Свойства непрерывных на отрезке функций

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ

Рассмотрим некоторые свойства функций непрерывных на отрезке. Эти свойства приведём без доказательства.

Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.

Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной - наименьшее.

Теорема утверждает, что если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то найдётся хотя бы одна точка x₁ ? [a, b] такая, что значение функции f(x) в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: f(x₁) ? f(x). Аналогично найдётся такая точка x₂, в которой значение функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке:

f(x₁) ? f(x).

Ясно, что таких точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что функция f(x) принимает наименьшее значение в двух точках x₂ и x₂'.

Замечание. Утверждение теоремы можно стать неверным, если рассмотреть значение функции на интервале (a, b). Действительно, если рассмотреть функцию y = x на (0, 2), то она непрерывна на этом интервале, но не достигает в нём ни наибольшего, ни наименьшего значений: она достигает этих значений на концах интервала, но концы не принадлежат нашей области.

Также теорема перестаёт быть верной для разрывных функций. Приведите пример.

Следствие. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка [a, b] найдется, по крайней мере, одна точка x = C, в которой функция обращается в ноль:

f(C) = 0, где a < C< b

Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если точки графика непрерывной функции y = f(x), соответствующие концам отрезка [a, b] лежат по разные стороны от оси Ox, то этот график хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось Ox. Разрывные функции этим свойством могут не обладать.

Эта теорема допускает следующее обобщение.

Теорема 3 (теорема о промежуточных значениях). Пусть функцияy = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) = A, f(b) = B. Тогда для любого числа C, заключённого между A и B, найдётся внутри этого отрезка такая точка

CI [a, b], что f(c) = C.

Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции

y = f(x). Пусть f(a) = A, f(b) = B.

Тогда любая прямая y = C, где C - любое число, заключённое между A и B, пересечёт график функции, по крайней мере, в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением x = C, при котором f(c) = C.

Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности:

Следствие. Если функция y = f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает, по крайней мере, один раз любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями.

ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

Пусть имеем некоторую функцию y=f(x), определенную на некотором промежутке. Для каждого значения аргумента xиз этого промежутка функция y=f(x) имеет определенное значение.

Рассмотрим два значения аргумента: исходное x₀ и новое

x.

Разность x- x₀ называется приращением аргумента x в точке x₀ и обозначается Дx. Таким образом, Дx = x - x₀ (приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным). Из этого равенства следует, что x=x₀+Дx, т.е. первоначальное значение переменной получило некоторое приращение. Тогда, если в точке x₀ значение функции было f(x₀), то в новой точке x функция будет принимать значение f(x) = f(x₀ +Дx).

Разность y - y₀ = f(x) - f(x₀) называется приращением функции y = f(x) в точке x₀ и обозначается символом Дy. Таким образом,

Дy = f(x) - f(x₀) = f(x₀ +Дx) - f(x₀). (1)

Обычно исходное значение аргумента x₀ считается фиксированным, а новое значение x - переменным. Тогда y₀ = f(x₀) оказывается постоянной, а y = f(x) - переменной. Приращения Дy и Дxтакже будут переменными и формула (1) показывает, что Dy является функцией переменной Дx.

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента

Найдем предел этого отношения при Дx>0. Если этот предел существует, то его называют производной данной функции f(x) в точке x₀ и обозначают f '(x₀). Итак,

.

Производной данной функции y = f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции Дy к приращению аргумента Дx, когда последнее произвольным образом стремится к нулю.

Заметим, что для одной и той же функции производная в различных точках xможет принимать различные значения, т.е. производную можно рассматривать как функцию аргумента x. Эта функция обозначается f '(x)

Производная обозначается символами f '(x),y ', . Конкретное значение производной при x = aобозначается f '(a) или y '|_x=a.

Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием этой функции.

Для непосредственного нахождения производной по определению можно применить следующее практическое правило:

1. Придать x приращение Дx и найти наращенное значение функции

f(x + Дx).

2. Найти приращение функции Дy = f(x + Дx) - f(x).

3. Составить отношение и найти предел этого отношения при Дx?0.

Примеры.

1. Найти производную функции y = x²

а) в произвольной точке;

б) в точке x= 2.

а)

1. f(x + Дx) = (x + Дx)²;

2. Дy = (x + Дx)² - x²=2xДx- x²;

3. .

б) f '(2) = 4

2. Используя определение найти производную функции в произвольной точке.

1. .

2.

3.

МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Из физики известно, что закон равномерного движения имеет вид s = v·t, где s - путь, пройденный к моменту времени t, v- скорость равномерного движения.

Однако, т.к. большинство движений происходящих в природе, неравномерно, то в общем случае скорость, а, следовательно, и расстояние sбудет зависеть от времени t, т.е. будет функцией времени.

Итак, пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s=s(t).

Отметим некоторый момент времени t₀. К этому моменту точка прошла путь s=s(t₀). Определим скорость vматериальной точки в момент времени t₀.

Для этого рассмотрим какой-нибудь другой момент времени t₀+Дt. Ему соответствует пройденный путь s=s(t₀+Дt). Тогда за промежуток времени Дt точка прошла путь

Дs=s(t₀+Дt)-s(t).

Рассмотрим отношение . Оно называется средней скоростью в промежутке времени Дt. Средняя скорость не может точно охарактеризовать быстроту перемещения точки в момент t₀ (т.к. движение неравномерно). Для того, чтобы точнее выразить эту истинную скорость с помощью средней скорости, нужно взять меньший промежуток времени Дt.

Итак, скоростью движения в данный момент времени t₀ (мгновенной скоростью) называется предел средней скорости в промежутке от t₀ до t₀+Дt, когда Дt>0:

,

т.е. скорость неравномерного движения это производная от пройденного пути по времени.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Введем сначала определение касательной к кривой в данной точке.

Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку М₀ (см. рисунок).Рассмотрим другую точку М этой кривой и проведем секущую M₀M. Если точка М начинает перемещаться по кривой, а точка М₀ остается неподвижной, то секущая меняет свое положение. Если при неограниченном приближении точки М по кривой к точке М₀ с любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой М₀Т, то прямая М₀Т называется касательной к кривой в данной точке М₀.

Т.о., касательной к кривой в данной точке М₀ называется предельное положение секущей М₀М, когда точка М стремится вдоль кривой к точке М₀.

Рассмотрим теперь непрерывную функцию y=f(x) и соответствующую этой функции кривую. При некотором значении х₀ функция принимает значение y₀=f(x₀). Этим значениям x₀ и y₀ на кривой соответствует точка М₀(x₀; y₀). Дадим аргументу x₀ приращение Дх. Новому значению аргумента соответствует наращенное значение функции y₀+Д y=f(x₀-Дx). Получаем точку М(x₀+Дx; y₀+Дy). Проведем секущую М₀М и обозначим через ц угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox. Составим отношение и заметим, что

.

Если теперь Дx>0, то в силу непрерывности функции Ду>0, и поэтому точка М, перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М₀. Тогда секущая М₀М будет стремиться занять положение касательной к кривой в точке М₀, а угол ц>б при Дx>0, где через б обозначили угол между касательной и положительным направлением оси Ox. Поскольку функция tg ц непрерывно зависит от ц при ц?р/2 то при ц>б tg ц > tg б и, следовательно, угловой коэффициент касательной будет:

т.е. f '(x) = tg б .

Т.о., геометрически у '(x₀) представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке x₀, т.е. при данном значении аргумента x, производная равна тангенсуугла, образованного касательной к графику функции f(x) в соответствующей точке М₀ (x; y) с положительным направлением оси Ox.

Пример. Найти угловой коэффициент касательной к кривой у = х² в точке М(-1; 1).

Ранее мы уже видели, что (x²)' = 2х. Но угловой коэффициент касательной к кривой есть

tg б = y'|_x=-1 = - 2.

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в некоторой точке x₀, если она имеет в этой точке определенную производную, т.е. если предел отношения существует и конечен.

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [а; b] или интервала (а; b), то говорят, что она дифференцируема на отрезке [а; b] или соответственно в интервале (а; b).

Справедлива следующая теорема, устанавливающая связь между дифференцируемыми и непрерывными функциями.

Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке x₀, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом, из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.

Доказательство. Если , то

,

где б бесконечно малая величина, т.е. величина, стремящаяся к нулю при Дx>0. Но тогда

Дy=f '(x₀) Дx+бДx=> Дy>0 при Дx>0, т.е f(x) - f(x₀)>0 при x>x₀,

а это и означает, что функция f(x) непрерывна в точке x₀. Что и требовалось доказать.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное утверждение неверно: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми (т.е. не имеют в этих точках производной).

Рассмотрим на рисунке точки а, b, c.

В точке a при Дx>0 отношение не имеет предела (т.к. односторонние пределы различны при Дx>0-0 и Дx>0+0). В точке A графика нет определенной касательной, но есть две различные односторонние касательные с угловыми коэффициентами к₁ и к₂. Такой тип точек называют угловыми точками.

В точке b при Дx>0 отношение является знакопостоянной бесконечно большой величиной . Функция имеет бесконечную производную. В этой точке график имеет вертикальную касательную. Тип точки - "точка перегиба" c вертикальной касательной.

В точке c односторонние производные являются бесконечно большими величинами разных знаков. В этой точке график имеет две слившиеся вертикальные касательные. Тип - "точка возврата" с вертикальной касательной - частный случай угловой точки.

Примеры.

1. Рассмотрим функцию y=|x|. Эта функция непрерывна в точке

x = 0, т.к. .

Покажем, что она не имеет производной в этой точке.

f(0+Дx) = f(Дx) = |Дx|. Следовательно, Дy = f(Дx) - f(0) = |Дx|

Но тогда при Дx< 0 (т.е. при Дx стремящемся к 0 слева)

А при Дx > 0

Т.о., отношение при Дx> 0 справа и слева имеет различные пределы, а это значит, что отношение предела не имеет, т.е. производная функции y=|x| в точке x= 0 не существует. Геометрически это значит, что в точке x= 0 данная "кривая" не имеет определенной касательной (в этой точке их две).

2. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Выясним, имеет ли эта функция производную при x= 0.

Следовательно, рассматриваемая функция не дифференцируема в точке x= 0. Касательная к кривой в этой точке образует с осью абсцисс угол p/2, т.е. совпадает с осью Oy.