Понятие предела числовой последовательности

Лекция № 2 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

В дальнейшем курсе математики понятие предела будет играть фундаментальную роль, так как с ним непосредственно связаны основные понятия математического анализа - производная, интеграл и др.

Начнем с понятия предела числовой последовательности.

Число a называется пределом последовательности x = {x_n}, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа е найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |x_n - a| < е.

Если число a есть предел последовательности x = {x_n}, то говорят, что x_n стремится к a, и пишут .

Чтобы сформулировать это определение в геометрических терминах введем следующее понятие.

Окрестностью точки x₀ называется произвольный интервал (a, b), содержащий эту точку внутри себя. Часто рассматривается окрестность точки x₀, для которой x₀ является серединой, тогда x₀ называется центром окрестности, а величина (b-a)/2 - радиусом окрестности.

Итак, выясним, что же означает геометрически понятие предела числовой последовательности. Для этого запишем последнее неравенство из определения в виде

Это неравенство означает, что все элементы последовательности с номерами n>N должны лежать в интервале (a - е; a + е).

Следовательно, постоянное число a есть предел числовой последовательности {x_n}, если для любой малой окрестности с центром в точке a радиуса е (е - окрестности точки a) найдется такой элемент последовательности с номером N, что все последующие элементыс номерами n>N будут находиться внутри этой окрестности.

Примеры.

1. Пусть переменная величина x последовательно принимает значения

Докажем, что предел этой числовой последовательности равен 1. Возьмем произвольное положительное число е. Нам нужно найти такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |x_n - 1| < е. Действительно, т.к.

,

то для выполнения соотношения |x_n - a| < е достаточно, чтобы

или .

Поэтому, взяв в качестве N любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству , получим что нужно. Так если взять, например,

,

то, положив N=6, для всех n>6 будем иметь

.

2. Используя определение предела числовой последовательности, доказать что

.

Возьмем произвольное е > 0. Рассмотрим

.

Тогда , если или , т.е. .

Поэтому выберем любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству

.

Замечание 1. Очевидно, что если все элементы числовой последовательности принимают одно и то же постоянное значение x_n = c, то предел этой последовательности будет равен самой постоянной. Действительно, при любом е всегда выполняется неравенство

|x_n - c| = |c - c| = 0 < е.

Замечание 2. Из определения предела следует, что последовательность не может иметь двух пределов. Действительно, предположим, что x_n > a и одновременно x_n > b. Возьмем любое и отметим окрестности точек a и b радиуса е (см. рис.). Тогда по определению предела, все элементы последовательности, начиная с некоторого, должны находиться как в окрестности точки а, так и в окрестности точки b, что невозможно.

Замечание 3. Не следует думать, что каждая числовая последовательность имеет предел. Пусть, например, переменная величина принимает значения

.

Несложно заметить, что эта последовательность не стремится ни к какому пределу.

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a. Предположим, что независимая переменная x неограниченно приближается к числу a. Это означает, что мы можем придавать х значения сколь угодно близкие к a, но не равные a. Будем обозначать это так x > a. Для таких x найдем соответствующие значения функции. Может случиться, что значения f(x) также неограниченно приближаются к некоторому числу b.Тогда говорят, что число b есть предел функции f(x) при x > a.

Введем строгое определение предела функции.

Функция y=f(x) стремится к пределу b при x > a, если для каждого положительного числа е, как бы мало оно не было, можно указать такое положительное число д, что при всех x ? a из области определения функции, удовлетворяющих неравенству |x - a| < д, имеет место неравенство |f(x) - b| < е. Если b есть предел функции f(x) при x > a, то пишут

или f(x) > b при x > a.

Проиллюстрируем это определение на графике функции. Т.к. из неравенства |x - a| < д должно следовать неравенство |f(x) - b| < е, т.е. при x ? (a - д, a + д) соответствующие значения функции f(x) ? (b - е, b + е), то, взяв произвольное е > 0, мы можем подобрать такое число д, что для всех точек x, лежащих в д - окрестности точки a, соответствующие точки графика функции должны лежать внутри полосы шириной 2е, ограниченной прямыми

y = b - е и y = b + е.

Несложно заметить, что предел функции должен обладать теми же свойствами, что и предел числовой последовательности, а именно и если при x > a функция имеет предел, то он единственный.

Примеры.

1. Найти предел функции y=2x+1 при x > 1. Используя график функции, можно увидеть, что если x > 1 с любой стороны, то соответствующие точки M(x, y) графика стремятся к точке M(1, 3), т.е. можно предположить, что . Докажем это. Зададим произвольное число е > 0. Нам нужно, чтобы выполнялось неравенство |(2x+1) - 3|<е или |2x-2| < е, откуда |x- 1| < е. Таким образом, если положить д = е/2, то при всех x, удовлетворяющих неравенству |x- 1|<д, будет выполняться неравенство |y - 3| < е. По определению предела это и означает, что 3 есть предел функции y=2x+1 при x > 1.

2. Найти предел функции y=e^x+1 при x > 0.

Используя график заданной функции, несложно заметить, .

ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННОЙ ТОЧКЕ

До сих пор мы рассматривали пределы для случая, когда переменная величина x стремилась к определенному постоянному числу.

Будем говорить, что переменная x стремится к бесконечности, если для каждого заранее заданного положительного числа M (оно может быть сколь угодно большим) можно указать такое значение х=х₀, начиная с которого, все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству |x|>M.

Например, пусть переменная х принимает значения

x₁= -1, x₂=2, x₃= -3, …, x_n=(-1)ⁿn, …

Ясно, что это бесконечно большая переменная величина, так как при всех M > 0 все значения переменной, начиная с некоторого, по абсолютной величине будут больше M.

Переменная величина x > +?, если при произвольном M > 0 все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют неравенству x > M.

Аналогично, x > - ?, если при любом M > 0 x < -M.

Будем говорить, что функция f(x) стремится к пределу b при x > ?, если для произвольного малого положительного числа е можно указать такое положительное число M, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству |x|>M, выполняется неравенство

|f(x) - b| < е.

Обозначают .

Примеры.

1. Используя определение, доказать, что

.

Нужно доказать, что при произвольном е будет выполняться неравенство , как только |x|>M, причем число М должно определяться выбором е. Записанное неравенство эквивалентно следующему , которое будет выполняться, если |x|>1/е=M. Это и значит, что

(см. рис.).

2. Несложно заметить, что

.

3. не существует.

БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ

Ранее мы рассмотрели случаи, когда функция f(x) стремилась к некоторому конечному пределу b при x > a или x > ?.

Рассмотрим теперь случай, когда функция y=f(x) стремится к бесконечности при некотором способе изменения аргумента.

Функция f(x) стремится к бесконечности при x > a, т.е. является бесконечно большой величиной, если для любого числа М, как бы велико оно ни было, можно найти такое д > 0, что для всех значений х?a, удовлетворяющих условию |x-a| < д, имеет место неравенство |f(x)| > M.

Если f(x) стремится к бесконечности при x>a, то пишут или f(x)>? при x>a.

Сформулируйте аналогичное определение для случая, когда x>?.

Если f(x) стремится к бесконечности при x>a и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, соответственно пишут или .

Примеры.

1. .

2. (см. рис.).

3. .

4. Функция при x>0 не стремится ни к какому пределу (см. рис.).

ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Пусть задана функция y=f(x), определенная на некотором множестве D значений аргумента.

Функция y=f(x) называется ограниченной на множестве D, если существует положительное число М такое, что для всех значений x из рассматриваемого множества, выполняется неравенство |f(x)|?M. Если же такого числа М не существует, то функция f(x) называется неограниченной на множестве D.

Примеры.

1. Функция y=sin x, определенная при -?<x<+?, является ограниченной, так как при всех значениях x |sin x|?1 = M.

2. Функция y=x²+2 ограничена, например, на отрезке [0, 3], так как при всех x из этого отрезка |f(x)| ?f(3) = 11.

3. Рассмотрим функцию y=ln x при x ? (0; 1). Эта функция неограниченна на указанном отрезке, так как при x>0 ln x>-?.

Функция y=f(x) называется ограниченной при x > a, если существует окрестность с центром в точке а, в которой функция ограничена.

Функция y=f(x) называется ограниченной при x>?, если найдется такое число N>0, что при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству |x|>N, функция f(x) ограничена.

Установим связь между ограниченной функцией и функцией, имеющей предел.

Теорема 1. Если и b - конечное число, то функция f(x) ограничена при x>a.

Доказательство. Т.к. , то при любом е>0 найдется такое число д>0, что при вех значениях х, удовлетворяющих неравенству |x-a|<д, выполняется неравенство |f(x) -b|<е. Воспользовавшись свойством модуля

|f(x) - b|?|f(x)| - |b|,

последнее неравенство запишем в виде |f(x)|<|b|+ е. Таким образом, если положить

M=|b|+ е, то при x>a |f(x)|<M.

Замечание. Из определения ограниченной функции следует, что если , то она является неограниченной. Однако обратное неверно: неограниченная функция может не быть бесконечно большой. Приведите пример.

Теорема 2. Если

,

то функция y=1/f(x) ограничена при x>a.

Доказательство. Из условия теоремы следует, что при произвольном е>0 в некоторой окрестности точки a имеем |f(x) - b|<е. Т.к. |f(x) - b|=|b - f(x)| ?|b| - |f(x)|, то |b| - |f(x)|< е. Следовательно,

|f(x)|>|b| - е >0.

Поэтому и

.