Сущность понятия аксиома

АКСИОМА (греч. axioma), положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной убедительности; истинное исходное положение теории.

Статья выдающегося российского математика академика А. Н. Колмогорова «Аксиома» из Большой Советской Энциклопедии (второе издание, т. 1). Статья приведена с сохранением орфографии и пунктуации оригинала.

АКСИОМА -- отправное, исходное положение, лежащее в основе доказательств других положений (теорем) научной теории, которое в пределах этой научной теории не доказывается. Распространённое в старых учебниках формальной логики определение, по к-рому А. «не нуждаются в доказательстве в силу их очевидности», неудовлетворительно, т. к. требование «очевидности» имеет субъективный характер; к тому же среди теорем, доказываемых на основе А., часто встречаются предложения более очевидные, чем сами А. Аксиомы не являются непреложными и неизменными: они в процессе историч. развития знания подлежат проверке, уточнению на опыте и обоснованию. Поэтому характерный для многих течений идеалистич. философии взгляд на А. как на вечные, «априорные» истины, не связанные с опытом, -- ложен.

Полное выяснение роли и подлинного значения А. в науке сделалось возможным только с позиций диалектич. материализма. Диалектич. материализм доказал опытное происхождение всех А., как и всего человеческого знания вообще. По поводу происхождения аксиом Ленин писал: «практическая деятельность человека миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторению разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значение аксиом» (Ленин, Философские тетради, 1947, стр. 164). Вместе с тем диалектич. материализм доказал также относительный характер А., на каждой ступени историч. развития познания выражающих достигнутый предел приближения наших знаний к объективной, абсолютной истине.

Практика, включающая в себя производственно-технич. деятельность и эксперимент, служит критерием всякого истинного познания природы и, в частности, вопроса об истинности А.

Чёткое разграничение между А. и доказываемыми на их основе теоремами свойственно наукам, в к-рых преобладает дедуктивная система изложения, т. е. в первую очередь математике и в меньшей степени -- математич. естествознанию (механике, теоретич. физике).

Аксиомы геометрии. Первое представление о роли А. в построении дедуктивной научной теории проще всего получить из обычного школьного курса геометрии. Это соответствует историч. порядку развития науки, т. к. именно на примере геометрии древнегреч. математиками было впервые с известным приближением осуществлено строго логическое дедуктивное построение обширной науки на основе небольшого числа чётко сформулированных в самом начале исходных предложений. Создание логического курса геометрии, построенного на определённой системе А., было, несомненно делом нескольких поколений греч. математиков (известны упоминания о «Началах геометрии» Гиппократа Хиосского, жившего во 2-й пол. 5 в. до н. э., Э в д о к с а и нек-рых других авторов). Сохранилось и оказало решающее влияние на развитие математики в дальнейшие эпохи изложение геометрии, данное в «Началах» Эвклида (начало 3 в. до н. э.). С современной точки зрения аксиомами следует считать как предложения, к-рые сам Эвклид называл «общими понятиями», так и предложения, называемые у Эвклида «постулатами». Среди А., положенных Эвклидом в основу геометрии, некоторые относятся, по существу, к общему учению о величинах. Таковы А.: 1) «равные порознь третьему, равны между собой»; 2) «и если к равным придадим равные, то получим равные»; 3) «и если от равных отнимем равные, то получим равные».

Под названием «постулатов» Эвклид вводит следующие собственно геометрич. А.: 1) нужно потребовать, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию; 2) и чтобы каждую ограниченную прямую можно было продолжить неопределённо; 3) и чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом; 4) и чтобы все прямые углы были равны; 5) и чтобы всякий раз, как прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма к-рых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с к-рой эта сумма меньше двух прямых.

Эвклидовы А. геометрии много раз пересматривались и дополнялись, но всё же они являются прообразом систем А., с к-рых начинается большинство современных курсов элементарной геометрии. Например А., помещающаяся теперь обычно на первом месте: «Через любые две точки можно провести прямую линию и притом только одну», соответствует частью первым двум постулатам Эвклида, частью же А., добавленной в качестве девятой еще древними комментаторами Эвклида: «И две прямые не могут заключать пространства».

Со строго научной точки зрения не только А. (и постулаты) Эвклида, но и обычный для современных элементарных учебников набор А. геометрии нельзя признать вполне удовлетворительным. Как у Эвклида, так и в современных элементарных учебниках, дальнейшее изложение, помимо А. и правил логики, использует некоторые не высказываемые явно и не доказываемые дополнительные геометрические допущения. Свободное от этого недостатка изложение всей системы теорем эвклидовой геометрии было создано лишь на границе 19 и 20 вв. Оно обычно преподаётся в наших университетах и педагогич. институтах в виде особого курса под названием «Основания геометрии». Наиболее известное изложение оснований геометрии, созданное Гильбертом, опирается на двадцать А. Некоторые из них воспроизводят в изменённой и иногда уточнённой форме аксиомы Эвклида, нек-рые же другие отражают значительно возросшие современные требования логической строгости и показались бы греческим математикам не заслуживающими упоминания. Например Гильберт вводит специальную А., утверждающую, что «среди трёх точек прямой существует только одна, лежащая между двумя другими» (т. е. если А лежит между В та. С, то В не может лежать между А и С, а С не может лежать между А и В). Зато из системы аксиом Гидьберта всё здание эвклидовой (элементарной) геометрии действительно может быть выведено чисто логической дедукцией, без всякого добавления неявно подразумеваемых предположений и наглядно-геометрических представлений.

При любой системе построения геометрии А. должны быть выбраны так, чтобы из них чисто логическими средствами можно было вывести всю совокупность геометрич. теорем. Кроме того, обычно стремятся, чтобы среди них не было излишних для достижения этой цели и чтобы ни одна из А. не была следствием остальных (если это последнее требование выполнено, то говорят, что А. «независимы» друг от Друга).

Помимо указанных сейчас формально-логических требований, обычно при изложении элементарной геометрии стремятся к возможно большей наглядной «очевидности» А. Не менее существенным требованием является такой выбор А., при к-ром всё дальнейшее развитие теории делается наиболее последовательным и простым. Однако соблюдение всех этих требований не определяет еще выбора системы А. единственным образом. Особенно широко с давних пор изучались возможности замены пятого постулата Эвклида различными другими предложениями. Например, из этого постулата и из других обычных А. можно вывести, что: а) через точку А, лежащую вне прямой а, в соединяющей их плоскости можно провести только одну прямую, к-рая не пересекает а; б) сумма углов треугольника равна двум прямым; в) существует хотя бы один треугольник, сумма углов к-рого равна двум прямым; г) существуют два подобных, но не равных треугольника. Обратно, каждое из этих предложений (а--г) в соединении с другими обычными А. геометрии (не включая пятый постулат) даёт возможность вывести пятый постулат. Иначе говоря, если одно из этих предложений принять за А., то пятый постулат и остальные предложения (а--г) превратятся в доказуемые теоремы.

Решающее значение имеет лишь сама система геометрич. истин, вопрос же о том, какие из них следует принять за А. с тем, чтобы из них вывести все другие в качестве теорем,-- является второстепенным. Замечательна, тем не менее, сама возможность построить всё богатое содержанием здание эвклидовой геометрии на основе очень небольшого числа крайне элементарных исходных положений, действительно обладающих очень большой наглядной убедительностью и даже представляющихся нашему геометрич, воображению совершенно неизбежными.

Это обстоятельство еще у древнегреч. математиков и философов идеалистич. направления, особенно в школе Платона, использовалось для подтверждения идеалистич. представлений. По мнению Платона, непреложное убеждение в абсолютной истинности основных положений геометрии присуще человеческому разуму совершенно независимо от опыта. Более того, по Платону, мировой разум, вложивший в человека убеждение в истинности геометрич. законов, подчинил им же и материальные тела. Это идеалистическое измышление приняло у Лейбница форму учения о предустановленной гармонии между свойствами человеческого разума и свойствами материальных тел. Новый вариант идеалистич. теории внеопытного происхождения геометрич. А. был выдвинут Кантом. Для философии Канта убеждение во внеопытном происхождении и абсолютной достоверности А. эвклидовой геометрии является одним из основных исходных пунктов.

Однако реальное развитие науки опровергло идеалистич. учение об априорной истинности эвклидовой геометрии. В действительности А. эвклидовой геометрии, подобно основным положениям естествознания, установлены путём наблюдения и опыта. Их большая принудительность для нашего воображения (нашей геометрич. «интуиции») объясняется просто тем, что они являются продуктом чрезвычайно длительного повседневного опыта, ставшего уже бессознательным. Утверждением этого нового взгляда наука обязана прежде всего Н. И. Лобачевскому. До Лобачевского мнение об опытном происхождении А. геометрии, высказывавшееся в философской литературе, например, еще Фр. Бэконом, находилось в кажущемся противоречии с существованием одной единственной разработанной системы геометрии (эвклидовой). Лобачевским была создана новая, неэвклидова геометрия, система А. к-рой противоречит эвклидовой. Эта геометрия оказалась, тем не менее, логически состоятельной и математически весьма содержательной. Создание Лобачевским неэвклидовой геометрии нанесло сокрушительный удар по идеалистическим кантианским воззрениям на априорность геометрических А.

Следует ясно представлять себе, что опытным путём может быть установлена только приближённая, а не абсолютно точная применимость А. той или иной геометрии (эвклидовой или неэвклидовой -- безразлично) к действительным пространственным отношениям. За пределами точности доступных нам способов измерения те или иные утверждения о геометрических свойствах реальных тел могут быть только гипотезами. Это значит, что их отрицание не является бессмысленным, т. е. с чисто логической точки зрения мыслима не одна единственная геометрия, а много различных. Выбор между ними может быть сделан только на основе опыта; в силу же приближённости последнего этот выбор ни на каком этапе увеличения наших знаний не может привести к окончательной, раз навсегда данной, единственной абсолютно истинной системе геометрии. Таков окончательный взгляд на отношения, существующие между различными системами геометрии, разрабатываемыми в чистой математике, и опытным изучением реального физич. пространства, к-рый был введён в науку Лобачевским и получил своё полное философское обоснование в философии диалектич. материализма.

В настоящее время установлено, что «геометрий», в смысле абстрактных математич. схем, имеется много. Каждая из них может быть основана па своей системе А. Вопрос о том, какая из них лучше соответствует свойствам реального пространства, является вопросом не чистой математики, а физики. В каждой из этих «геометрий» выводы теорем из А. совершенно точны, но в применении к реальному пространству теоремы должны оправдываться, естественно, лишь с той степенью точности, к-рая соответствует точности осуществления в реальном пространстве А. Это положение не меняется тем обстоятельством, что в масштабах нашего обычного геометрич. опыта эвклидова геометрия, как уже говорилось, осуществляется с очень большой точностью.

О дальнейшем развитии геометрии как науки о различных эвклидовых и неэвклидовых «пространствах» различного числа измерений -- см. соответствующие разделы статьи Геометрия и других специальных геометрич. статей. Заметим только, что исследование этих абстрактных математических «пространств» вовсе не имеет своей единственной целью создание запаса гипотетических систем отражения свойств реального пространства. Практические применения современной геометрии чрезвычайно широки. Например состояние механической системы из n материальных точек изображается точкой фазового пространства системы, которое, вообще говоря, 6n-мерно (точка фазового пространства определяется 3n декартовыми координатами n материальных точек и 3n компонентами их скоростей), и т. п.

Аксиоматический метод в математике вообще. Возможность, исходя из различных систем А., построить различные «геометрии», многие из к-рых оказываются не только логически свободными от внутренних противоречий, но и допускают важные реальные применения, приводит нас вплотную к современному аксиоматическому методу в математике. Именно, с развитием математики всё более выяснялось, что система А. является по существу неявным определением свойств системы объектов, к-рые изучаются какой-либо математической дисциплиной. Особенно легко в этом убедиться на примере теории групп: т. н. аксиомы теории групп являются просто определением понятия группы. Подобно этому система А. теории действительных чисел может рассматриваться как определение системы действительных чисел. Ещё один простой пример представляют А., определяющие понятие величины.

Правда, таким неявным образом, при помощи А., система объектов, изучаемых математич. теорией, может быть определена лишь с точностью до изоморфизма. Но такое рассмотрение, при к-ром изоморфные системы объектов совершенно равноправны, вообще свойственно математике. Например, различные построения действительных чисел приводят, строго говоря, к различным системам объектов, лишь изоморфным друг другу (по Дедекинду действительное число есть сечение в системе рациональных чисел, по Кантору -- класс последовательностей рациональных чисел, и т. д.); но после того как построение осуществлено, любая из этих систем с одинаковым правом может быть положена в основу теории.

Система А., определяющая соответствующую систему объектов с точностью до изоморфизма, называется полной. Система А., к-рой вообще соответствует хотя бы одна система объектов, называется совместной. Вместе с указанным ранее понятием независимости, понятия полноты и совместности являются основными характеристиками системы А. Естественно, что положительный интерес могут иметь только совместные системы А. Требование независимости не столь безусловно: к ней естественно стремиться, но в тех случаях, когда достижение независимости возможно лишь за счёт больших усложнений, от неё иногда отказываются, особенно в изложении, рассчитанном на начинающих. Впрочем, хотя фактически построить для какой-либо теории систему из взаимно независимых А. мы не всегда умеем, можно доказать, что такая система А. существует: любая система А. эквивалентна некоторой системе А. взаимно независимых. Иначе дело обстоит с полнотой системы А.: система А., равносильная полной, всегда полна, а система, равносильная неполной,-- неполна. Одни математич. теории допускают полную систему А., а другие не допускают. Например, система А. теории групп принципиально неполна (потому что существуют не изоморфные группы); наоборот, всякая система А., определяющая систему действительных чисел или пригодная служить основой эвклидовое геометрии,-- полна.

Можно говорить лишь о системах А. отдельных математич теорий, а не о системе А. всей математики в целом. Математика в целом не может быть до конца аксиоматизирована, т. е. выведена из раз навсегда данной конечной системы А. Решающей причиной этого является всё более глубокое, никогда не останавливающееся изучение свойств объектов реального мира.

Изложенная выше общая концепция аксиоматического построения математич. теории не вызывает никаких сомнений в случае, когда рассматриваемые системы объектов конечны, как это имеет место, например, в теории конечных групп. Этот простой случай, однако, совсем не типичен для математики в целом: уже система всех натуральных чисел бесконечна, и, вообще, основное значение в математике имеет аксиоматич. изложение теорий, относящихся к бесконечным системам объектов. Хотя в свете философии диалектич. материализма несомненно, что сама возможность построения и изучения в математике бесконечных систем объектов (бесконечной системы чисел, геометрий с бесконечным числом точек, прямых и плоскостей) является лишь отражением в математике бесконечности действительного материального мира, вопрос о характере и так сказать, механизме этого отражения недостаточно разработан. Возникающие здесь трудности привели к тому, что весьма авторитетное в буржуазной науке течение формалистов (Гильберт) пришло к отрицанию за математич. теориями, относящимися к бесконечным системам объектов (т. е., собственно говоря, за всей классич. математикой), права на реальное предметное содержание. Вместо этого формалисты предлагают рассматривать такие теории как чисто формальные «символические исчисления». Ошибочные, ликвидаторские общие установки формалистов убедительно опровергаются повседневной практикой математич. работы, на к-рой их построения никак не отразились. На советских математиках лежит несомненная обязанность дать развёрнутое положительное материалистич. разрешение тех трудностей в понимании математического бесконечного, к-рые испугали формалистов. Далеко еще не достаточные достижения советских исследователей в этом направлении будут освещены в статье математика.

Что касается изучения строения математических теорий при помощи аппарата математической логики, то ему советскими математиками придаётся совершенно не связанный с формализмом положительный смысл. Принятое в математической логике другое, алгоритмическое понимание А., совместности, полноты системы аксиом и т. д. будет рассмотрено в статье логика математическая.

Аксиоматический метод за пределами математики. Делались попытки аксиоматического построения, по образцу геометрии, самых различных дисциплин, вплоть до этики включительно (Спиноза). Положительное значение аксиоматический метод изложения приобрел в механике и в теоретич. физике. Аксиоматическое построение статики восходит еще к Архимеду, всей классической механики -- к Ньютону. Классическим примером аксиоматического изложения раздела физики может служить термодинамика. На примере термодинамики можно с особенной убедительностью обнаружить, что аксиоматическое построение физич. теории вовсе не является её завершением: формальная термодинамика, отвлекающаяся от молекулярного строения материи, при всей её формальной законченности, получает более глубокое обоснование в кинетической теории материи.

Особенно велико значение аксиоматич. метода в случае необходимости сравнения двух или многих различных концепций какой-либо большой области математич. естествознания. Например при сопоставлении классической и релятивистской механики положение логически сходно с сопоставлением эвклидовой геометрии и неэвклидовой геометрии Лобачевского. И там, и здесь важно убедиться во внутренней непротиворечивости каждой из сравниваемых систем, развить каждую из них строго логически из небольшого числа исходных предложений и исследовать, не упущены ли при этом ещё какие-либо дальнейшие мыслимые варианты теории.

В отношении к А. механики, подобно аксиомам геометрии, до возникновения теории относительности существовало метафизич. представление об их априорной абсолютной достоверности и общеобязательности. Возникновение теории относительности с её новой механикой положило конец идеалистич. концепции априорной достоверности принципов классич. механики -- концепции, к-рая не выдвигалась в философской литературе так настойчиво, как соответствующая априористическая концепция происхождения А. эвклидовой геометрии, но, по существу, руководила многими учёными на более ранних этапах развития механики.

Лит.:

1. Наиболее доступная литература по современной форме аксиоматики различных областей математик и. Теория чисел -- Арнольд И.В., Теоретическая арифметика, 2 изд, М., 1939;

2. Алгебра, векторы-Александров П. С., Введение в теорию групп, М., 1938;

3. Курош А. Г., Курс высшей алгебры, М.--Л., 1946;

4. Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, М.--Л-, 1948;

5. Геометрия -- Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 2 изд., М.--Л., 1949;

6. Теория вероятностей -- Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, М.--Л., 1936.

7. Развитие аксиоматики геометрии -- Начала Евклида, пер. с греч. и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского, М.--Л, 1948;

8. Каган В. F, Основания геометрии, т. 1--2, Одесса, 1905--07; Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем. (с вводной статьёй П. К. Рашевского), М.--Л., 1948.

9. Философское освещение роли аксиоматики в различных областях математики -- Сборник статей по философии математики, под ред. С. А. Яновской, М., 1936;

10. Яновская С. А., Основания математики и математическая логика, в кн. Математика в СССР за тридцать лет, 1917--1947, под ред. А. Г Куроша [и др.], М.--Л., 1948.

11. Об аксиоматике в смысле формальной математической логики -- Гильберт Д. и Аккерман Д., Основы теоретической логики (со вступительной статьёй и комментариями С. А. Яновской), Москва, 1947.