14

Городская открытая научно-практическая конференция

школьников и студентов

Линейные и квадратные уравнения

Выполнили:

Руководитель:

Зеленогорск -2006г

Содержание

• Введение 3
• Глава 1. Линейные уравнения 4
• Глава 2. Квадратные уравнения 13
• Заключение 21
• Библиография 22

Введение

Актуальность данной темы определяется необходимостью сдавать эту тему на Единых Государственных экзаменах и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.

Цель данной работы рассказать о линейных и квадратных уравнениях с параметрами.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) дать определения понятиям линейное и квадратное уравнение;

2) показать принцип решения данных уравнений на общих и частных случаях;

3) показать решение линейных и квадратных уравнений с дополнительными условиями.

Для выполнения поставленной цели были использованы следующие методы: использование литературы разного типа, работа в группах, выполнение проектных работ и их презентация, выполнение и защита домашних работ, участие в городской конференции по данной теме.

Объектом проектной работы было решение линейных и квадратных уравнений с параметрами.

Структура данной работы включает в себя теорию, 2 главы, заключение, библиографический список.

Глава 1. Линейные уравнения

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи предлагаются на едином государственном экзамене и на вступительных экзаменах в вузы.

Большинство пособий адресовано абитуриентам, однако начинать знакомиться с подобными задачами нужно намного раньше - параллельно с соответствующими разделами школьной программы по математике.

Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.

Естественно, такой небольшой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, - степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.

Основное, что нужно усвоить при первом знакомстве с параметром, - это необходимость осторожного, даже, если хотите, деликатного обращения с фиксированным, но неизвестным числом. Этому, по нашему мнению, во многом будут способствовать наши примеры.

Необходимость аккуратного обращения с параметром хорошо видна на тех примерах, где замена параметра числом делает задачу банальной. К таким задачам, например, относятся: сравнить два числа, решить линейное или квадратное уравнение, неравенство и т.д.

Обычно в уравнение буквами обозначают неизвестные.

Решить уравнение - значит:

Найти множество значений неизвестных, удовлетворяющих этому уравнению. Иногда уравнения, кроме букв, обозначающих неизвестное(X, Y,Z), содержат другие буквы, называемые параметрами(a, b, c). Тогда мы имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством уравнений.

При одних значениях параметров уравнение не имеет корней, при других - имеет только один корень, при третьих - два корня.

При решении таких уравнений надо:

1) найти множество всех доступных значений параметров;

2) перенести все члены, содержащие неизвестное, в левую часть уравнения, а все члены, не содержащие неизвестного в правую;

3) привести подобные слагаемые;

4) решать уравнение ax=b.

Возможно три случая.

1) а ? 0, b - любое действительное число. Уравнение имеет единственное решение х =

2) а = 0, b = 0. Уравнение принимает вид: 0х = 0, решениями являются все х R

3. а = 0, b ? 0. Уравнение 0х=b решений не имеет

Сделаем одно замечание. Существенным этапом решения уравнений с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа - это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

В только что разобранном примере запись ответа практически повторяет решение. Тем не менее, мы считаем целесообразным привести ответ.

Ответ: х = при а 0, b - любое действительное число;

х - любое число при а = 0, b = 0;

решений нет при а = 0, b ? 0.

Начнем с более простых примеров.

-8= сх+1

Решение

сх = -9

Если с=0, то 0х=-9, неверное, х Ш

Если с0, то х= -

Ответ: при с=0 решения нет

при с0 х= -

k(x-2) + 3(x+3)=1

Решение

kx-2k+3x+9=1

kx+3x=2k-8

x(k+3)=2(k-4)

Если k+3=0.k=-3

0x=-14 (ложное). x Ш

Если k-3, то x=

Ответ: если k=-3. то x=

если k-3,нет решения

3) При каких значениях параметра а уравнение имеет множество корней?

Решение

6 (ах + 1) + а = 3 (а - х) + 7

6 ах + 6 + а = 3а - 3х + 7

6ах + 3х = 2а + 1

2а + 1= 0

а =

при а = 0х = 0, х R

Ответ: при а = .

4) Решить уравнение ах + 25 = а² + 5х

Решение

ах + 25 = 5х + а²,

ах - 5х = а² - 25,

(а - 5) х = (а - 5)(а + 5),

если а = 5, то 0х = 0 (верное), х - любое;

если а ? 5, то х = а + 5, при x=

Ответ: х - любое, при а = 5;

х = а + 5, при а ? 2.

4) Решить уравнение bх - 2b = 4х - 8

Решение

bх - 2b = 4х - а,

bх - 4х = 2b - 8,

(b - 4)х = 2(b - 4),

если b = 4, то 0х = 0, х - любое,

если b ? 4, то х = 2

Ответ: х = 2 при b ? 4;

х - любое при b = 4.

6) Решить уравнение а²х + 3 = 9х + а.

Решение

(а + 3)(а - 3) х = а - 3

а²х + 3 = а + 9х,

а²х - 9х = а - 3,

(а² - 9)х = а - 3

(а - 3)(а + 3)х = а - 3,

если а = -3, то 0х = - 6 (ложное), решения нет;

если а = 3, то 0х = 0, х - любое;

если a ? 3, а ? -3, то х =

Ответ: х = при а ? 3 и а ? -3;

х- любое при а = 3;

нет решения при а = -3.

7) При каких значениях параметра а уравнение:

имеет бесчисленное множество решений?

Решение

ОДЗ х ? -7

х - 5 = а - х,

2х = а + 5, х = ,

если х = -7, -14 = а + 5, а = - 19

Ответ: при а = - 19

8) Найти такие значения а, при которых х > 0 в уравнении

2(а + х) = 3(1 - х)

Решение

2а + 2х = 3 - 3х

5х = 3 - 2а

х =

> 0

3 - 2а > 0

2а < 3

а < 1,5

Ответ: а < 1,5

9) Решить уравнение 6(ах - 1) - а = 2(а + х) - 7

Решение

6ах - 6 - а = 2а + 2х - 7

6ах - 2х = 3а - 1

2х(3а - 1) = 3а - 1

3а - 1 = 0

а =

0х = 0

х = R

Ответ: а =

10) Решить уравнение 7 - ах + 2х = 5х - 1.

Решение

5х + ах - 2х = 7 - 1

3х - ах = 6

х(3 + а) = 6

если а = - 3, то

0х = 6 (высказывание ложное)

х

если а - 3, то

х =

Ответ: при а = - 3 х , при а - 3 х = .

11) Решить относительно х уравнение

+ = (1)

Решение

Из условия следует, что (а - 1)(а + 3) ? 0, то есть а ? 1, х ? -3.

Умножим обе части уравнения на (а - 1)(а + 3). Получим уравнение:

3ах - 5 + (3а - 11)(х + 3) = (2х + 7)(а - 1), или

х(4а - 9) = 31 - 2а

При а ? 2,25 х =

Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений а, при которых найденное значение х = 3,

= - 3 при а = - 0,4

Таким образом, при а ? 1, а ? 2, 25, а ? - 0,4 уравнение (1) имеет единственное решение

х =

При а = 2, 25, а = - 0,4 решений нет.

При а = 1 уравнение (1) не имеет смысла.

Заметим, что если при каком-либо значении параметра а данное уравнение не имеет смысла, то оно при этом значении параметра и не имеет решения. Обратное утверждение неверно.

Нельзя, например, утверждать, что при а = - 0,4 решенное выше уравнение (1) не имеет смысла.

Если подставить в уравнение (1) а = - 0,4, получим вполне определенное уравнение.

+ =. (2)

Значит, при а = - 0,4, уравнение (1) имеет смысл. Однако корней уравнение не имеет, так как корень х = -3 уравнения 53х = -159, к которому сводится уравнение (2), является для него посторонним.

12) Решить уравнение

(а² - 1)х = а+1.

Решение

Нетрудно сообразить, что при решении этого уравнения достаточно рассмотреть такие случаи:

1) а = 1; тогда уравнение принимает вид 0х = 2 и не имеет решений;

2) а = - 1; получаем 0х = 0, и очевидно х - любое.

а ? ± 1; имеем х =

Ответ: Если а = -1, то х - любое; если а = 1, то нет решений;

если а ? ± 1, то х =

13) Решить уравнение

2а(а - 2)х = а - 2

Решение

Рассмотрим прежде всего те значения параметра, которые обращают в нуль коэффициент при х. При этих значениях параметра невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х, а при остальных значениях параметра такое деление возможно. Такими значениями являются а = 0, а = 2. При а = 0 уравнение 2а(а - 2)х = а - 2 принимает вид 0х = 0; решением его служит любое действительное число. При а ? 0 и а ? 2 уравнение 2а(а - 2)х = а - 2 можно преобразовать к виду х =, откуда находим х = 1

Таким образом, если а = 0, то уравнение не имеет решений; если а = 2, то решением служит любое действительное число; если а ? 0 и а ? 2, то х = 1/(2а).

14) Решить относительно х уравнение х² - ах = 0.

Решение

х² - ах = 0

х(х - а) = 0

х = 0 или х = а

Ответ: при а = 0 х₁ = х₂ = 0

при а ? 0 х₁ = 0; х₂ = а.

15) При каких значениях параметра а уравнение 2( 3х - 2а) = 2 + ах не имеет решение?

Решение

2( 3х - 2а) = 2 + ах

6х - 4а = 2 + ах

6х - ах = 4а +2

х(6 - а) = 2(2а +1)

при а = 6, 0х = 26 - ложное, х

Ответ. При а = 6.

Глава 2. Квадратные уравнения

Уравнение вида ах² + bх + с = 0, где а, b, с принадлежат множеству действительных чисел, а не равно нулю называется квадратным уравнением.

D = b² - 4ас - дискриминант квадратного уравнения.

Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных корней;

если дискриминант больше, то уравнение имеет два различных корня:

х = ;

если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень

х = -.

1) При каких значениях параметра k корни квадратного трехчлена

(2 - k)x² - 3kx +2k действительны и оба больше 0,5

Решение

Квадратный трехчлен ax² + bx + c имеет действительные корни, если

а ? 0

D ? 0, то есть

2 - k ? 0 k ? 2

9k² - 4(2 - k)· 2k ? 0, 17k² - 16k ? 0.

По условию если x₁ > 0,5, x₁ + x₂ >1,

х₂ > 0,5; x₁ · x₂ > 0,25

По теореме Виета

x₁ + x₂ = ,

x₁ · x₂ =

Таким образом,

> 1

> 0,25

17k²-16k?0,

а) - 1 > 0, > 0, > 0, > 0,

0,5 < k < 2

б) > 0,25 (аналогичное решение),

< k < 2

в) k(17k - 16) ? 0, k ? 0 или k ?

0,5 < k < 2,

< k < 2,

k ? 0 или k ? ; ? k < 2.

Ответ: [;2).

2) При каких значениях параметра p функция определена при всех x R?

Решение

Функция определена при t ? 0, то есть (3p + 1) ·x-p(4+x²)?0 при всех xR,

-px² + (3p + 1)x - 4p ? 0,

px² - (3p + 1)x + 4p ? 0

при всех x, что возможно, если

p < 0,

D ? 0,

то есть

p < 0,

(3p + 1)² - 16p² ? 0,

р < 0, p < 0,

7p² - 6p - 1 ? 0, p ? -или p ? 1;

7p² - 6p - 1 ? 0,

p₁ = - ; p₂ = 1.

p ? - или p ? 1.

Изобразим графически решение системы.

Решением системы является (-; -).

Данная функция определена при всех значениях х, если p.

Ответ: .

3) При каких значениях параметра p многочлен

x²+2(p-9)x +(p²+3p+4) можно представить в виде полного квадрата?

Решение

ax +bx+c=a(x-x₀)², если D = 0, таким образом , D=0 или = 0,

=²- ac,

= (p - 9)² - (p² + 3p + 4),

P² - 18p + 81 - p² - 3p - 4 = 0,

-21p = -77,

p = 3

Ответ: 3.

4) При каких значениях параметра а корни уравнения ax² - (a + 1)x+a+3 = 0 имеют разные знаки?

Решение

Если D > 0, то x₁ ? x₂; если x₁ и x₂ разных знаков, то x₁·x₂<0; по теореме Виета x₁·x₂ = = , a ? 0, таким образом,

D > 0, a +1)² - 4a (a + 3) > 0

< 0, < 0,

a ? 0 a ? 0,

a² + 2a + 1- 4a² - 12a > 0,

-3a² - 10a + 1 > 0,

3a² + 10a - 1 < 0,

a_{1, 2} =

a₁ = ; a₂ =

3a² + 10a - 1 < 0 при

1) < a <

2) < 0; решением этого неравенства будет -3 < a < 0

Из 1) и 2) следует, что -3 < a <0 так как

< a <

-3 < a < 0.

Сравним: -3 и ,

-9 и ,

-5-4 и ,

Так как 4 < , то

-3 > .

Ответ: (-3; 0).

5) При каких значениях параметра p оба корня уравнения

x² + 2 (p + 1) x + 9p - 5 = 0 отрицательны?

Решение

Если D = 0, то х₁ = x₂,

Если D > 0; x₁ ? x_2,

Если x₁ < 0 и x₂ < 0, то

x₁x₂ > 0,

x₁+x₂ < 0,

По теореме Виета для уравнения x²+px+q=0

x₁+x₂ = -p;

x₁x₂ = q

Составим систему

(p+1)²-(9p-5) ? 0, p²+2p+1-9p+5 ? 0,

-2(p+1) < 0, p+1 > 0,

9p-5 >0, 9p > 5,

P²-7p+6?0, p ? 1 или p ? 6,

р >-1, p >-1,

p >, p >,

p ? 1, p ? 6,

p >-1, p > -1,

p > или p >

p][6;+).

Ответ: ] [6;+).

6) Найти все значения параметра а, при которых сумма квадратов корней уравнения

х²- ax + a + 7=0 равна 10.

Решение

Корни существуют, если D ? 0, то есть

a²- 4 (a + 7) ? 0 a(-][2+4+)

По теореме Виета

x₁+x₂ = a

x₁x₂ = a+7

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁ x₂ = a²-2 (a + 7).

a² - 2(a + 7) = 10a = 6,- 4

При а = 6, D<0 a = - 4.

Ответ: a = - 4

7) Иногда решение таких уравнений сводится к нахождению корней квадратного уравнения. Рассмотрим, например, уравнение =.

При m = 0 оно не имеет смысла. Значение х должно удовлетворять условиям х ? -1, и х ? - 2. Умножив обе части данного уравнения на m(х+1)(х+2) ? 0, получим уравнение

х² - 2(m - 1)х + m² - 2m - 3 = 0, равносильно данному. Отсюда

х₁ = m + 1; х₂ = m - 3.

Среди полученных корней могут быть и посторонние, а именно те, при которых (х + 1)(х + 2) обращается в ноль. Чтобы выделить их, необходимо узнать, при каких значениях m полученные корни (или один из них) принимают значения -2 или -1.

х₁ = m+1= -2 при m = -3, при этом х₂ = m-3 = -6;

х₁ = m+1 = -1 при m = -2, при этом х₂ = m-3= -5;

х₂ = m-3 = -2 при m = 1, при этом х₁ = m+1 = 2;

х₂ = m-3 = -1 при m = 2, при этом х₁ = m+1 = 3.

Ответ:

При m ? 0, m ? -3, m ? ± 2, m ? 1, х₁ = m + 1, х₂ = m-3

При m = -3, х = -6;

При m = 1, х = 2;

При m = -2, х = -5;

При m = 2, х = 3;

При m = 0 уравнение не имеет смысла.

8) При каких значениях параметра p уравнение

(p - 4)x² + 2(p - 2)x + p = 0 имеет 2 различных корня.

D = (p - 2)² - p (p - 4) = p² - 4p + 4 - p² + 4p = 4

p - 4 ? 0

p ? 4

Ответ: p R¦p = 4.

9) При каких значениях параметра p уравнение

px² - 4x + p = 0 имеет 2 равных корня.

2 равных корня если D = 0

D₁ = 4 - p²;

4 - p² = 0

p = ± 2

Ответ: p = ± 2.

Заключение

Во время создания данного проекта мы усовершенствовали свои старые знания по теме «Линейные и квадратные уравнения с параметрами» и в какой-то мере получили новые.

По завершению работы мы пришли к выводу, что эта тема должна изучаться не только на элективных курсах и дополнительных занятиях, но и в школьной программе, так как она формирует логическое мышление и математическую культуру у школьников. Мы решили, что на следующий учебный год для самосовершенствования будем изучать данную тему более углубленно, также рассматривая решение линейных, квадратичных и иррациональных неравенств с параметрами без и с дополнительными условиями.

Библиография

1. П.И. Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир «Задачи с параметрами», 2002г.

2. Н.Ю. Глаголева «Задачи по математике для поступающих в вузы», 1994г.

3. В.В. Локоть «Задачи с параметрами», 2003г.

4. В.В. Ткачук «Математика - абитуриенту», 1994г.

5. Г.А. Ястребинецкий «Уравнения и неравенства, содержащие параметры», 1972г.

6. А.Г.Мордкович «Алгебра и начала анализа», 1987г.

7. В.С. Крамов «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа», 1994г.