Изучение вариации

Курсовой проект

по дисциплине "Статистика"

на тему: Изучение вариации.

Выполнила

Руководитель:

Казань 2007

Содержание

Введение

1. Построение вариационного ряда.

2. Графическое изображение вариационного ряда

2.1 Показатели центра распределения и структурные характеристики вариационного ряда.

2.2 Показатели размера и интенсивности вариации

2.3 Оценка вариационного ряда на ассиметрию и эксцесс

3 Статистическое наблюдение

Список используемой литературы

Введение.

При изучении явлений и процессов общественной жизни статистика встречается с разнообразной вариацией (изменчивостью) признаков, характеризующих отдельные единицы совокупности.

Вариация - это различие в значениях, какого - либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же момент времени. Величины признаков изменяются под действием различных факторов. И следовательно, чем разнообразнее условия, влияющие на размер данного признака, тем больше его вариация. Исследование вариации в статистике имеет большое значение, т. к. помогает изучить сущность явления. Измерение вариации, выяснение ее причины, выявление влияния отдельных факторов дает важную информацию (продолжительность жизни, доходы и расходы населения и т. д.) для принятия научно-обоснованных управленческих решений.

Вариацией называется различие значений признака у отдельных единиц изучаемой совокупности в один и тот же период или момент времени.

Статистический анализ вариации предполагает выполнение следующих основных этапов:

1. Построение вариационного ряда.

2. Графическое изображение вариационного ряда.

3. Расчет показателей центра распределение и структурных характеристик вариационного ряда.

4. Расчет показателей размера и интенсивности вариации.

5. Оценка вариационного ряда на асимметрию и эксцесс.

1. Построение вариационного ряда.

Построение вариационного ряда (ряда распределения) - это упорядоченное распределение единиц совокупности по возрастающим или убывающим значениям признака и подсчет числа единиц с тем или иным его значением.

В составе любого вариационного ряда можно выделить три основных элемента: варианты, частоты, частости.

Варианты - это значения, которые принимает исследуемый признак.

Если варианты представлены в виде целочисленных величин, вариационный ряд называют дискретным, если в виде интервалов - интервальным.

Частоты вариационного ряда - абсолютная численность отдельных групп с различными значениями признака.

Частости вариационного ряда - удельные весы (доли) отдельных групп в общей численности совокупности.

Средняя величина дает обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя не показывает, как располагаются около нее варианты признака, сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Средняя величина признака в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном случае все индивидуальные значения отличаются от нее мало. Т.к. в одном случае вариация признака мала, в другом - велика, а это имеет весьма важное значение для характеристики надежности средней величины. Чем больше варианты отдельных единиц совокупности различаются между собой, тем больше они отличаются от своей средней, и наоборот, - чем меньше варианты отличаются друг от друга, тем меньше они отличаются от средней, которая в этом случае будет более реально представить всю совокупность. Поэтому ограничиваться вычислением одной средней нельзя. Нужны и другие показатели, характеризующие отклонения отдельных значений от общей средней. Итак, для характеристики колеблемости признака применяют систему абсолютных и относительных показателей:

К абсолютным показателям вариации относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Размах вариации (R) вычисляется как разность между максимальным и минимальным значениями признака

R = х - х

Среднее линейное отклонение (d) представляет собой среднюю арифметическую величину из абсолютных значений отклонений отдельных значений признака от их средней. Если данные не сгруппированы, то рассчитывается невзвешенное среднее линейное отклонение

d =

Для сгруппированных данных, представленных в виде вариационного ряда, используется взвешенное среднее линейное отклонение, где весами выступают частоты соответствующих вариант:

d =

Дисперсия (Q) называется средняя арифметическая величина, полученная из квадратов отклонений значений признака от их средней:

… для несгруппированных данных:

Q =

... для сгруппированных данных:

Q =

Квадратный корень из дисперсии называется средним квадратическим отклонением (его называют также стандартным отклонением):

…для несгруппированных данных:

Q =

... для сгруппированных данных:

Q =

Абсолютные показатели вариации, за исключением дисперсии, имеют те же единицы измерение, что и исследуемый показатель вариационного ряда. Поэтому, если экономическая интерпретация, например, среднего линейного отклонения, проста и понятна физически, то в случае с дисперсией она затруднена. Однако дисперсия рассчитывается в статистическом анализе гораздо чаще, чем другие показатели вариации. Связано это с тем, что дисперсия широко используется в таких видах статистического анализа, как корреляционный, регрессионный, дисперсионный, при оценках результатов выборочного наблюдения. Кроме того, именно с помощью дисперсии можно оценить влияние случайных и систематических факторов на формирование значений случайной величины.

Для сравнения вариации одного и того же показателя в разных совокупностях (например, заработной платы двух рекламных агентств) или вариации разных показателей в одной совокупности (например, вариации заработной платы и возраста в одном рекламном агентстве) используют относительные показатели вариации. К ним относят:

… коэффицент осцилляции:

V =

… относительное линейное отклонение:

V =

… коэффицент вариации:

V =

Размах вариации измеряет разность между максимальным и минимальным значениями варьирующего признака, это наиболее простой способ измерения колеблемости.

Среднее квадратическое отклонение - это корень квадратный из суммы квадратов отклонений индивидуальных значений признака от их средней, т.е. из дисперсии.

Коэффициент вариации. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение недостаточно полно характеризуют колеблемость признака, т.к. показывают абсолютный размер отклонений, что затрудняет сравнение изменчивости различных признаков. Для характеристики колеблемости явлений среднее квадратическое отклонение сопоставляют с его средней величиной и выражают в процентах. Коэффициент вариации является самым распространенным относительным показателем колеблемости. Он более точно, чем абсолютный, характеризует различие колеблемости признаков. По величине коэффициента вариации можно судить о степени вариации признаков совокупности. Чем больше его величина, тем больше разброс значений вокруг средней, тем менее однородна совокупность по своему составу и тем менее представительна средняя.

Коэффициент вариации важен и в тех случаях. Когда нужно сравнивать средние квадратические отклонения, выраженные в разных единицах измерения.

Методы исчисления средних запасов товарно-материальных ценностей. Для непрерывного производственного процесса необходимо постоянное наличие на предприятии определенного количества сырья, материалов, топлива и т.п., т.е. материальных ресурсов.

Источниками материальных ресурсов могут быть как внутренние, так и внешние их запасы (остатки) -- средства производства на предприятиях и организациях, объем и состав которых определяется на ту или иную дату (чаще всего на 1 января каждого года) путем статистического наблюдения.

В состав запасов материальных ценностей входят: сырье, основные и вспомогательные материалы, топливо, тара, запасные части, инструмент, хозяйственный инвентарь, полученные и собственные полуфабрикаты, незавершенное производство, готовая продукция. По форме существования выделяют два основных вида запасов материальных ценностей:

а) производственные запасы сырья, материалов и топлива, создаваемые в сфере производства в связи с непрерывностью их поступления;

б) товарные запасы готовых средств производства, находящиеся в сфере обращения.

Принято считать, что если значение V > 33%, то совокупность неоднородна, и для дальнейшего статистического анализа следует либо исключить крайние значения признака, либо разбить совокупность на однородные группы (требование однородности данных присутствует практически во всех видах статистического анализа).

2. Графическое изображение вариационного ряда

Графическое изображение вариационных рядов облегчает их анализ и позволяет судить о форме распределения. Для графического изображения вариационного ряда в статистике строят гистограмму, полигон и кумуляту распределения.

Гистограмма - столбиковая диаграмма, для построения которой на оси абсцисс откладывают отрезки, равные величине интервалов вариационного ряда. На отрезках строят прямоугольники, высота которых в принятом масштабе по оси ординат соответствует частотам (или частостям).

Для графического изображения дискретного вариационного ряда применяют полигон распределения, для построения которого необходимо соединить прямыми отрезками точки с координатами x, w. Крайние точки полученного графика соединяют с точками по оси абсцисс, отстающими на одно деление в принятом масштабе от минимального и максимального значения вариант. Полигон может быть построен и для интервального вариационного ряда, для этого в качестве координат по оси абсцисс используют середины интервалов. Очевидно, что гистограмма легко может быть преобразована в полигон распределения, если середины верхних сторон прямоугольников соединить отрезками прямых, при этом середины верхних сторон двух крайних прямоугольников соединить с осью абсцисс в точках отстоящих в принятом масштабе на величину интервалов от середины первого и последнего интервалов.

Кумулята распределения строится по накопленным частотам (частостям). Накопленные частоты (частости) определяют последовательным суммированием частот (частостей), они показывают, сколько единиц совокупности имеют значение признака. При построение кумуляты интервального ряда нижней границе первого интервала соответствует нулевая частота (частость), верхней - вся частота (частость) первого интервала. Верхней границе второго интервала - сумма частот (частостей) первого и второго интервалов и т. д. Верхней границе последнего интервала - сумма накопленных частот (частостей) во всех интервалах, что соответствует общей численности изучаемой совокупности или 100%.

2.1 Показатели центра распределения и структурные характеристики вариационного ряда.

Для характеристики среднего значения признака в вариационном ряду используются так называемые показатели центра распределения. К ним относятся средняя величина признака, медиана и мода.

Средняя величина является наиболее распространенным статистическим показателем, с помощью которого дается обобщающая характеристика совокупности однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Она показывает уровень признака в расчете на единицу совокупности. С помощью средних величин проводится сравнение различных совокупностей по варьирующим признакам, изучаются закономерности развития явлений и процессов общественной жизни.

В статистике применяются два класса средних: степенные (аналитические) и структурные.

К группе степенных средних относят среднюю арифметическую, геометрическую, квадратическую, гармоническую. Индивидуальные формулы для их вычисления можно привести к виду, общему для всех степенных средних, а именно

где m - показатель степенной средней: при m = 1 получаем формулу для

вычисления средней арифметической, при m = 0 - средней

геометрической, m = -1 - средней гармонической, при m = 2 -

средней квадратической;

x - варианты (значения, которые принимает признак);

f - частоты.

Средняя арифметическая вычисляется либо как простая, либо как взвешенная величина.

Расчет средней величины признака в вариационном ряду осуществляется по формуле средней арифметической взвешенной:

При расчете средней величины интервального ряда в качестве вариантов признака используются значения середины интервалов. Для нахождения середины открытых интервалов необходимо их предварительно условно закрыть, т. е. определить недостающую верхнюю и нижнюю границы. Принято считать, что в первой группе величина интервала равна интервалу второй группы, а в последней - интервалу предыдущей.

Мода - значение признака, наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности. В дискретном ряду модой является вариант с наибольшей частотой (частостью). В интервальном вариационном ряду мода рассчитывается по формуле:

Модальный интервал - это интервал, имеющий наибольшую частоту (частость).

Отметим, что вычисления моды в интервальном ряду является весьма условным.

Приближенно модальное значение признака можно определить и графически - по гистограмме. Для этого нужно взять столбец, имеющий наибольшую высоту, и из его левого верхнего угла провести отрезок в верхний угол последующего столбца, а из правого угла - в верхний правый угол предыдущего. Абсцисс точки пересечения отрезков и будет соответствовать модальному значению признака в изучаемой совокупности.

Медиана - вариант, расположенный в середине упорядоченного вариационного ряда, делящий его на две равные части, таким образом, что половина единиц совокупности имеют значение признака меньше, чем медиана, а половина - больше, чем медиана. В интервальном ряду медиана определяется по формуле:

Медианный интервал - это интервал, в котором находится порядковый номер медианы. Для его определения необходимо подсчитать сумму накопленных частот (частостей) до числа, превышающего половину объема совокупности.

Медиану приближенно можно определить графически - по кумуляте. Для этого высоту наибольшей ординаты, которая соответствует общей численности совокупности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумулятой.

Расчет модального и медианного значений для вариационных рядов с неравными интервалами осуществляется по формулам, аналогичным приведенным выше, только вместо показателей частот (частостей) используются показатели абсолютной или относительной плотности распределения, которые обеспечивают сопоставимость неравных интервалов. Показатели плотности распределения находятся как отношения частот (частостей) к величине интервала:

- абсолютная плотность распределения

- относительная плотность распределения

где I - величина интервала.

По соотношению характеристик центра распределения (средней величины, моды и медианы) можно судить о симметричности эмпирического ряда распределения. Симметричным является распределение, в котором частоты двух вариантов, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. В симметричном распределение средняя величина, медиана и мода равны между собой:

Если , то имеет место правосторонняя асимметрия, т. е. большая часть единиц совокупности имеет значение изучаемого признака, превышающие модальное значение. На графике распределения правая ветвь относительно максимальной ординаты вытянута больше, чем левая.

Соотношение характерно для левосторонней асимметрии, при которой большая часть единиц совокупности имеет значение признака ниже модального. На графике распределения левая ветвь вытянута больше, чем правая.

При анализе вариационного ряда важно знать не только направление асимметрии (правосторонняя или левосторонняя), но и ее степень, которая измеряется с помощью коэффициентов асимметрии.

Моду и медиану называют еще структурными средними, поскольку они дают количественную характеристику структуры строение вариационных рядов. К структурным характеристикам относятся и другие порядковые статистики: квартили - делящие ряд на 4 равные части, децили - делящие ряд на 10 частей, перцинтили - на 100 частей и др.

Общая схема расчета децилей следующая:

1) поскольку децили отсекают десятые части совокупности, по накопленным частостям определяем интервалы, куда попадают порядковые номера децилей: для первой децили - интервал, где находится вариант, отсекающий 10% совокупности с наименьшими значениями признака; для второй - 20% и т. д.; для девятой децили - интервал, содержащий вариант, отсекающий 90% с наименьшими значениями признака;

2) рассчитываем величину децилей по формулам, аналогичным формуле для нахождения медианы. Например, первая и девятая децили находятся по формулам:

где - начала интервалов, где находятся первая и девятая децили;

- величины интервалов, где находятся первая и девятая децили; - общая сумма частот (частостей); - суммы частот (частостей), накопленных в интервалах, предшествующих интервалам, в которых находятся первая и девятая децили.

Соотношение децильных доходов в социальной статистике получило название коэффициента децильной дифференциации доходов населения (К..)

2.2 Показатели размера и интенсивности вариации.

Для характеристики размера вариации в статистике применяются абсолютные показатели вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение и дисперсия.

Размах вариации (размах колебаний) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в совокупности:

Для группировок с открытыми первым и последним интервалами, когда неизвестны реальные минимальное и максимальное значения признака в совокупности, расчет размаха вариации некорректен.

Размах вариации зависит от величины только крайних значений признака. Более точно характеризуют вариацию признака показатели, основанные на учете колеблемости всех значений признака, - среднее линейное отклонение (d) и среднее квадратическое отклонение ( ).

Для сгруппированных данных они рассчитываются по формулам:

Квадрат среднего квадратического отклонения называется дисперсией

( ):

Рассчитать дисперсию можно также по преобразованной формуле:

где х - средний квадрат значений признака в совокупности:

х - квадрат среднего значения признака в совокупности.

Размах вариации, среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение являются величинами именованными, т. е. имеют ту же единицу измерения, что и изучаемый признак. Дисперсия единицы измерения не имеет.

Среднее квадратическое отклонение по величине всегда больше среднего линейного отклонения.

Для оценки интенсивности вариации, а также для сравнения ее величины в разных совокупностях или по разным признакам используют относительные показатели вариации, которые рассчитываются как отношение абсолютных показателей вариации к средней величине признака: относительный размах вариации (коэффициент осцилляции), относительное линейное отклонение и др.

Наиболее часто на практике принимают коэффициент вариации ( ), который представляет собой относительное квадратическое отклонение:

По величине коэффициент вариации можно судить об интенсивности вариации признака, а следовательно, и об однородности состава изучаемой совокупности. Чем больше величина коэффициента вариации, тем больше разброс значений признака вокруг средней, тем больше неоднородность совокупности. Существует шкала определения степени однородности совокупности в зависимости от значений коэффициента вариации.

Коэффициент вариации (%) Степень однородности совокупности

До 30 Однородная

30 - 60 Средняя

60 и более Неоднородная

Отметим, что приведенная выше шкала оценки однородности совокупности весьма условна. Вопрос о степени интенсивности вариации должен решаться для каждого изучаемого признака индивидуально исходя из сравнения наблюдаемой вариации с некоторой ее обычной интенсивностью, принимаемой за норму.

2.3 Оценка вариационного ряда на асимметрию и эксцесс.

Асимметрия и эксцесс являются важнейшими характеристиками формы распределения.

Ряды распределения могут иметь один и тот же центр группирования (показатели центра распределения) и одинаковые пределы варьирования признака (показатели вариации), однако при этом отличаться характером распределения единиц совокупности вокруг центра.

Для оценки степени асимметричности применяют моментный и структурный коэффициенты асимметрии.

Моментный коэффициент асимметрии (стандартизованный момент третьего порядка) определяется по формуле:

где М3 - центральный момент третьего порядка.

Степень существенности асимметрии можно оценить с помощью средней квадратической ошибки коэффициента асимметрии, которая зависит от объема изучаемой совокупности и рассчитывается по формуле:

Основной недостаток моментного коэффициента асимметрии заключается в том, что его величина зависит от наличия в совокупности резко выделяющихся единиц. Для таких совокупностей этот коэффициент малопригоден, поскольку его большая (абсолютная) величина будет объяснятся доминирующим вкладом в величину центрального момента третьего порядка нетипичных значений, а не асимметричностью распределения основной части единиц. В таких случаях рекомендуют либо исключить из анализа резко отличающиеся единицы, либо использовать структурные показатели асимметрии.

Структурные показатели (коэффициенты) асимметрии характеризуют асимметричность только в центральной части распределения, т. е. основной массы единицы, и в отличие от моментного коэффициента не зависят от крайних значений признака.

Наиболее часто применяют структурный коэффициент асимметрии, предложенный английским статистиком К. Пирсоном:

Другим свойством рядов распределения является эксцесс. Под эксцессом понимают островершинность или плосковершинность распределения по сравнению с нормальным распределением при той же силе вариации. Другими словами, эксцесс - это отклонение вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения. При этом эксцесс определяется только для симметричных и умеренно ассиметричных распределений.

Чаще всего на практике эксцесс оценивается с помощью следующего показателя:

где М4 - центральный момент четвертого порядка.

Формула эксцесс основана на отклонение от нормального распределения (в нормальном распределении отношение М4: =3).

Положительный эксцесс свидетельствует о том, что в совокупности есть слабоварьирующее по данному признаку "ядро", а в плосковершинных распределениях такого "ядра" нет и единицы рассеян по всем значениям признака более равномерно.

Чтобы оценить существенность эксцесса распределения, рассчитывают среднюю квадратическую ошибку эксцесса:

Правило сложения дисперсии. Для сгруппированной, т. е. разделенной на … групп, статистической совокупности возможно вычисление трех видов дисперсии: общей, внутригрупповых, межгрупповой.

Общая дисперсия (…) характеризует колеблемость признака во всей изучаемой совокупности и рассчитывается по несгруппированным данным по формуле:

где х.. - значение признака единицы в

Для оценки колеблемости признака внутри каждой -й группы вычисляют внутригрупповые дисперсии ( ):

где - среднее значение признака в

Обобщенную характеристику внутригрупповой колеблемости вокруг групповых средних дает средняя величина из внутригрупповых дисперсий:

Межгрупповая дисперсия ( ) показывает вариацию групповых средних вокруг средней величины признака в совокупности:

Между всеми указанными дисперсиями существует взаимосвязь, которая называется правилом сложения дисперсии - общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой дисперсии:

Логика этого правила такова: общая вариация признака в совокупности складывается из вариации признака внутри отдельных групп и вариации между группами.

3. Статистическое наблюдение.

В результате обобщения итогов выборочного бюджетного обследования населения города N - ска построен вариационный ряд, отражающий распределения жителей города по величине среднедушевого дохода.

Среднедушевой денежный доход в среднем за месяц, тыс. руб.	Число жителей	Накопленные частности (S)	Середина интервала	xf	xw
	Чел. (f)	В % к итогу
1	2	3	4	5	6	7
До 0,5	26	0,9	0,9	0,25	6,5	0,225
0,5 - 1,0	463	16,5	17,4	0,75	347,25	12,375
1,0 - 1,5	690	24,6	42,0	1,25	862,5	30,75
1,5 - 2,0	528	18,8	60,8	1,75	924,0	32,9
2,0 - 2,5	434	15,4	76,2	2,25	976,5	34,65
2,5 - 3,0	350	12,5	88,7	2,75	962,5	34,375
3,0 и более	318	11,3	100,0	3,25	1033,5	36,725
Итого	2809	100,0	-	-	5112,75	182,0



В рассматриваемом примере используется ряд с равными интервалами, величина которых 0,5 тыс. руб. Тогда условная нижняя граница первого интервала будет равна: 0,5 тыс. руб. - 0,5 тыс. руб. = 0, а середина - 0,25 тыс. руб., условная верхняя граница последнего интервала: 3,0 тыс. руб. + 0,5 тыс. руб. = 3,5 тыс. руб., а середина - 3,25 тыс. руб.

Расчет средней величины месячного среднедушевого денежного дохода:

х = = 5112,75/2809 = 1,82 тыс. руб.

Месячный среднедушевой доход составляет 1820 руб.

Можно при расчете средней величины в качестве весов использовать частости распределения (w). Величина средней от этого не меняется.

х = 182,0/100 = 1,82 тыс. руб.

Рассчитаем модальное значение признака:

Мо = 1,0 + 0,5*((24,6 - 16,5)/(24,6 - 16,5) + (24,6 - 18,8)) = 1,29 тыс. руб.

Таким образом, величина среднедушевого дохода составляет 1290 руб.

По данным таблицы находим интервал, сумма накопленных частот в котором превышает 50%. Это интервал от 1,5 до 2,0 тыс. руб. (S = 60,8%), он и является медианным.

Ме = 1,5 + 0,5 * ((0,5*(100 + 1) - 42,0)/18,8) = 1,72 тыс. руб.

Следовательно, половина жителей города в нашем примере имеет месячный среднедушевой доход меньше 1720 руб., а половина - больше этой суммы.

Расчет медианного значения по частостям распределения даст аналогичный результат:

Ме = 1,5 + 0,5* ((0,5*(2809 + 1) - 1179)/528) = 1,72 тыс. руб.,

где 1179 - сумма накопленных частот в домедианом интервале.

Соотношение х>Ме>Мо (1820 руб. > 1720 руб. > 1290 руб.), характерное для правосторонней асимметрии, что подтверждается графиками - гистограммой и полигоном распределения. Наличие правосторонней асимметрии свидетельствует о том, что большая часть жителей города имела месячный среднедушевой доход выше, чем его модальное значение

(1290 руб.).

Для нашего примера первая дециль попадает в интервал от 0,5 до 1,0 тыс. руб. (сумма накопленных в этом интервале составляет 17,4%, что превышает 10%), девятая дециль - в интервал от 3,0 тыс. руб. и более (в этом интервале находится 10% населения с наибольшими доходами). Найдем величину соответствующих децилей.

D1 = 0,5 + 0,5*((0,1*100 - 0,9)/(16,5)) = 0,776 тыс. руб.

Следовательно, максимальная величина месячного среднедушевого дохода у 10% наименее обеспеченных жителей составляла 776 руб.

D9 = 3,0 + 0,5*((0,9*100 - 88,7)/(11,3)) = 3,058 тыс. руб.

Минимальная величина месячного среднедушевого дохода у 10% наиболее обеспеченного населения города составляла 3058.

Коэффициент децильной дифференциации доходов населения:

КD = 3058/776 = 3,9.

Это означает, что минимальный месячный среднедушевой доход 10% наиболее обеспеченного населения превышал максимальный доход 10% наименее обеспеченного населения в 3,9 раза.

Определим среднее линейное, среднее квадратическое отклонение и дисперсии для распределения жителей города по величине месячного среднедушевого дохода.

Среднедушевой денежный доход в среднем за месяц, тыс. руб.	Число жителей, в % к итогу (fi)	Середина интервала (xi)	х - х (х=1,82)	х - х f	(х - х) f
До 0,5	0,9	0,25	1,57	1,413	2,218
0,5 - 1,0	16,5	0,75	1,07	17,655	18,891
1,0 - 1,5	24,6	1,25	0,57	14,022	7,993
1,5 - 2,0	18,8	1,75	0,07	1,316	0,092
2,0 - 2,5	15,4	2,25	0,43	6,622	2,847
2,5 - 3,0	12,5	2,75	0,93	11,625	10,811
3,0 и более	11,3	3,25	1,43	16,159	23,107
Итого	100,0	-	-	68,812	65,959

Среднее линейное отклонение:

d = 68,812/100 = 0,688 тыс. руб.;

Дисперсия:

= 65,959/100 = 0,660;

Среднее квадратическое отклонение:

= 0,660 = 0,812 тыс. руб.

Среднее линейное и среднее квадратическое отклонения показывают, на сколько в среднем величина месячного среднедушевого дохода жителей города отличалась от среднего дохода по городу. По формуле среднего линейного отклонения это отличие составляло + 688 руб., по формуле среднего квадратического отклонения + 812 руб.

Коэффициент составляет:

V = (812/1820)*100% = 44,6%,

что говорит о средней колеблемости признака и, следовательно, о средней однородности совокупности жителей города по величине среднедушевых доходов.

Список используемой литературы.

1. Салин В. Н., Чурилова Э. Ю., Шпаковская Е. П. - М.: КНОРУС, 2007г.

2. Статистика, под ред. В.И. Стражева. - Мн.: Выш. шк.,1999.

3. Ковалев В.В., Патров В.В. - М.: Финансы и статистика, 1998.

4. Баканов М.И., Шеремет А.Д. Теория экономического анализа. - Н.: Учебник Финансы и статистика, 1997.

5. Под ред. Бужинекого А.И., Шеремета А.Д. - М.: Финансы и статистика, 1998.

6. Елисеева Г. А., Статистика

7. Ковалев В.В. Финансовый анализ. Управление капиталом. Выбор инвестиций. Анализ отчетности. - М.: Финансы и статистика, 1996.