16

Серовский Металлургический Техникум

Одним из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение - тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а так же в технике.

Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике. В соответствии с требованиями новой программы по математике понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики.

Что же такое вектор? Как ни странно, ответ на этот вопрос представляет известные затруднения. Существуют различные подходы к определению понятия вектора; при этом даже если ограничиться лишь наиболее интересным здесь для нас элементарно-геометрическим подходом к понятию вектора, то и тогда будут иметься различные взгляды на это понятие. Разумеется, какое бы определение мы ни взяли, вектор - с элементарно-геометрической точки зрения - есть геометрический объект, характеризуемый направлением (т.е. заданной с точностью до параллельности прямой и направлением на ней) и длиной. Однако такое определение является слишком общим, не вызывающим конкретных геометрических представлений. Согласно этому общему определению параллельный перенос можно считать вектором. И действительно, можно было бы принять такое определение: «Вектором называется всякий параллельный перенос». Это определение логически безупречно, и на его основе может быть построена вся теория действий над векторами и развиты приложения этой теории. Однако это определение, несмотря на его полную конкретность, нас здесь также не может удовлетворить, так как представление о векторе как о геометрическом преобразовании кажется нам недостаточно наглядным и далеким от физических представлений о векторных величинах.

Итак, векторомназывается семейство всех параллельных между собой одинаково направленных и имеющих одинаковую длину отрезков (рис.1). Вектор изображают на чертежах отрезком со стрелкой (т.е. изображают не все семейство отрезков, представляющее собой вектор, а лишь один из этих отрезков). Для обозначения векторов в книгах и статьях применяют жирные латинские буквы а, в, с и так далее, а в тетрадях и на доске - латинские буквы с черточкой сверху, Так же на чертеже векторы обозначаются двумя прописными буквами со стрелкой над ними: АВ, где А - начало вектора, В - его конец.

Той же буквой, но не жирной, а светлой (а в тетради и на доске- той же буквой без черточки) обозначают длину вектора. Длину иногда обозначают также вертикальными черточками - как модуль (абсолютную величину) числа. Таким образом, длина вектора а обозначается через а или IаI, а в рукописном тексте длина вектора а обозначается через а или IаI. В связи с изображением векторов в виде отрезков (рис.2) следует помнить, что концы отрезка, изображающего вектор, неравноправны: одного конца отрезка к другому. Различают начало и конец вектора (точнее, отрезка, изображающего вектор).

Весьма часто понятию вектора дается другое определение: вектором называется направленный отрезок. При этом векторы (т.е. направленные отрезки), имеющие одинаковую длину и одно и то же направление (рис.3), уславливаются считать равными.

Векторы называются одинаково направленными, если их полупрямые одинаково направлены.

Если начало вектора совпадает с его концом, то такой вектор называют нулевым вектором. Такой вектор обозначают . Длина нулевого вектора равна нулю и он не имеет определенного направления

В векторной алгебре два вектора называются равными, если они имеют одинаковые модули и одинаковые направления.

Для обозначения равенства векторов а и в употребляется обычный знак равенства: а=в.

Таким образом, вектор не меняется при его параллельном переносе с сохранением его модуля и его направления. Это означает, что произвольный вектор можно отложить из любой точки плоскости или произвольный вектор можно отложить из любой точки плоскости или пространства с сохранением как модуля, так и направления. В этой связи говорят, что в векторной алгебре изучаются свободные векторы.

Вектор, модуль которого равен 1, называется единичным.

Ортом данного вектора называется вектор, который направлен одинакова сданным вектором и имеет модуль, равный единице.

Орт вектора а обозначается а°. Следовательно, |а°|=1.

Углом между двумя векторами а и в называют меньший из ориентированных углов между направленными отрезками АВ=а и АС=в, исходящими из одной точки А(рис.4.3)

Ориентация определяется следующим образом. Если вращение второго вектора АС=в вокруг точки А до совпадения с вектором АВ=а происходит против движения часовой стрелки, то мера угла считается отрицательной. Угол между векторам а и в обозначается так: L(а, в).

Два вектора а и в называются взаимно перпендикулярными (или ортогональными), если L(а, в) =± ?/2 (рис4.2, а и б)

Для доказательства ассоциативности мы отложим от произвольной точки О вектор ОА = а, от точки А вектор АВ = в и от точки в - вектор ВС = с. Тогда мы имеем: АВ + ВС =АС.

(а + в ) + с = (ОА + АВ) + ВС = ОВ + ВС = ОС,

а + (в + с ) = ОА + (АВ + ВС) = ОА + АС = ОС,

откуда и следует равенство а + (в + с) = (а + в) + с. Заметим, что приведенное доказательство совсем не использует чертежа. Это характерно (при некотором навыке) для решения задач при помощи векторов.

Остановимся теперь на случае, когда векторы а и в направлены в противоположные стороны и имеют равные длины; такие векторы называют противоположными. Наше правило сложения векторов приводит к тому, что сумма двух противоположных векторов представляет собой «вектор», имеющий нулевую длину и не имеющий никакого направления; этот «вектор» изображается «отрезком нулевой длины», т.е. точкой. Но это тоже вектор, который называется нулевым и обозначается символом 0.

Но существует ещё один закон, которому подчиняется сложение векторов: для любого вектора а справедливо равенство: а+0=а.

Правила сложения

Разностью двух векторов а и в из которых первый называется уменьшаемым, а второй - уменьшаемым, называется сумма уменьшаемого вектора и вектора, противоположного вычитаемому.

Операция нахождения разности двух векторов а и в называется вычитанием и обозначается знаком минус: а-в=а+(-в) (рис.8.1).

Операций вычитания векторов есть операция, обратная операции сложения векторов. В самом деле, из чертежа (рис.8.2), на котором изображено построение разности двух векторов а и в, видно, что в+(а-в)=а, т.е. сумма разности и вычитаемого вектора равна уменьшаемому вектору.

Задача 1. С какой силой F надо удерживать груз весом Р на наклонной плоскости, чтобы он не сползал вниз (рис. 9).

Решение. Пусть О - центр тяжести груза, к которому приложена сила Р. Разложим вектор Р по двум взаимно перпендикулярным направлениям, как показано на рисунке. Сила ОА перпендикулярна наклонной плоскости и не вызывает перемещения груза. Сила F, удерживающая груз, должна быть равной по величине и противоположной по направлению силе ОВ. Поэтому F=Psin?

Задача 2. Докажите, что точка Х лежит на прямой АВ тогда и только тогда, когда OX=tOA+(1-t)OB для некоторого t и любой точки O.

Решение. Точка Х лежит на прямой АВ тогда и только тогда, когда AX=?AB, т.е. OX=OA=AX=(1-?)OA+?OB

Задача 3. Дано несколько точек и для некоторых пар (А,В) этих точек взяты векторы АВ, причем в каждой точке начинается столько же векторов, сколько в ней заканчивается. Докажите, что сумма всех выбранных векторов равна 0.

Решение. Возьмем произвольную точку О и запишем все выбранные векторы в виде AiAj=OAj-OAi. В силу условия задачи каждый вектор OAj, в сумму всех выбранных векторов войдет со знаком "плюс" столько же раз, сколько и со знаком "минус". Следовательно, сумма этих векторов будет равна 0.

Умножение и деление вектора на скаляр.

Произведением вектора а на скаляр (число) ? (??0) называется вектор в, удовлетворяющий следующим условиям:

1) Векторы а и в одинаково направлены, если ?=0, и противоположно направлены, если ?=0;

2) |в|=| ?| |а|.

Произведением вектора а на 0 является нулевой вектор.

Два вектора, имеющие одинаковые направления, называются

сонаправленными, а два вектора, имеющие противоположные направления, называются противонаправленными. Сонаправленность векторов а и в обозначается так: а ^^в, а противонаправленность так: а^vв.

Умножение вектора на скаляр обладаеттеми же свайствами, что и умножение чисел:

1) Закон переместительности (коммутативности): ? а= ? а;

2) Закон сочетательности для скалярных множителей (ассоциативности): ?(? а)=(??)а;

3) Закон распределительности (дистрибутивности) как для векторных множителей, так и для скалярных множителей:

(а+в) ?= а ? +в ? и (?+?)а= ?а+ ?а

?0=0; 0а=0

Теорема. Абсолютная величина вектора ?а при а?0 совпадает с направлением вектора а, если ?>0 , и противоположно направлению вектора а, если ?<0.

Доказательство. Построим векторы ОА и ОВ, равные а и ?а соответственно (О - начало координат). Пусть а1 и а2 - координаты вектора а. Тогда координатами точки А будут числа а1 и а2, а координатами точки В будут ?а1 и ?а2 (рис. 10). Уравнение прямой ОА имеет вид: ?x+?y=0. Так как уравнению удовлетворяют координаты точки А(а1;а2), то ему удовлетворяют и координаты точки В(?а1; ?а2). Отсюда следует, что точка В лежит на прямой ОА. Координаты с1 и с2 любой точки С, лежащей на полупрямой ОА, имеют те же знаки, что и координаты а1 и а2 полупрямой, дополнительной к ОА, имеют противоположные знаки.

Поэтому если ?>0, то точка В лежит на полупрямой ОА, а следовательно, векторы а и ?а одинаково направлены. Если ?<0, то точка В лежит на дополнительной полупрямой, векторы а и ?а противоположно направлены.

Абсолютная величина вектора ?а равна:

.

Теорема доказана.

Теорема . Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Доказательство.

Пусть АВСD - данный ромб (рис.11). Введем обозначения: АВ = а, ВС = в. Из определения ромба: АВ = DC = а, AD = ВС = в.

По определению суммы и разности векторов АС = а + в; DВ = а - в.

Рассмотрим АС * DВ = (а + в )( а - в) = а² - в² .

Так как стороны ромба равны, то а = в. Следовательно, AC * DB =0. Из последнего получаем АС _DВ, т.е. DB _ АС.

Теорема доказана.

Задача 1. Даны векторы а(2;-4), в(-5;2),. Найти координаты вектора 2а-3в.

Решение. Координаты векторов будут равны 2а(4;-8) и 3в(-15;6). Разность векторов 2а и 3в имеет координаты, равные разности координат векторов 2а и 3в , т.е. (19;-14).

Задача 2.

Даны два вектора АВ и CD, причем А( -1; 2; 4), В ( -4; 5; 4), С( -1; -2; 2) и D(2; 1;5).

Определить, перпендикулярны они друг другу или нет.

Решение.

Найдем сначала координаты векторов. АВ = ( -3; 3; 0) и СD = (3; 3; 3).

вычислим теперь скалярное произведение этих векторов:

АВ*СD = ( -3)*3 + 3*3 + 0*3 = 0. Последнее и означает, что АВ__СD.

Два вектора называются коллинеарными, если направления их либо совпадают, либо противоположны. Таким образом, коллинеарные векторы лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис.11). Для коллинеарности векторов используется знак параллельности: а||в.

Два вектора а и в коллинеарны тогда и только тогда, когда существует число ? такое, что в= ?а.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Задача 3. В треугольник АВС векторы АВ=а, ВС=в, СА=с. Выразить АМ, BN, СК, где АМ, BN, СК - медианы треугольника, через векторы а, в и с.

Решение. Ясно, что АМ=АВ+ВМ=с+а/2, BN=ВС=СN=а+в/2, СК=СА+АК=в+с/2.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов и называется число .

Для скалярного произведения векторов используется такая же запись, как и для произведения чисел. Скалярное произведение обозначается и называется скалярным квадратом. Очевидно, .

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1) (коммутативность);

2) (ассоциативность);

3) (дистрибутивность).

Углом между ненулевыми векторами АВ и АС называется угол ВАС. Угол между любыми двумя ненулевыми векторами а и в называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.

Теорема. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Доказательство. Пусть а и в - данные векторы и - угол между ними. Имеем:

,

или

.

Отсюда видно, что скалярное произведение ав выражается через длины векторов а, в и а+в, а поэтому не зависит от выбора системы координат, т.е. скалярное произведение не изменится, если систему координат выбрать специальным образом. Возьмем систему координат ху так, как показано на рисунке 12. При таком выборе системы координат координатами вектора будут и 0, а координатами вектора в будут и . Скалярное произведение . Теорема доказана.

Из доказанной нами теоремы следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Задача 1. Даны векторы а и в. Найти длину вектора а+в, если известно, что =4, =3, а угол между векторами а и в равен 60. [1]

Решение. Согласно одного из свойств скалярного произведения векторов , . Следовательно, .

Задача 2. Вычислить косинусы углов А и В треугольника АВС, вершины которого имеют следующие координаты: А(1;6), В(1;1), С(4;1).

Решение. Согласно определению скалярного произведения векторов и в, , найдем .

Вычислим координаты векторов АВ и АС: АВ(0;-5), АС(3;-5),

; .

Затем вычислим координаты векторов ВА и ВС: ВА (0;5), ВС(3;0), . Следовательно, ВАВС, и .

Задача 3. В точках М₁(х₁;у₁), М₂(х₂;у₂) сосредоточены массы, соответственно равные m₁ и m₂. Найти координаты центра тяжести системы этих масс.

Решение. Известно, что центр масс С лежит на отрезке М₁М₂ и удален от точек М₁ и М₂ на расстояние, обратно пропорциональные массам m₁ и m₂, т.е. точка С, являющаяся центром тяжести системы двух материальных точек, делит отрезок М₁М₂ в отношении . Используя формулы для нахождения координат середины отрезка ; и подставляя в них значение , после преобразований находим координаты точки С:

; .

Список литературы:

1. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1992

2. Герасимович А.И., Пушкина-Варварчук Г.Т., Шарикова З.П., Цыганова В.К. Геометрия для подготовительных отделений втузов: Справ. Пособие - Мн.: Выш. Шк., 1987

3. Дадаян А.А. Математика: Учебник. - М.: ФОРУМ,: ИНФРА-М, 2003.

4. Кравцев С.В. Алгебра и начала анализа. Ответы на экзаменационные билеты. 11 класс: учебное пособие. - М.: Издательство «Экзамен», 2006