Зображення фігур у стереометрії

Зображення фігур у стереометрії

При вивченні питання про зображення фігур у стереометрії основну увагу зосередимо на зображенні плоских фігур. І це зрозуміло, оскільки, дивлячись на реальне фізичне тіло (будинок, модель куба, книжку та ін.), ми бачимо оболонку, яка у багатьох випадках складається з плос-ких частин. На рисунках чи на технічних кресленнях прагнуть зобрази-ти поверхню тіла, а наш життєвий досвід дає змогу за деталями поверх-ні (часто спотвореними) побачити тіло в цілому.

Оскільки основна плоска фігура -- це трикутник, з'ясуємо, яка фігура може бути зображенням трикутника. Це дасть змогу відповісти на пи-тання про зображення інших многокутників, відомих з планіметрії. Крім того, тут мова йтиме і про зображення найпростіших просторових фігур.

Спочатку треба уточнити зміст поняття «зображення». Розуміти під зображенням фігури безпосередньо її паралельну проекцію незручно. Фігуру великих розмірів просто неможливо спроектувати на невеликий аркуш паперу. Тобто паралельну проекцію доцільно пропорційно змен-шити (або збільшити).

Зображенням просторової фігури називається фігура, яка подіб-на паралельній проекції даної фігури на площину.

Зазначимо, що в означенні не фіксується ні площина проекцій, ні нап-рям проектування. Це і зрозуміло, оскільки можна обирати зручну для нас позицію, щоб оглядати фігуру.

Тепер відповімо на запитання: яка фігура може бути зображенням трикутника? Випадок, коли трикутник чи інша плоска фігура лежить у площині, через яку проходять проектуючі прямі, виключаємо. У цьому разі фігура проектується на пряму. Наприклад, проекцією многокутника є відрізок.

Теорема 1. Кожен трикутник може бути зображенням даного трикутника.

Справді, нехай дано довільні трикутники ABC і KMN. Виберемо площину проекцій а так, щоб вона перетинала площину трикутника ABC по прямій АС. Нам треба вибрати напрям проектування так, щоб проекцією трикутника ABC на площину а був трикутник, подіб-ний трикутнику KMN.

Для цього побудуємо у площині а трикутник АСЕ, подібний трикут-нику KMN з коефіцієнтом подібності ---- Тоді пряма BE задає потріб-

ний напрям проектування. Оскільки трикутник АСЕ є паралельною проекцією трикутника ABC, а трикутники АСЕ і KMN подібні, то трикутник KMN є зображенням трикутника ABC. Ш

Ця теорема відкриває широкі мож-ливості для вибору зображення даного трикутника, хоч зображення із влас-тивостями, яких не має оригінал, неба-жане. Наприклад, недоцільно зображати довільний трикутник як прямокутний.

Переходячи до зображень інших многокутників, зауважимо, що для них, як правило, теореми, аналогічні теоремі 1, не справджуються, хоча окремі властивості не змінюються при їх зображеннях. Перш за все мо-ва йтиме про паралельність сторін (чому?). У зв'язку з цим наведемо ще одну важливу теорему.

Теорема 2. Кожен паралелограм може бути зображенням даного паралелограма.

Доведення цієї теореми неважко звести до теореми 1, розбивши па-ралелограми діагоналями на трикутники. (Доведіть самостійно.)

У теоремі 2 не можна паралелограм замінити трапецією. Це пов'яза-но з тим, що у трапецій можуть бути різні відношення довжин паралель-них сторін.

Приклад 1. Побудувати зображення правильного шестикутника.

О Розглянемо правильний шестикутник ABCDEF (рис. 160). Він має властивості, які, повинні зберігатись у його зображеннях. Сторони шестикутника попарно паралель-ні (АВ // ED, BC // EF, CD // AF). Він має центр симетрії О, відрізки, що сполучають точку О з вершинами шестикутника, рівні між собою і дорівнюють його стороні. Те* пер неважко помітити, що досить побудувати зображення паралелограма (навіть ромба) АВСО, а потім добудувати його до зображення всього шестикутника.

Нехай паралелограм A₁B₁C₁O₁ є зображенням паралелограма АВСО (рис. 161). Продовживши Л₁О₁ і С₁О₁ за точку О₁ так, щоб O₁D₁= А₁О₁, О₁F₁ = С₁О₁ , побудуємо паралелограм F₁O₁D₁E₁ . По суті, побудовано паралелограм, центрально-симетрич-ний паралелограму А₁В₁С₁О₁ відносно його вершини О₁.

Сполучивши точки A₁ і F₁, C₁ і D₁)j, дістанемо зображення правильного шести кутника

Навчившись зображати деякі плоскі фігури, розміщені у просторі, доцільно приступити до зображень найпростіших просторових фігур.

Деяке уявлення про паралелепіпед, піраміду ми маємо, оскільки зна-йомі з їх моделями, фізичними образами. Для роботи з ними в геометрії слід мати більш формальні математичні означення.

Паралелепіпед. У даній площині а побудуємо паралелограм ABCD і через всі його вершини проведемо паралельні прямі, які перетинають площину а (рис. 162). На цих прямих по один бік від площини а від-кладемо відрізки AA₁ ВВ₁, СС₁, DD₁ однакової довжини. Неважко довес-ти, що точки Л₁, В₁, C₁, D_l лежать в одній площині і є вершинами пара-лелограма A₁B₁C₁D₁. Справді, оскільки AA₁D_XD , ABCD і ВВ₁С -- па-ралелограми, то A₁D₁ || AD, AD \\ BC, BC \\ B₁C₁ і згідно з транзитивніс-тю відношення паралельності прямих A₁D₁ \\ В₁С₁. Це, зокрема, дає нам змогу стверджувати, що точки А₁, В₁, С₁, D₁ лежать в одній площині.

Аналогічно маємо, що А₁В₁ \\ D₁C₁, тобто чотирикутник A₁B₁C₁D₁ є

паралелограмом.

Сукупність усіх точок відрізків, що сполучають точки паралело-грамів ABCD і A₁B₁C₁D₁, утворюють фігуру, яку називають парале-лепіпедом (рис. 163). Зображення виконано, як і на рис. 162, тільки з урахуванням того, що паралелепіпед «заповнений» точками і деякі лінії невидимі для спостерігача. Як і в кресленні, їх зображають штриховою лінією.

Таким чином, паралелепіпед являє собою сукупність точок простору, яка обмежена шістьма паралелограмами -- гранями паралелепіпеда.

Вершини цих паралелограмів називають вершинами паралелепіпеда, а їхні сторони -- ребрами паралелепіпеда. У паралелепіпеда вісім вер-шин і дванадцять ребер. Позначають паралелепіпед за його вершинами: ABCDA₁B₁C₁D₁.

Дві грані паралелепіпеда, що мають спільне ребро, називаються су-міжними, а ті, що не мають спільних ребер, -- протилежними. Дві вершини, які не належать до однієї грані, називаються протилежними. Відрізок, що сполучає протилежні вершини, називається діагоналлю паралелепіпеда.

Паралелепіпед, всі грані якого є прямокутниками, називається пря-мокутним паралелепіпедом, а якщо всі грані паралелепіпеда є квадра-тами, то його називають кубом.

Зображення прямокутного паралелепіпеда, куба нічим не відрізняють-ся від зображень довільного паралелепіпеда, бо зображеннями квадратів та прямокутників можуть бути довільні паралелограми. Найчастіше куб зображають так, як це зроблено на рис. 164, а. На рис. 164, б-г також дано зображення куба. Однак вони не так гармонічно задовольняють ви-моги до зображень, як на рис. 164, а. На рис. 164, б, в зображення прос-ті й правильні, тобто виконані за законами паралельного проектування. Проте вони не відрізняються наочністю. Сказане не означає, що у де-яких випадках нам не знадобиться кожне з наведених зображень, на-приклад на рис. 164, в.

Забезпечення наочності зображень вимагає вдалого розміщення пло-щин проекцій і вибору напряму проектування.

Піраміда. Найпростішу піраміду розглянуто в п. 1.2. Це був тетра-едр (рис. 145).

Візьмемо в площині а чотирикутник ABCD, a також точку S поза площиною а. Сполучимо точку 5 з усіма точками чотирикутника ABCD (рис. 165).

Сукупність усіх точок відрізків, які сполучають точку S з точками чо-тирикутника ABCD, утворює фігуру, яка називається чотирикутною піра-мідою. Точка S називається вершиною піраміди, чотирикутник ABCD -- основою, а трикутники SAB, SBC, SCD, SDA -- бічними гранями пі-раміди. Найчастіше чотирикутну піраміду зображають, як на рис. 166.

Аналогічно будують піраміди, основами яких є многокутники з довіль-ним числом сторін. Докладніше про це йтиметься у наступних розділах.

Для вивчення просторових фігур доцільно розглядати перетин цих фігур з площинами. Такі перетини називаються перерізами, якщо по обидві сторони від площини є точки фігури.

Неважко впевнитись, що перерізами паралелепіпеда чи піраміди є мно-гокутники. Справді, з аксіоми С₃ випливає, що перетином січної площи-ни і грані фігури є відрізок. (Доведіть це самостійно.)

Таким чином, при перетині даних фігур з площиною дістанемо фігуру на площині, обмежену відрізками, тобто многокутник.

Приклад 2. Дано куб ABCDA_lB₁C_jD_i . Побудувати переріз куба площиною, що проходить через середини ребер AA₁, BB₁, DD₁ .

Позначимо середини ребер АА₁, ВВ₁, СС₁, DD_l відповідно через А₂, В₂, С₂, D₂ (рис. 167). Зображення цих точок лежать на середині зображень відповідних відріз-ків (чому?). Січна площина повинна проходити через точки А₂, В₂, D₂ Оскільки всі грані куба -- квадрати, то відрізок А₂В₂ , який проходить через середини протилеж-них сторін квадрата АА₁В₁В , дорівнює стороні квадрата АВ (або ж ребру куба) і паралельний цій стороні.

Аналогічно D₂C₂ || DC і D₂C₂ = DC. Оскільки і АВ \\ DC, то згідно з транзитивністю відношення паралельності А₂В₂ \\ D₂C₂. Через паралельні прямі А₂В₂, D₂C₂ проходить єдина площина. У цій площині лежать точки А₂, В₂, D₂ , тому дана площина є шуканою січною. Січна площина перетинає грані куба по рівних відрізках А₂В₂, В₂С₂, C₂D₂ і D₂A₂ . Отже, чотирикутник A₂B₂C₂D₂ , що є шуканим пере-різом, -- це ромб. Неважко помітити, що діагоналі B₂D₂ і А₂С₂ цього ромба рівні між собою. Тобто чотирикутник A₂B₂C₂D₂ -- квадрат. Ми не тільки побудували переріз, а й знайшли його форму, щ

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1. Якою фігурою є зображення: а) відрізка; б) трикутника; в) трапеції; г) паралелограма; д) л-кутника?

Чи можна правильний трикутник вважати зображенням: а) тупокутного трикутника; б) прямокутного трикутника?

Чи можна паралелограм вважати зображенням: а) квадрата; б) ромба; в) прямокутника?

Чи може трапеція бути зображенням паралелограма?

Чи може трикутник бути зображенням плоского чотирикутника

Чи можна кут зобразити так, щоб усі його ребра були видимі.'¹

Чи може перерізом куба бути: а) трикутник; б) правильний трикутник, сторона якого дорівнює ребру куба; в) квадрат; г) п'ятикутник; д) семикутник?

Із означення ще не випливає наявність паралельних прямих і пло-щин. Тут, звичайно, реальні ілюстрації не допоможуть, ми не маємо мо-делей нескінченних прямих і площин.

Корисно знати ознаку паралельності прямої і площини, яку можна перевірити.

Ознака, що міститься у наступній теоремі, зводить паралельність прямої і площини до паралельності прямих.

Теорема 1. Якщо пряма, що не лежить у даній площині, пара-лельна деякій прямій площини, то вона паралельна самій площині.

О Нехай пряма а не лежить у площині а і паралельна прямій b цієї площини. Припустимо супротивне, а саме: пряма а перетинає площину а (лежати в площині вона не може за умовою). Тоді паралельна їй пря-ма b теж повинна перетинати площину а. Однак вона лежить у площині а. Ця суперечність і доводить, що а \\ а.

Паралельність прямої і площини

У попередніх пунктах було розглянуто відношення паралельності прямих простору та його застосування. Не менш важливим як з теоре-тичного, так і з практичного погляду є відношення паралельності між прямими і площинами.

Навколо себе ми бачимо безліч прикладів, які ілюструють взаємне розміщення прямих і площин. Наприклад, взаємне розміщення стін, сте-лі, підлоги в кімнаті та ліній перетину їх, футбольних воріт і поверхні землі, ручки і аркуша паперу тощо. Аналіз випадків взаємного розмі-щення прямої і площини з позицій наявності у них спільних точок дає такі варіанти розміщень.

Пряма і площина мають принаймні дві спільні точки. Тоді згідно з
аксіомою С₂ пряма належить площині.

Пряма і площина мають єдину спільну точку, як, наприклад, пло-
щина проекцій і пряма, що визначає напрям проектування. Можливість
такого розміщення прямих і площин забезпечується тим, що поза пло-
щиною є точки простору. Довільна точка на площині і точка поза пло-
щиною визначають пряму, що має з площиною одну спільну точку, тоб-
то перетинає її.

ЗА Пряма і площина не мають спільних точок. У цьому разі їх нази-вають паралельними.

Пряма і площина, які не мають спільних точок, називаються паралельними.

Позначають паралельність прямої а і площини а звичним символом: а || а.

Доведена ознака паралельності прямої і площини дає змогу впевни-тися в існуванні паралельних прямих і площин.

Приклад. Через дану точку М, що не лежить у площині а, провести пряму, па-ралельну а.

Q Візьмемо в площині а довільну пряму /. Пряма / і точка М визначають деяку площину (3. Проведемо у площині р пряму а, паралельну прямій / (рис. 168). Згідно з теоремою І пряма а і площина а паралельні.

Зауважимо, що через точку М, що лежить поза площиною а, мож-на провести нескінченну кількість прямих, паралельних даній пло-щині. Це випливає, наприклад, з довільності вибору прямої / в при-кладі І.

До речі, для довільної прямої а, паралельної площині а, існує нескін-ченна кількість прямих у площині а, які паралельні а. (Доведіть це са-мостійно.)

Далі під паралельністю відрізка, променя площині, відрізка, променя многокутнику тощо розумітимемо паралельність відповідних прямих і площин.

Важливість відношення паралельності прямих пов'язана з тим, що при заміні прямої на паралельну їй пряму зберігається багато геометричних відношень і величин. Наприклад, зберігається кутова міра кутів з однаково напрямленими сторонами.

Нехай дано такі два кути АОВ і A₁ O₁ B₁, що промінь ОА напрямле-ний, як і промінь О₁А₁, а промінь О В -- як промінь О₁В_Х. Такі кути називаються кутами з однаково напрямленими сторонами. У цьому означенні поняття однакової напрямленості у просторі аналогічне понят-тю однакової напрямленості у площині. А саме: два промені ОА і O₁A₁, які не лежать на одній прямій, у просторі однаково напрямлені, якщо вони паралельні і належать одній півплощині з границею ОО_І . Два про-мені, які лежать на одній прямій, однаково напрямлені, якщо один із них цілком належить другому.

Теорема 2. Кути з однаково напрямленими сторонами рівні. ? Проведемо через сторони кута АОВ площину а. Якщо кут А₁О₁В₁ має з кутом АОВ однаково напрямлені сторони, то можливі лише два випадки: прямі О₁А₁ і О_ІВ₁ не мають спільних точок з площиною а або ж вони обидві лежать у площині а. Справді, паралельні прямі О₁А₁ і О₁В₁ не можуть перетинати площину а, оскільки вони паралельні прямим ОА і GB (теорема 1).

Розглянемо перший випадок (рис. 169). Нехай ОА = О₁А₁, ОВ = О₁В₁. Тоді чотирикутник ОАА₁О₁ -- паралелограм (він лежить у площині, яка визначається паралельними прямими О А і О₁А₁ і має рівні протилежні сто-рони). Аналогічно чотирикутник О₁В₁ВО також є паралелограмом. Оскіль-ки АА₁ Н ОО₁ і ОО₁ || ВВ₁ і АА₁ = ВВ₁ , то чотирикутник АА₁В₁В -- паралелограм і АВ = А₁В₁ . Трикутники АОВ і А₁О₁В_Х є рівними за трьома сторонами, а тому рівними між собою є кути АОВ і А₁О₁В₁ .

У другому випадку маємо одну площину а. Якщо сторони кутів не лежать на одній прямій, то доведення аналогічне наведеному вище (рис. 170). Якщо ж сторони кутів (наприклад, ОА і О₁А₁) лежать на одній прямій (рис. 171), то треба скористатися властивістю кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих третьою.

Нехай дано дві пари прямих а₁, а₂ і b₁, b₂, що перетинаються, і я, \\Ь_Х . а<-,|!^2- Прямі Я), (Зо утворюють чотири кути, які попарно рівні і їм від-повідають чотири кути з однаково напрямленими сторонами, утворені прямими Ь_х і b₂ Кутом між прямими, що перетинаються, називаєть-ся величина найменшого з кутів, утворених, цими прямими. З теоре-ми 2 безпосередньо випливає, що кут між прямими а_{ і а₂ дорівнює куту між прямими 6| і і»2 - Отже, має місце твердження:

, якщо дві прямі, які перетинаються, відповідно паралельні двом прямим, що перетинаються, то кути між цими парами прямих рівні.

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

Чи можуть пряма і площина мати рівно три спільні точки?

Чи може площина, що проходить через середини двох сторін трикутника, пе-ретинати його третю сторону?

Відомо, що пряма паралельна площині. Чи існують у площині прямі, не пара-лельні даній прямій?

Чи може пряма бути паралельною двом прямим, що перетинаються?

Пряма а мимобіжна з деякою прямою, що лежить у даній площині а. Чи може пряма а бути паралельною площині а?

У площині а лежить тільки одна сторона трапеції. Чи вірно, що одна зі сторін трапеції паралельна площині ос?

Як можуть бути розміщені сторони кута відносно площини, що містить кут, сторони якого однаково напрямлені із сторонами даного кута?

Аналогічно будується пряма Ь, паралельна прямій й. Прямі а і Ь, що перетинаються, визначають однозначно площину а (теорема 2 п. 1.1). Згідно з доведеною озна-кою а Ц р.

Природно, виникає питання про однозначність наведеної у поперед-ньому прикладі побудови. Оскільки нам доведеться не раз скористатися цією однозначністю, то виділимо це твердження як окрему теорему. Проте спершу розглянемо інше твердження.

Теорема 2. Якщо дві паралельні площини перетинаються тре-тьою площиною, то лінії перетину паралельні.

Нехай дано паралельні площини а, р і площину у, що їх перетинає (рис. 175). Позначимо лінії перетину через а і Ь. Ці прямі лежать у площині у і не перетинаються, оскільки площини а і р не мають спіль-них точок. Тому прямі а і Ь паралельні.

Теорема 3. Через точку, розміщену поза даною площиною, мож-на провести єдину площину, паралельну даній.

? Побудову такої площини виконано у прикладі 1. Однозначність побудови доведемо методом від супротивного. Припустимо, що через точку М проведено дві різні площини а і у, паралельні площині Р (рис. 176), і пряма т -- лінія перетину їх. Проведемо через точку М площину 5, яка перетинається з прямою т і площиною Р (як це мож-на зробити?). Позначимо через а і b лінії перетину площини 5 з пло-щинами а і у, а через с -- лінію перетину площин 8 і Р (рис. 176). Згідно з теоремою 2 а \\ с і Ь \\ с. Тобто в площині 5 через точку М проходять дві прямі, паралельні прямій с. Суперечність свідчить про неправильність припущення.

Приклад 2. Довести, що коли пряма а перетинає площину а, то вона перетинає також кожну площину, паралельну площині а.

О Нехай площини а і Р паралельні, а пряма а перетинає площину а в точці А. Доведемо, що вона перетинає і площину р. Припустимо, що це не так. Тоді пряма а паралельна площині р. Проведемо площину у через пряму а і довільну точку площи-ни Р (рис. 177).

Ця площина перетинає паралельні площини а і р по прямих Ь і с. Згідно з теоре-мою 1 Ь || с. Тобто в площині у через точку А проходять дві прямі а і Ь, паралельні прямій с. Ця суперечність і доводить теорему.

Спробуйте довести самостійно, що коли площина а перетинає площину р, то во-на перетинає також кожну площину, паралельну площині р.

Теорема 4. Відрізки паралельних пря-мих, що містяться між паралельними пло-щинами, рівні між собою.

Нехай дано дві паралельні площини а і Р і відрізки АВ і CD паралельних прямих а і d, які містяться між цими площинами (рис. 178). Проведемо через прямі а і d площину. Вона перетинає площини а і р по прямих АС і BD, які згідно з теоремою 2 паралельні. Тому чотирикутник ABCD -- паралелограм, його протилежні сторони АВ і CD рівні.

Теорема 5. Якщо кожна з двох площин паралельна третій, то дані дві площини паралельні між собою.

Q Нехай площини а і Р паралельні площині у. Припустимо, що а і Р непаралельні. Тоді площини а і Р мають спільну точку. І через цю точку проходять дві різні площини, паралельні площині у, що суперечить тео-ремі 3. Тому площини а і р не мають спільних точок, тобто вони пара-лельні.

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1. Площина, в якій міститься трикутник ABC, паралельна площині а. Як розміщені сторони трикутника відносно площини а?

Чи вірно, що дві площини, паралельні одній і тій самій прямій, паралельні між собою?

У площині а як завгодно багато прямих, паралельних площині р. Чи вірно, що а Ц р?

Два паралелограми лежать у різних площинах і мають дві пари відповідно паралельних сторін. Чи паралельні площини, в яких лежать паралелограми?

Лінії перетину площин (х і р площиною у паралельні між собою Чи паралельні площини u і р?

Дерев'яний куб розпиляли на дві частини (з верхньої основи до нижньої). Яку фігуру дістали в перерізі?