Соленоидальное векторное поле

3

Рязанская Государственная Сельскохозяйственная Академия

имени профессора П.А. Костычева

Экономический факультет

Курсовая работа по дисциплине «Высшая математика»

на тему: Соленоидальное векторное поле

Выполнила работу:

Калинина Ирина Андреевна

25.03.2009г

Проверил преподаватель:

Пунина Нина Васильевна

шифр 262

2009 год

Содержание

Введение

Скалярные и векторные поля

1. Циркуляция векторного поля вдоль кривой

2. Формула Гаусса-Остроградского. Дивергенция

3. Формула Стокса

4. Ротор векторного поля

5. Потенциальное поле и его свойства

6. Соленоидальное поле и его свойства

7. Векторный потенциал

Литература

ВВЕДЕНИЕ

Физика в своем историческом развитии постепенно превратилась из науки описательной в науку точную. Для характеристики различных явлений и процессов, происходящих в природе и технике, физики все шире используют математические методы, или, как принято говорить, соответствующий математический аппарат. Для этой цели пришлось прежде всего ввести меру каждого физического свойства. Пока физики имели дело с простейшими свойствами тел, в качестве меры каждого из них можно было ограничиться скалярными величинами, обычно показывающими, во сколько раз мера данного свойства рассматриваемого тела больше некоторого единичного масштаба. Так были введены такие скалярные величины, как длина, площадь, объем, масса, время, температура, электрический заряд, энергия и т.п.

Со временем выяснилось, что для количественного описания скорости движения, изменения этой скорости, взаимодействия тел и т.п. скалярные величины не подходят. В этих случаях оказались пригодными более сложные математические величины -- направленные отрезки, или векторы. Развитие количественных методов показало, что одно и то же физическое свойство в разных точках исследуемого объекта может принимать различные значения, и поэтому для их математического описания необходимо знать совокупность значений соответствующей величины во всех точках рассматриваемого объекта. Так в физике постепенно сложилось представление о математическом поле - области пространства, каждой точке которого соответствует определенное значение некоторой физической величины.

Поля бывают скалярные и векторные. Каждое из них в свою очередь может быть стационарным (если физическая величина в каждой точке области со временем не меняется) или нестационарным. Введение понятия поля в физике сыграло такую же прогрессивную роль, как в свое время появление в математике переменной величины.

1. Скалярные и векторные поля

Множество Е точек рассматриваемого пространства, совместно с приписанными этим точкам числами (будь то значения некоторой функции, например, силы воздействия, или координаты вектора этой силы), называется скалярным полем. Скалярным полем часто называют и саму функцию F(M), породившую это поле на точечном множестве Е. Если Е - множество точек на плоскости, то скалярное поле называется плоским; если же Е - множество точек в трехмерном пространстве, то поле называется пространственным.

Примеры скалярных полей различной природы доставляет нам физика. Так, можно говорить о скалярном поле температур в пространстве, занятом нагретым телом (в каждой точке этого пространства температура имеет определенное значение); можно говорить о скалярном поле электрического потенциала в пространстве вокруг электрического заряда и т.п. Известные из физики изотермы (линии равной температуры), изобары (линии равного давления), эквипотенциальные линии (линии равного потенциала) являются примером линий уровня в различных плоских физических скалярных полях.

Для пространственного скалярного поля F(M) = F(x,y,z) уравнение F(x,y,z) = С с переменным параметром С определяет семейство поверхностей уровня, т.е. семейство поверхностей во всех точках каждой из которых скалярное поле F(М) имеет одно и тоже значение. Поверхности уровня могут вырождаться в линии и точки. Для сферически симметричного поля, т.е. такого, что значение F(М) зависит только от расстояния точки М до некоторой фиксированной точки N, любая сфера с центром в точке N является поверхностью уровня. Если F(М) = const во всей области Е, то множество точек, удовлетворяющих уравнению F(x,y,z) = С, либо пусто, либо совпадает со всей областью Е.

Градиент скалярного поля u(M) = u(x,y,z) определяется равенством

. (1)

В математической теории поля широко используют символическое выражение, обозначаемое ("набла"): , напоминающее по форме вектор, разложенный по базисным ортам , где вместо координат вектора записаны операторы дифференцирования . Это выражение называют векторным дифференциальным оператором или оператором Гамильтона.

Если каждой точке М данной области Е соответствует определенный вектор , то говорят, что в области Е задано векторное поле. В декартовой системе координат векторное поле задается тремя функциями P,Q,R, определенными в области Е

.

Здесь и в дальнейшем будем предполагать, что эти функции во всей области непрерывны вместе с частными производными. Для плоского векторного поля:

.

Векторной линией данного поля называют такую линию ?, в каждой точке которой вектор имеет направление касательной к этой линии. Через каждую точку векторного поля проходит (при условии, что ) одна векторная линия. Совокупность всех векторных линий определяется системой дифференциальных уравнений:

.

Векторные линии характеризуют векторные поля геометрически и дают известную информацию о структуре этого поля. Так, если - стационарное поле скоростей текущей жидкости, то в этом поле векторные линии, очевидно, будут являться траекториями частиц жидкости; называются они в таком случае линиями тока. В векторном поле векторные линии нормальны в каждой точке поверхностям уровня F(x,y,z) = С; вдоль этих линий функция F(M) изменяется быстрее всего. В случае плоского векторного поля семейство векторных линий определяется уравнением

.

2. Циркуляция векторного поля вдоль кривой

Пусть векторное поле определено в пространственной области Е. Выберем в этой области какую-нибудь кривую ?. Ориентируем эту кривую, указав на ней положительное направление, для чего установим на ? начальную точку А и конечную - В (рис. 1). Пусть - орт касательной в точке М к кривой ?, совпадающей по направлению с направлением кривой. Разобьем кривую ? любым образом на n "элементарных дуг" длиной S_k (k=1,2, …,n) в направлении от А к В и в произвольном месте каждой элементарной дуги возьмем по точке M_k .Для k-й элементарной дуги составим произведение

(1)

а затем просуммируем все подобные произведения по всем k:

(2)

Мы пришли к интегральной сумме первого рода по кривой ?. Если функции P, Q, R непрерывны в области Е, а maxS_k - наибольшая из длин S_k , то при условии maxS_k 0 сумма (2) стремится к конечному пределу, которым является криволинейный интеграл первого рода от функции по кривой ?:

. (3)

Вводя в рассмотрение векторный элемент линии ? с координатами dx, dy, dz, можем представить интеграл (3) в координатной форме:

. (4)

Особенно большую роль играет в теории поля криволинейный интеграл (4) в случае, когда кривая ?, по которой он берется, замкнута, т.е. в случае когда конец В этой кривой совпадает с ее началом А. В этом случае криволинейный интеграл (4) называется циркуляцией векторного поля по замкнутой кривой ? и обозначается символом :

. (5)

3.Формула Гаусса-Остроградского. Дивергенция

Пусть функции z₁(x,y) и z₂(x,y) определены и непрерывны в ограниченной замкнутой области D и z₁(x,y)  z₂(x,y). Область G={(x,y,z)|(x,y)D , z₁(x,y) z z₂(x,y)} называется z-цилиндрической. Аналогично определяются х-цилиндрическая и y-цилиндрическая области. Область G называется простой, если ее можно разбить на конечное число как х-цилиндрических, так и y-цилиндрических или z_цилиндрических областей.

Теорема. Пусть функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), и их частные производные непрерывны в простой замкнутой области G, ограниченной кусочно-гладкой поверхностью Ф. Тогда справедлива формула

, (1)

где поверхностный интеграл берется на внешней стороне поверхности Ф, которая служит границей G.

Формула (1) называется формулой Остроградского-Гаусса.

Следствие. Если функции P, Q, R таковы, что , то интеграл в левой части равенства (1) равен объему области G, т.е. , и из формулы (1) получается формула для вычисления объема области G с помощью интеграла по ее поверхности:

Пусть задана ориентированная поверхность (Ф), т.е. такая поверхность, в каждой точке которой выбран единичный вектор , меняющийся на поверхности непрерывно. В случае замкнутой поверхности в качестве будем всегда выбирать вектор внешней нормали.

Потоком П векторного поля через ориентированную поверхность (Ф) называют поверхностный интеграл (первого рода): .

Дивергенция (расходимость) векторного поля может быть определена выражением: , т.е. дивергенция векторного поля представляет собой скалярное поле в области G.

Если - разложение векторного поля , то формулу, определяющую поток, можно записать в виде:

,

либо записать в форме поверхностного интеграла (второго рода):

.

Теперь теорему Остроградского-Гаусса можно сформулировать следующим образом: поток векторного поля через замкнутую поверхность равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля по объему, ограниченному этой поверхностью.

3. Формула Стокса

Пусть в области G определено векторное поле L - замкнутый контур, лежащий в области G; Ф- произвольная поверхность, границей которой является контур L; ФG (говорят "поверхность Ф натянута на контур L"); -единичный вектор нормали на выбранной стороне поверхности Ф.

Поверхность Ф называется xyz - проектируемой, если она однозначно проектируется на каждую координатную плоскость прямоугольной системы координат Oxyz. Такую поверхность можно задать с помощью любого из уравнений: z=z(x,y), (x,y) G₁; x=x(y,z), (y,z)G₂; y=y(z,x), (z,x) G₃.

Пусть Ф - гладкая xyz - проектируемая ориентированная поверхность, ограниченная кусочно-гладким контуром L и расположенная внутри области G, в которой функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) имеют непрерывные частные производные первого порядка. Тогда справедлива формула Стокса

где ориентация контура L согласована с ориентацией поверхности Ф. Левая часть формулы Стокса есть циркуляция векторного поля вдоль контура L, а правая часть представляет собой поток через поверхность Ф векторного поля с координатами

Эта формула названа по имени английского физика и математика Д. Стокса. Её формулу можно переписать также в следующем виде:

Формула Стокса остается верной для иной ориентированной поверхности Ф с кусочно-гладким краем L , которую можно разбить при помощи кусочно-гладких линий на конечное число гладких кусков, проецирующихся на все три плоскости координат. Ориентированная поверхность, которую можно разбить на конечное число и плоского треугольников, называется полиэдральной поверхностью и представляет собой пример простейшей поверхности, к которой применима формула Стокса.

5. Ротор векторного поля

С понятием циркуляции тесно связано понятие ротора, или вихря. Циркуляция характеризует завихренность векторного поля вдоль всего контура. Локальной характеристикой поля, связанной с завихренностью, является ротор.

Рассмотрим сначала плоское векторное поле и какой-то контур L , окружающий выбранную точку М₀. Величину площади области, заключенной внутри L, обозначим через S. Тогда отношение

(1)

дает среднюю плотность циркуляции вектора на площадке S. Плотность циркуляции в точке М₀ характеризуется пределом выражения (1) при условии стягивания контура L в точку М₀, тогда площадь S, охватываемая контуром L, стремится к нулю, таким образом, если предел существует, то он дает величину завихренности поля в точке М₀.

Если векторное поле - пространственное, то можно говорить о завихренности поля в каком-либо направлении .

Ротором векторного поля в точке М₀ обозначаемым называется вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру L плоской области G, перпендикулярной этому направлению, к величине площади S этой области, когда размеры площади стремятся к нулю, а сама область стягивается в точку М₀, т.е.

,

где L - контур, лежащий в плоскости, перпендикулярной вектору , S- площадь области, ограниченной этим контуром.

Если задано векторное поле , где функции P, Q и R - непрерывно дифференцируемые в соответствующей области , то

6. Потенциальное поле и его свойства

Векторное поле называют потенциальным в области (G), если существует такая скалярная функция (скалярное поле) , заданная в (G), что для всех точек этой области: . Функцию называют потенциалом поля .

В потенциальном поле линейный интеграл не зависит от формы пути и определятся только начальной и конечной точками пути, а именно

где М₀ и М - начальная и конечная точка линии (L).

Верно и обратное: если линейный интеграл поля (М) не зависит от пути, то поле (М) потенциально. Потенциал поля определяется с точностью до постоянного слагаемого. Это означает, что если один из потенциалов поля , то выражения при любом постоянном С также являются потенциалами поля. Задание величины потенциала в какой- либо точке М₀ области (V) однозначно определяет потенциал любой точки М:

, ()

где вместо использовано обозначение, поскольку интеграл не зависит от пути.

Если поле задано в декартовой координатной форме:, то для нахождения потенциала точки М(x,y,z) удобно взять линейный интеграл по ломанной М₀М₁М₂М_, звенья которой параллельны координатным осям.

Предполагается, конечно, что ломаная М₀М₁М₂М не выходит за пределы области (G). При таком выборе пути интегрирования и при дополнительном условии будет:

(*)

При использовании этой формулы следует иметь в виду, что в каждом из трех входящих в нее интегралов одной буквой обозначают и верхний предел, и переменную интегрирования, т.е.

Отметим, что потенциальность поля и равенство нулю циркуляции поля по искомому простому кусочно-гладкому замкнутому контуру являются эквивалентными свойствами.

Если поле потенциально в области (G), то в любой точке этой области . Это свойство потенциального поля является наиболее важным. Таким образом, потенциальное поле (М) является безвихревым. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если ограничиться поверхностно односвязными областями, то для таких областей понятие потенциального и безвихревого полей оказываются эквивалентными.

7. Соленоидальное поле и его свойства

Векторное поле(М) называют соленоидальным в области (G), если во всех точках этой области .

С понятием соленоидального поля тесно связано понятие векторного потенциала. Если в области (G), в которой определено поле (М) существует такое векторное поле (М), что в каждой точке области (G) , то векторное поле (М) называют векторным потенциалом поля (М) в области (G).

Для поля (М), обладающего векторным потенциалом в области (G), поток через любую замкнутую поверхность, содержащуюся в области (G), равен нулю.

Поле (М), обладающее векторным потенциалом в области (G), является в ней соленоидальным . Обратное, вообще говоря, неверно: для произвольно взятой области (G) соленоидальность поля (М) еще не гарантирует существования во всей области (G) векторного потенциала поля (М). Однако, если ограничиться пространственно-односвязными областями, то соленоидальность поля и наличие у него векторного потенциала являются эквивалентными свойствами. Таким образом, в пространственно-односвязной области условие div=0 является необходимым и достаточным для существования векторного потенциала.

Из формулы Остроградского-Гаусса следует, что если соленоидальное поле задано в односвязной области, то поток вектора через любую замкнутую поверхность, принадлежащую этой области, равен нулю:

.

Пусть соленоидальное поле задано в односвязной области. Тогда поток вектора через любую поверхность S, натянутую на заданный контур L, не зависит от вида этой поверхности, а зависит только от контура L.

Возьмем в поле замкнутый контур L и проведем через его точки векторные линии. Образовавшаяся поверхность называется векторной трубкой. Любая другая векторная линия, не проходящая через точки контура L , либо целиком лежит в векторной трубке, либо находится вне ее. В случае поля скоростей стационарного потока жидкостей векторная трубка - это та часть пространства, которую заполняет при своем перемещении фиксированный объем жидкости.

Интенсивностью векторной трубки называется поток поля через поперечное сечение этой трубки. Для соленоидальных полей имеет место так называемый закон сохранения интенсивности векторной трубки.

Если соленоидальное поле определено в односвязной области G, то интенсивность векторной трубки постоянна вдоль всей трубки.

В соленоидальном поле векторные линии не могут ни начинаться, ни кончаться внутри поля; они либо замкнуты, либо имеют концы на границе поля, либо имеют бесконечные ветви (в случае неограниченного поля).

8. Векторный потенциал

Векторный потенциал (М) определяется с точностью до градиента произвольного соленоидального поля f(М).

В самом деле, если rot(М)= (М) и f(M) - произвольное скалярное поле, то поскольку rot grad f(M)=0, получаем rot((М)+grad f(M)) = rot(М)+ rot grad f(M)=(М).

Для того чтобы непрерывно дифференцируемое поле (М) было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы оно имело векторный потенциал (М). Необходимость этого условия является следствием разрешимости системы дифференциальных уравнений:

(1)

при условии div=0 ().

Покажем как можно найти векторный потенциал (М). Поскольку в выборе этого вектора имеется значительная доля произвола, примем A_x=0. Тогда система (1) примет вид

(2)

Таким образом, задача сводится к определению функции A_y и A_z, удовлетворяющих условиям (2) при условии, что известные функции P, Q, R таковы, что div=0. Пусть М₀(x₀,y₀,z₀) - фиксированная, М(x,y,z) - произвольные точки параллелепипеда .

Рассмотрим функции

A_y(x,y,z)= A_z(x,y,z)= (3)

Условие задания поля (М) в параллелепипеде с гранями, параллельными плоскостям координат, гарантирует, что пути интегрирования в этих формулах не выйдут за пределы поля. Применяя правила дифференцирования определенного интеграла по параметру и по верхнему пределу и принимая во внимание условие div=0 , получим , что обе функции A_y и A_z, определенные равенствами (3) удовлетворяют и первому из условий (2). Таким образом, = А_х+ A_y+A_z, координаты A_y и A_z определяются формулами (3). Для этого вектора выполняется условие rot=.

Литература

1. Никольский С.М. Курс математического анализа, том. II- М.: Наука, 1973.

2. Уваров В.Б. Математический анализ. М.: Высш.шк.,1984.

3. Ефимов А.В. и др. Математический анализ (специальные разделы) ч.II. Применение некоторых методов математического и функционального анализа. - М.: Высш. шк., 1980.

4. Кальницкий Л.А и др. Специальный курс высшей математики для вутзов. М.: Высш. шк., 1976.

5. Несис Е.И. Методы математической физики. - М.: Просвещение, 1977.

6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1972.

7. Филиппенко В.И. Приложения кратных интегралов. - Кривой Рог, 1998.

8. Гаврилов В.Р., Иванова Е.Е., Морозова В.Д. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля. - М.: Изд - во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001.