Кривые второго порядка

10

Кривые второго порядка

Содержание

1. Окружность……………………………………………………….3

2. Эллипс…………………………………………………………….4

3. Парабола…………………………………………………………..6

4. Гипербола…………………………………………………………8

5. Литература………………………………………………………..10

Окружность

 Окружность (1) - замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра). Если R - радиус окружности - расстояние каждой его точки до центра, то длина окружности выразится числом 2pR, а площадь ею ограниченная, числом pR² , где  p=3,14159 - отношение длины окружности к её диаметру.

Уравнение окружности в прямоугольной системе координат:

(x-c)² + (y-d)² = R²,

где, c и d - координаты центра.

Отметим, что движение по окружности часто встречается в физике и технике, по круговой траектории движутся люди при катании на колесе обозрения, карусели, по круговым орбитам могут двигаться искусственные спутники Земли. Хорошо известна планетарная модель атома водорода по Резерфорду. В центре атома находится ядро, а электрон вращается вокруг него.

Рис. 1

Эллипс

 Эллипс (1) (греч. elleipsis - недостаток) - линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и пересекающей все прямолинейные образующие одной полости этого конуса.

Эллипс - множество точек М плоскости (рис.1), сумма расстояний r₁= МF₁ и r₂= МF₂ которых до двух определенных точек F₁(-c,0) и F₂(c,0) этой плоскости (фокусов эллипса) постоянна

r₁+r₂=2а.

Середина 0 отрезка F₁F₂ (фокусного расстояния)называется центром эллипса.

В прямоугольной системе координат 0ху с началом в центре эллипса, на оси 0х которой лежат фокусы эллипса уравнение эллипса имеет следующий вид

х²/а²+у²/в²=1, в²=а²-с²,

где а и в - длинны большой и малой полуосей эллипса. При а=в фокусы F₁ и F₂ совпадают и указанное уравнение определяет окружность, которая рассматривается как частный случай эллипса.

Эллипс - центральная линия второго порядка. 

Эллипс - замкнутая линия, симметричная относительно осей 0x и 0y главных (большой и малой) осей  и центра.

Форма эллипса (его "вытянутость") определяется значением эксцентриситета e=c/a<1 (для окружности е=0)

Прямые D₁D₁' и D₂D₂' (рис.1), параллельные малой оси эллипса и отстоящие от его центра на расстоянии d=±a/e, называются директрисами эллипса, соответствующими фокусами F₁ и F₂. Отношение расстояний любой точки эллипса до фокуса к расстоянию её до соответствующей директрисы постоянно и равно эксцентриситету r₁/d₁=r₂/d₂=e. Площадь эллипса S=pi*a*в, pi=3,14159.

  Отметим, что по эллипсам движутся планеты вокруг Солнца.

Рис. 2

Название "Эллипс" ввёл Аполлоний Пергский, рассматривая эллипс как одно из конических сечений.

Рис. 3

Парабола

 Парабола (1)  (греч. parabole) - кривая второго порядка. 

Прямая пересекает ее не более чем в двух точках . 

При этом парабола может быть определена как:

-множество точек М(xy) плоскости, расстояние FM которых до определенной точки F этой плоскости (фокуса параболы) равно расстоянию MN до определенной прямой АN - директрисы параболы1, 2;

-линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и параллельная какой либо касательной плоскости этого конуса 1, 2;

-в прямоугольной системе координат 0ху с началом в вершине параболы и осью 0х направленной по оси параболы уравнение параболы имеет так называемый канонический вид 

y²=2px,

где р (фокальный параметр) - расстояние от фокуса до директрисы 1, 2.

Отметим, что по параболе движется тело в однородном поле силы тяжести, брошенное под углом к горизонту, и заряженная частица в однородном электрическом поле плоского конденсатора.

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Гипербола

Гипербола (1) (греч. hyperbole) - плоская кривая линия;

- множество точек М плоскости  разность (по абсолютной величине) расстояний F₁M и F₂M которых до двух определенных точек F₁ и F₂ этой плоскости (фокусов гиперболы) постоянна: F₁M - F₂M=2а<2с

Середина 0 отрезка F₁F₂ (фокусного расстояния) называется центром гиперболы 1, 2;

- линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и пересекающая обе его полости 1, 2;

- в прямоугольной системе координат 0ху с началом в центре гиперболы, на оси 0х которой лежат фокусы гиперболы уравнение гиперболы имеет так называемый канонический 

х²/а² - у²/в²=1, в²=с² - а²,

где а и в длины полуосей гиперболы 1, 2.

Отметим, что по гиперболе движутся тела, навсегда покидающие Землю, скорость которых больше, чем 2-я космическая (11,2 км/c). Также по гиперболе движутся альфа-частицы в опыте Резерфорда при рассеивании их ядром атома.

Рис. 7

Рис. 8

Литература

1. Математический энциклопедический словарь./ Гл. ред. Ю.В. Прохоров; Ред. кол.: С.И. Адян, Н.С. Бахвалов, В.И. Битюцков, А.П. Ершов, Л.Д. Кудрявцев, А.Л. Онищик, А.П. Юшкевич.- М.: Сов. энциклопедия, 1988. - 847 с., ил

2. Политехнический словарь /Редкол.: А.Ю. Ишлинский (гл. ред.) и др. - 3 - е изд,, перераб. и доп. - М.: Советская энциклопедия, 1989. - 656 с. с ил.