Статистические оценки параметров распределения

Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет признак. Возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение.

Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные выборки, полученные в результате n наблюдений (здесь и далее наблюдения предполагаются независимыми). Через эти данные и выражают оцениваемый параметр. Рассматривая значения количественного признака как независимые случайные величины, можно сказать, что найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения - это значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая и дает приближенное значение оцениваемого параметра.

Итак, статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин.

Для того чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям: оценка должна быть несмещенной, эффективной и состоятельной.

Несмещенной называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, т. е.

Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию.

При рассмотрении выборок большого объема (n велико) к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.

Рассмотрим точечные оценки параметров распределения, т.е. оценки, которые определяются одним числом , где - выборка.

1.1. Генеральная средняя

Пусть изучается генеральная совокупность относительно количественного признака Х.

Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

Если все значения признака различны, то

Если значения признака имеют частоты , где , то

1.2. Выборочная средняя

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика служит оценкой неизвестного параметра . Будем считать постоянным числом ( может быть и случайной величиной). Ясно, что тем точнее определяет параметр , чем меньше абсолютная величина разности . Другими словами, если и , то чем меньше д , тем оценка точнее.

Таким образом, положительное число д характеризует точность оценки.

Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка удовлетворяет неравенству ; можно лишь говорить о вероятности г, с которой это неравенство осуществляется.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки называют вероятность г, с которой осуществляется неравенство .

Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве г берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Пусть вероятность того, что, равна г:

Заменив неравенство равносильным ему двойным неравенством получим:

Это соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр , равна г.

Интервал называется доверительным интервалом, который покрывает неизвестный параметр с надежностью г.

2.1. Интервальные оценки параметров нормального распределения

2.1.1. Доверительный интервал для оценки математического ожидания при известном у

Пусть количественный признак генеральной совокупности распределен нормально. Известно среднее квадратическое отклонение этого распределения - у. Требуется оценить математическое ожидание а по выборочной средней. Найдем доверительный интервал, покрывающий а с надежностью г. Выборочную среднюю будем рассматривать как случайную величину ( изменяется от выборки к выборке), выборочные значения признака - как одинаково распределенные независимые СВ с математическим ожиданием каждой а и средним квадратическим отклонением г. Примем без доказательства, что если величина Х распределена нормально, то и выборочная средняя тоже распределена нормально с параметрами

Потребуем, чтобы выполнялось равенство

Пользуясь формулой

заменив Х на и у на , получим

где

Найдя из предыдущего равенства получим окончательную формулу:

Число t определяется из равенства по таблице функции Лапласа.

2.1.2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания при неизвестном у

По данным выборки можно построить случайную величину (ее возможные значения будем обозначать через t:

которая имеет распределение Стьюдента.

Плотность распределения Стьюдента

где

Поскольку - четная функция, можно записать двойное неравенство:

Доверительный интервал вычисляются по выборке; - табличная величина.

2.1.3. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения у нормального распределения

Требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение у по исправленной дисперсии s, т.е. найти доверительные интервалы, покрывающие параметр у с заданной надежностью г.

Потребуем выполнения соотношения

Преобразуем двойное неравенство

в равносильное неравенство

Положив , получим доверительный интервал:

Для отыскания q пользуются таблицей значений

2.2. Интервальная оценка вероятности (биноминального распределения) по относительной частоте

Сначала вычислим точечную оценку.

В качестве точечной оценки неизвестной вероятности р появления события А принимают относительную частоту

где m - число появлений события А, n - число испытаний.

Найдем дисперсию оценки, приняв во внимание, что

q - вероятность не появления события А.

Среднее квадратическое отклонение .

Интервальная оценка. Для биноминального распределения формулу можно записать в виде:

.

Потребуем выполнения этого соотношения с надежностью г.

Подставляя , получим

где Отсюда и, следовательно,

Случайную величину заменим неслучайной наблюдаемой относительной частотой и подставим вместо .

.

Решим это неравенство относительно . Возведем обе части неравенства в квадрат. Получим

Найдем корни трехчлена.

Меньший корень .

Больший корень .

Искомый доверительный интервал

Список литературы