на реальные. Секрет в том, что эти конструкции -- эти так называемые "невозможные фигуры" -- составлены из отдельных вполне реальных частей. Нереально только соединение этих частей в одно целое. С этими "невозможными фигурами" можно познакомиться на сайте, посвященном М.К. Эшеру. Здесь же приводятся авторитетные заключения о его произведениях.

Следует отметить, что конструированием невозможных фигур занимались и другие люди: шведский художник Оскар Рутерсвард (р. 1917) известен своими "бесконечными лестницами", профессор математики Оксфордского университета Роджер Пенроуз известен своим "трехбалочником" -- пространственным треугольником с тремя прямыми углами.

Из работ же М.К. Эшера хотелось бы отметить две его литографии. Одна из его литографий называется "Восхождение и спуск". На этой литографии изображен монастырь, на крыше которого находится круговая галерея, представляющая собою бесконечную лестницу. Видно, как монахи совершают ежедневный бессмысленный ритуал -- нескончаемую прогулку по бесконечной лестнице-галерее. При этом, те, кто идет по невозможной лестнице по внешнему ряду, все время взбираются вверх, а те, кто шествует по внутреннему ряду, столь же неуклонно спускаются вниз. И те и другие -- поднимаясь или опускаясь -- к концу каждого кругового обхода удивительным образом оказываются в исходной точке. Возникает странная, невозможная петля.

Такую же странную петлю можно наблюдать и на другой литографии Эшера, которая называется "Водопад". На этой литографии изображен канал, по которому течет вода. Этот канал имеет форму пятизвенной ломанной линии и изображен таким образом, что создается впечатление, что уровень воды в канале все время остается одним и тем же. Тем не менее, мы с удивлением замечаем, что в конце канала уровень воды оказывается гораздо выше, чем в начале. Поэтому шестое звено странной петли -- это водопад, замыкающий петлю.

2. Абстракции и иерархические языки, парадоксы с множествами

В результате абстракции, например, неизбежно возникают понятия, относящиеся к более высокому иерархическому уровню, чем исходные. Таковым является, в частности, и понятие множества, являющееся ключевым в современной математике. Чтобы в этом убедиться, представим себе, что мы наблюдаем стадо, состоящее из пяти коров. Когда мы говорим о стаде, мы имеем в виду множество этих коров; и мы представляем его себе именно как отдельный самостоятельный предмет. Таким образом, получается шесть предметов: пять коров и стадо, состоящее из них. Но если нас спросят: "Сколько предметов вы видите?"-- мы ответим: "Пять!". Шестой предмет увидеть нельзя! Множество -- это предмет, созданный нашей мыслью. Мы мысленно объединяем эти коровы и представляем себе результат объединения как нечто целое, самостоятельное. Даже в учебниках по Математическому анализу с первых строк пишется: "Будем понимать под множеством интуитивное и неопределяемое понятие".

Георг Кантор (1843-1918), создатель теории множеств, назвал этот мысленный акт "свертыванием" [4]. В результате возникает абстрактный, воображаемый предмет. От уровня реально существующих предметов мы поднимаемся на более высокий иерархический уровень познания и попадаем в мир абстрактных понятий. Продолжая процесс восхождения ко все более и более абстрактным понятиям, мы одновременно будем переходить и на новые, более высокие иерархические уровни познания. Это весьма наглядно можно показать следующим образом.

Пусть нам дано некоторое множество людей, живущих в одном и том же доме, причем каждый жилец живет в отдельной квартире. Значит, роль множества выполняет дом, а элементами множества являются жильцы, живущие в отдельных квартирах этого дома. Построим теперь множество всех подмножеств данного множества. Подмножествами очевидно будут различные дома, в которых будут жить соответствующие подмножества жильцов первоначального дома. Но так как каждый элемент исходного множества является в то же время и элементом целого ряда подмножеств, то каждый житель первоначального дома должен жить одновременно и в целом ряде домов -- подмножеств. Это означает, что один и тот же житель будет иметь квартиры в целом ряде домов. Какими будут эти дома?

Так как одним из подмножеств является пустое множество, то должен существовать пустой дом, в котором никто не живет. Это может быть, например, здание клуба или театра, или Церковь. Одноэлементным подмножествам будут соответствовать одноквартирные дома, двухэлементным -- двухквартирные и т.д.

Допустим, что построение домов-подмножеств закончено. Что же получилось? Совокупность домов, возникшая в результате нашего построения, домом не является. Построен город, состоящий из домов. Если сначала мы имели дело с множествами жильцов и называли эти множества домами, то теперь возникло множество нового вида -- множество домов и это новое множество мы, естественно, называем по-другому: это город. Можно теперь идти дальше и рассматривать множество всех подмножеств этого города. То, что мы получим не будет городом, это будет нечто более общее. Мы можем, например, назвать эту совокупность городов "страной". Приведенный пример показывает, что при восхождении к абстракциям более высокого уровня, мы неизбежно переходим и на более высокий иерархический уровень. Игнорирование этого обстоятельства может привести к возникновению противоречий и парадоксов. Покажем это на конкретном примере.

Рассмотрим множество всех одноэлементных множеств к обозначим его через U. Построим теперь множество E, единственным элементом которого является U. Значит, E={U}.

Из этого определения следует: U есть элемент E. Но, поскольку E является одноэлементным множеством, а U -- это множество всех одноэлементных множеств, E есть элемент U.

Таким образом, оказалось, что множество U, являясь совокупностью одноэлементных множеств, в то же время содержится в качестве элемента в одном из своих подмножеств. Но этого ведь быть не может, так как E и U различны.

Причина противоречия кроется опять в игнорировании иерархических различий. Множество U было множеством всех одноэлементных множеств некоторого исходного иерархического уровня, а множество E было сформировано позже; оно относится уже к другому, более высокому иерархическому уровню. Поэтому утверждение E элемент из U было неправомерным, так как на исходном иерархическом уровне множества Е не было.

Этот парадокс можно объяснить и неопределенностью смысла слова "все". Что значит "все"? Если слово "все" относится к элементам вполне определенного множества, то смысл этого термина достаточно ясен. А если множество задано недостаточно четко, если его границы расплывчаты, если допускается возможность обнаружения новых элементов, о существовании которых заранее ничего не известно, что тогда означает "все"? Очевидно, должен быть уточнен смысл термина все , а это как раз и происходит, когда учитывается принадлежность предметов к тому или иному иерархическому уровню.

Следующий парадокс, свидетельствующий о необходимости учета иерархических различий, -- это знаменитый парадокс Кантора, заключающийся в том, что универсальное, всеобъемлющее "множество всех множеств" никакой мощностью обладать не может.

Как возникает этот парадокс?

Кантор исходил из того, что каждое множество А должно обладать некоторой "мощностью". Под "мощностью" он понимал количественную характеристику множества.

Мощность множества А Кантор обозначил через , отмечая двумя черточками, что она получается в результате двойной абстракции: абстракции от природы элементов и абстракции от их порядка. Множество всех подмножеств данного множества А (называемое также булеаном множества А) обозначено через Р(А). Кантор доказал, что .

Рассмотрим теперь множество всех множеств, назовем его "универсумом" и обозначим через U. Из приведенной выше теоремы при А=U получим, что .

С другой стороны, поскольку U -- это множество всех множеств, то оно должно обладать максимальной мощностью, и, значит, . Получилось противоречие.

В кажущейся неразрешимости этого противоречия и заключается парадокс Кантора. На самом деле этот парадокс все же разрешим. Дело в том, что мы неявным образом предположили, что универсум U является таким же множеством, как и все остальные множества, и поэтому тоже обладает некоторой мощностью.

Противоречие же показывает, что оно никакой мощностью обладать не может. Значит, универсум U множеством не является. U -- это объект, который относится к другому иерархическому уровню.

3. Парадоксы и развитие математики

Здесь приведено большое количество парадоксов, связанных с теорией множеств, и это не удивительно, так как с ними связаны недавние события в истории математики. Открытия Кантора, относящиеся примерно к 1873 году и постепенно оформившиеся в самостоятельную ветвь математики, вначале натолкнулись на недоверие и даже прямой антагонизм многих математиков и безразличие со стороны подавляющего большинства философов [5]. Только в начале девяностых годов теория множеств вошла в моду и стала, сверх всяких ожиданий, широко применяться в анализе и геометрии. Но в тот самый момент, когда смелое видение Кантора, казалось, с триумфом достигло кульминации, когда его результаты приняли окончательный систематизированный вид, он столкнулся с первым из таких парадоксов. Это произошло в 1895 г. Кантор не был способен в то время предложить разрешение этого парадокса, ситуация не казалась слишком серьезной: этот первый парадокс возникал в довольно специальной области теории вполне упорядоченных множеств, и, вероятно, была надежда, что легкий пересмотр доказательств теорем, входящих в эту область, мог бы спасти положение, как это не раз бывало раньше при аналогичных обстоятельствах.

Этому оптимизму был, однако, нанесен решительный удар. В 1902г. Бертран Рассел поразил философов и математиков, указав на парадокс, относящийся к самым началам теории множеств и показывавший, что в основаниях этой дисциплины что-то неблагополучно. Но парадокс Рассела потряс основы не только теории множеств: в опасности оказалась и сама логика. Требовалось лишь легкое изменение в формулировке, чтобы перевести парадокс Рассела в противоречие, которое можно было бы сформулировать в терминах самых основных логических понятий. Никогда ранее парадоксы не возникали на таком элементарном уровне, затрагивая так сильно самые фундаментальные понятия двух самых "точных" наук -- логики и математики.

Парадокс Рассела явился истинным потрясением для тех немногих мыслителей, которые занимались проблемами обоснования на рубеже прошлого и нынешнего столетий. Дедекинд в своих глубоких исследованиях о природе и назначении чисел положил в основу арифметики отношение принадлежности -- его метод “цепей” может даже быть взят за основу в теории вполне упорядоченных множеств -- и использовал понятие множества в его полном канторовском смысле для доказательства существования бесконечных множеств. Вследствие удара, нанесенного ему парадоксом Рассела, Дедекинд на некоторое время приостановил публикацию своих исследований, основу которых он счел расшатанной [5]. Еще более трагичной была судьба Фреге [6]. Он считал, что основным вопросом, на который нужно ответить при обосновании арифметики, является вопрос о том, благодаря чему мы имеем право считать числа определенными, конкретными предметами. Ведь "численность" множества -- это свойство, а не предмет, и тем не менее мы оцениваем численность с помощью натурального числа, воспринимаемого нами именно как предмет. Происходит опредмечивание: свойство превращается в предмет. Значит, заключает Фреге, без оператора опредмечивания не обойтись. И Фреге формулирует "Основной закон": "Каждой функции f соответствует ее график Гf". Таким образом, в предметную область кроме исходных, первоначальных предметов, обозначаемых "Истина" (И) и "Ложь" (Л), попадают и новые предметы -- графики функций. Фреге хотел сконструировать универсальную предметную область, в которой все предметы были бы абсолютно "равноправны". Но именно это и привело к смешению иерархий. Ведь предметы из некоторого множества и функции, определенные на этом множестве, -- это разные вещи, относящиеся к совершенно разным иерархическим уровням. В предисловии к своей фундаментальной работе "Основные Законы арифметики" написал следующее: "Насколько я вижу, спорным может оказаться только Основной закон... Во всяком случае, я указываю на это место, как на место, от которого зависит окончательное решение". В первой же фразе послесловия Фреге отмечает, что фундамент его здания поколеблен Расселом.

Нет ничего удивительного в том, что многие математики, только-только начавшие воспринимать теорию множеств как полноправного члена сообщества математических наук, изменили свою позицию. Типичный пример этой перемены -- Пуанкаре, один из ведущих математиков того времени, до этого сам содействовавший пропаганде и распространению идей теории множеств. В течение ряда лет после 1902г. его отношение к мерам, предлагавшимся Расселом для реабилитации теории множеств, было неизменно насмешливым [7]. Надо сказать, что сам Кантор ни на минуту не терял веры в свою теорию в ее полном "наивном" объеме, хотя и оказался не в состоянии ответить на вызов, брошенный ему парадоксом Рассела. Другие ученые заявляли, что нечего особенно волноваться по поводу этого и других парадоксов, и предостерегали против приписывания "искусственно построенным" парадоксам сколько-нибудь решающего значения. Трудно, однако, отстаивать эту позицию. Ведь это не может избавить серьезного мыслителя от обязанности критической проверки теорем, использующих общее понятие порядкового числа; презрительная же ссылка на "искусственный" характер многих парадоксов не более убедительна, чем, скажем, утверждение о том, что каждая непрерывная функция дифференцируема, поскольку непрерывную недифференцируемую функцию можно считать "искусственной". С другой стороны, хорошо известно, что во всей математике -- и в других науках -- изучение самых общих, во всей их неограниченной общности, понятий часто оказывалось чрезвычайно ценным для развития науки. Наивно думать, что трудности можно преодолеть, просто избегая рассмотрения общего случая. Наконец, резко разграничивать математику (которая сама по себе, конечно, хороша!) и логику (которой каждый здравомыслящий математик должен ради блага своей души избегать) по меньшей мере, бесполезно: математика постоянно использует логику, хотя это использование зачастую замаскировано и явно не учитывается; если же кто-либо хочет ограничить это применение, то такие ограничения следовало бы не затемнять, а явно и четко формулировать.

Верно, что область собственно математических рассуждений, как в анализе, так и в геометрии не затрагивается непосредственно действием парадоксов. Парадоксы возникают главным образом в области крайних обобщений, за пределами фактического применения понятий геометрии и анализа. Принять меры к тому, чтобы избежать этой опасной области, в общем нетрудно. Это и есть главная причина того, что многие математики так быстро оправились после первого шока, вызванного открытием парадоксов. Тот факт, что многие предпочитали говорить не о противоречиях, а о парадоксах свидетельствует о том, что в глубине души большинство современных математиков не хотели быть изгнанными из рая, в который их ввели открытия Кантора.

Двадцатое столетие -- не первый период, в течение которого математика испытывала кризис основ. Чтобы получить более полное представление о влиянии парадоксов на развитие математики, стоит хотя бы в общих чертах рассмотреть прежние кризисы.

В пятом веке до нашей эры, вскоре после одного из самих блестящих достижений в истории человечества, а именно превращения геометрии в точную дедуктивную науку, были сделаны два крайне парадоксальных открытия. Первым открытием явилось то, что не все геометрические сущности одного и того же рода соизмеримы друг с другом, так что, например, диагональ квадрата не может быть измерена посредством никакой кратной части его стороны (в современной терминологии -- что квадратный корень из 2 не есть рациональное число). Вторым открытием явились парадоксы школы элеатов (Зенон и его круг), развивавших с многими вариациями тему о невозможности построения конечных величин из бесконечно малых частей. Результатами этого потрясшего греческих математиков кризиса явились два еще более блестящих достижения. Первое из них -- теория пропорций, содержащаяся в 5-й и 10-й книгах Начал Евклида; второе -- изобретенный Архимедом метод исчерпания, явившийся не чем иным, как строгим, хотя и недостаточно общим, провозвестником современных теорий интегрирования. Теория пропорций могла бы дать грекам возможность определить понятие иррационального числа и развить, таким образом, арифметическую теорию континуума, однако они этого почему-то не сделали.

Теория пропорций греков была скоро забыта, причем настолько основательно, что когда во второй половине XIX века были построены строгие арифметические теории иррациональных чисел, то сразу даже не пришло в голову, что новые методы не слишком принципиально отличались от тех, которыми уже за две тысячи лет до этого владели греческие математики. В XVII и XVIII веках под впечатлением мощи и плодотворности новоизобретенного исчисления бесконечно малых большинство математиков лихорадочно применяли его методы, не задумываясь достаточно внимательно над тем, насколько прочна его основа. Но в начале XIX века уяснение шаткости этой основы привело ко второму кризису оснований математики.

Стремясь преодолеть этот кризис, Коши (в 30-х годах прошлого века) показал, как безответственное употребление бесконечно малых может быть заменено корректным использованием пределов, а Вейерштрасс и другие (в 60-х--70-х годах) продемонстрировали возможность полной "арифметизации" анализа и теории функций. Это упрочение основ было настолько успешным, что Пуанкаре в 1900 г. в выступлении на Втором международном математическом конгрессе, посвященном роли интуиции и логики в математике, смог гордо заявить, что математика уже обрела совершенно прочный и надежный фундамент. По его словам, "теперь в математике остаются только целые числа и конечные или бесконечные системы целых чисел... Математика... полностью арифметизирована... Мы можем сказать сегодня, что достигнута абсолютная строгость".

Но по иронии судьбы, в то самое время, к которому относится гордое заявление Пуанкаре, уже выяснилось, что теория "бесконечных систем целых чисел" -- т. е. попросту часть теории множеств -- весьма далека от абсолютной надежности своих основ. И не столько возникновение парадоксов в основаниях теории множеств само по себе, сколько тот факт, что различные попытки преодолеть эти парадоксы выявили далеко идущие и неожиданные расхождения мнений и точек зрения по поводу самых основных математических понятий (начиная уже с понятий множества и числа), что вынуждает говорить о третьем кризисе основ, который математика возможно переживает и до сих пор.

Заключение

В заключение хотелось бы сказать о психологическом эффекте, произведенном парадоксами на многих математиков. В 1946 г., спустя почти полстолетия после того, как парадокс Рассела поверг в отчаяние Дедекинда и Фреге, один из выдающихся ученых сделал следующее признание:
"Мы меньше, чем когда-либо, уверены в первичных основах (логики и) математики. Как все и вся в мире сегодня, мы переживаем “кризис”. Он продолжается уже почти пятьдесят лет. На первый взгляд, он не мешает нашей ежедневной работе; однако я могу признаться, что на самом деле он оказал сильное влияние на мою математическую деятельность: он направлял мои интересы в область, казавшуюся мне относительно “безопасной”, и постоянно подрывал во мне энтузиазм и решимость, необходимые для всякой исследовательской работы".

Список использованных источников

[1] Н. Бурбаки Очерки по истории математики. М., ИЛ, 1963.

[2] В.В. Мадер Введение в методологию математики. М., Интерпракс, 1994

[3] Б. Больцано Парадоксы бесконечного. Одесса, 1911

[4] Г. Кантор Труды по теории множеств /серия "Классики науки". М., Наука, 1985

[5] Ф.А. Медведев Развитие теории множеств в XIX в. М., Наука, 1965

[6] В.В. Мадер О логико-арифметической концепции Готлоба Фреге // Историко-математические исследования, вып.30. М., Наука, 1986

[7] А. Френкель, И. Бар-Хиллел Основания теории множеств. М., Мир, 1966