Сущность и структура решения математических задач

10

Реферат

Сущность и структура решения математических задач

Сулеина Нина Николаевна

Сущность и структура решения математических задач.

Умение решать задачи является одним из основных показателей математического развития ученика, глубины освоения им учебного материала. Поэтому любой экзамен, любая проверка знаний содержит в качестве основной и, пожалуй, наиболее трудной части решение задач.

Психологические исследования проблемы обучения решению задач показывают, что основные причины несформированности у учащихся общих умений и способностей в решении задач состоят в том, что школьникам не дают необходимые знания о сущности задач и их решений, а поэтому они решают задачи, не осознавая данным образом свою собственную деятельность.

У учащихся не вырабатываются отдельные умения и навыки в действиях, входящих в общую деятельность по решению задач, и поэтому им приходится осваивать эти действия в самом процессе решения задач, что многим школьникам не под силу.

Не стимулируется постоянный анализ учащимися своей деятельности по решению задач и выделению в них общих подходов и методов, их теоретического осмысления и обоснования.

В чём причина такого положения?

Причин, конечно, много. И одной из них является то, что одни ученики вникают в процесс решения задач, стараются понять, в чём состоят приёмы и методы решения задач, изучают задачу. Другие же, к сожалению, не задумываются над этим, стараются как можно быстрее решить заданные задачи, задачи решаются лишь ради получения ответа.

Очевидно, что на таких отношениях не могут возникнуть сознательные и прочные умения решения задач.

А можно ли научиться решать любые задачи?

Конечно, любые задачи научиться решать невозможно, ибо, как бы вы хорошо ни научились их решать, всегда встретится такая задача, которую вы не сможете решить.

Ведь учёные-математики тратят всю жизнь на то, чтобы найти решение некоторых задач.

В математике известны такие задачи, которые учёные уже много лет решают и не могут решить.

Но если говорить о школьных задачах или о задачах, которые предлагают на экзаменах, то каждый (!) ученик в принципе может научиться их решать.

Для того чтобы научиться решать задачи надо научиться такому подходу к задаче, при котором задача выступает как объект тщательного изучения, а её решение - как объект конструирования и изобретения.

Значит, для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задачи.

То же такое задача?

Любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче.

Отсюда следует, что, приступая к решению задачи необходимо произвести её анализ.

Первое, что нужно сделать при анализе задачи, - это расчленить формулировку задачи на отдельные элементарные условия и требования.

Анализ задач, вычисление условий и требований можно производить с разной глубиной. Глубина анализа зависит главным образом от того, знаком ли ученик с видом задач, к которому принадлежит заданная, и знаком ли с общим способом решения этих задач.

Отсюда следует: умение анализировать задачу, проникать в её сущность - главное в общем, умении решения задач.

Может возникнуть вопрос: нужен ли такой анализ для решения задачи? Ведь, обычно, ученик, решая задачу, не производит такой анализ. Обычно такой анализ производится устно, по ходу решения задачи и, притом этот анализ большей частью не осознается.

Но если предложить ученику фиксировать ход мыслей, то вы сможете убедить его в том, что им произведён анализ.

В дальнейшем ученики могут производить анализ, свернуто, не полностью, в той мере, в какой нуждается индивидуально каждый ученик, для решения той или иной задачи.

Производя анализ задачи, вычленяя из формулировки задачи её условия, необходимо соотносить этот анализ с требованием задачи (как бы оглядываться на требование).

Вывод: анализ задачи всегда направлен на требование задачи.

Результаты предварительного анализа задачи надо зафиксировать. Надо найти более удобную, более компактную и в то же время достаточно наглядную форму записи результатов анализов задач.

Схематическая запись задачи является именно такой формой.

Но такую запись надо делать не всякой задаче.

Для задач, которые записаны на символическом языке (с помощью общепринятых обозначений и символов), схематическая запись не требуется.

Первой отличительной особенностью схематической записи задач является широкое использование в ней разного рода обозначений, символов, букв, рисунков, чертежей. Второй особенностью является то, что в ней чётко выделены все условия и требования задачи, а в записи каждого условия указаны объекты и их характеристики, наконец, в схематической записи фиксируется лишь только то, что необходимо для решения, все другие подробности опускаются. На практике используется много разных видов схематической записи задач.

Часто удобно составлять схематическую запись не для всей задачи, а лишь для какой-либо её части, чтобы более наглядно представлять описываемую в задаче ситуацию, а также, чтобы в решении оперировать теми обозначениями, которые вводятся в этой частичной схематической записи.

Для схематической записи геометрических и некоторых других задач полезно использовать чертёж той фигуры, которая рассматривается в задаче. При построении такого чертежа надо выполнять ряд требований:

- Чертёж должен представлять собой схематический рисунок основного объекта задачи (геометрическая фигура, или совокупность фигур, или какой-то части этих фигур). С обозначением с помощью букв и других знаков всех элементов фигуры и некоторых характеристик. Если в тексте задачи указаны какие-либо обозначения фигуры или её элементов, то эти обозначения должны быть и на чертеже. Если же в задаче никаких обозначений нет, то следует воспользоваться общепринятыми обозначениями или придумать наиболее удобные обозначения.

- Этот чертёж должен соответствовать задаче, Это означает, что если в задаче в качестве основного объекта назван, например, треугольник и при этом не указан его вид, то надо построить какой-нибудь разносторонний треугольник. Или если в задаче в качестве основного объекта названа трапеция и не указан её вид, то не следует строить равнобедренную, или прямоугольную трапецию.

- При построении чертежа нет необходимости выдерживать строго какой-либо определённый масштаб, Однако желательно соблюдать какие-то пропорции в построении отдельных элементов фигуры. Например, по условию сторона АВ треугольника АВС наибольшая, то это должно быть соблюдено на чертеже. Или же если задана медиана треугольника, то соответствующий ей отрезок должен проходить приблизительно через середину стороны треугольника.

Точно также нужно соблюдать на чертеже такие отношения, как параллельность, перпендикулярность и другие, заданные в задаче.

- При построении чертежей пространственных фигур необходимо соблюдать все правила черчения. Там, где это можно и целесообразно, лучше строить какие-либо плоскостные сечения этих фигур.

Кроме чертежа, для схематической записи геометрических фигур используется еще краткая запись всех условий и требований задачи. В этой краткой записи, пользуясь понятными на чертеже обозначениями, записываются все характеристики и отношения, указанные в условии задачи. Название фигур или отдельных её частей желательно заменять записью их определений. Например, вместо того, чтобы писать: ABCD - трапеция, можно писать: AB¦CD. В краткой записи можно использовать, там, где это целесообразно, стандартные математические знаки (принадлежности элемента к множеству, параллельности, перпендикулярности и т.д.).

Конечно, все приведённые рекомендации имеют не всеобщий характер.

Практические и математические задачи.

Задачи, которые решаются в школе различаются, в первую очередь, характером своих объектов.

В одних задачах объектами являются реальные предметы, в других - все объекты математические (числа, геометрические фигуры, функции).

Практическим называются задачи, в которых есть хотя бы один реальный предмет, называются (житейскими, текстовыми, сюжетными).

Математическими называются задачи, в которых все объекты математические.

Заметим, что в курсе математики решаются лишь те практические задачи, которые сводимы к математическим задачам. Например, в задаче - реальные предметы: проволока длиной 15 м, столб высотой 8 м, дом высотой 20 м., можно рассматривать как отрезки.

Теперь следует разобраться в том, что составляет сущность решения задач, какова структура процесса решения, в чём особенности отдельных этапов этого процесса. Только сделав это, можно перейти к основному вопросу: как искать решение задач.

Что значит решить математическую задачу?

Большинство учеников отвечает - это, значит, найти её ответ.

В какой-то степени они правы. Но всё дело в том, как понимать слово “найти”. Кто-то, получив задачу, каким-то образом (подсмотрев в ответы задачника) просто сообщает этот ответ. Он, конечно, нашёл ответ, но можно ли считать это решением задачи? Очевидно, что нет.

Отсюда следует, что решение задачи не просто состоит в том, чтобы найти ответ. Так в чём же состоит решение задачи, предстоит разобраться.

И чтобы разобраться в этом, нужно внимательно приглядеться к процессу решения задач.

Внимательно анализируя решение задач, заметим, что оно состоит из отдельных шагов, при этом каждый шаг решения задачи есть применение какого-либо общего положения математики (правило, тождество, закон, формулы) к отдельным условиям задачи, или полученным следствиям из этих условий.

Решить математическую задачу - это значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, теорем, правил, законов, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то, что требуется в задаче - её ответ. Но это самое общее толкование сущности решения математических задач.

Процесс решения задач состоит из следующих этапов:

- Первое, что нужно сделать - это разобраться в том, что это за задача, каковы её условия, в чём состоят её требования. То есть провести анализ задачи.

- Второй этап - оформить этот анализ, то есть записать. Для построения записи используются разного рода схематические записи задачи.

- Анализ задачи и построение её схематической записи необходимы для того, чтобы найти способ решения данной задачи. Поиск способа решения составляет третий этап процесса решения задачи.

- Когда способ решения задачи найден, его нужно осуществить, - это будет уже четвёртый этап процесса решения задачи - этап осуществления (изложения) задачи.

- После того, как решение осуществлено и изложено (письменно или устно), необходимо убедиться, что решение правильное, что оно удовлетворяет всем требованиям задачи. Для этого производят проверку решения задачи, что составляет пятый этап процесса решения.

- При решении многих задач, кроме проверки, необходимо ещё произвести исследование задачи, а именно установить, при каких условиях задача имеет решение и притом, сколько различных решений в каждом отдельном случае; при каких условиях задача вообще не имеет решения и т.д. Всё это составляет шестой этап процесса решения задачи.

-Убедившись в правильности решения и, если нужно, произведя исследование задачи, необходимо чётко сформулировать ответ задачи, - это будет седьмой этап процесса решения задачи.

- Наконец, в учебных и познавательных целях полезно также произвести анализ выполненного решения, в частности установить, нет ли другого, более рационального способа решения, нельзя ли задачу обобщить, какие выводы можно сделать из этого решения. Всё это составляет восьмой этап в процессе решения задачи.

Итак, весь процесс решения можно разделить на восемь этапов:

1-й этап - анализ задачи;

2-й этап - схематическая запись задачи;

3-й этап - поиск способа решения задачи;

4-й этап - осуществление решения задачи;

5-й этап - проверка решения задачи;

6-й этап - исследование задачи;

7-й этап - формулирование ответа задачи;

8-й этап - анализ решения задачи.

Приведённая схема решения задач является примерной. Она даёт лишь общее представление о процессе решения задач как о сложном и многоплановом процессе.

При фактическом решении задач, указанные в схеме этапы не отделены друг от друга, а переплетаются между собой.

Так, в процессе анализа задачи обычно производится и поиск решения. При этом полный план решения устанавливается не до осуществления решения, а в его процессе. Порядок этапов может иногда меняться.

Из указанных 8 этапов пять являются обязательными, и они имеются (в том или ином виде) в процессе решения любой задачи.
Это этапы анализа задачи, поиска способа её решения, осуществления решения, проверки решения и формулирования ответа.
Остальные три этапа - схематическая запись задачи, исследование задачи и заключительный анализ задачи - являются не обязательными и в процессе решения многих задач не имеются.

Анализ задачи, т.е. выяснение характера задачи, её вида, установление её условий и требований (конечно, не всегда в полном объёме) производят в процессе решения любой, даже самой простой, задачи.

Когда ученик читает, например, такую задачу:

“Решить уравнение х2 + 3х + 2 = 0” и говорит : “”Это квадратное уравнение”, то уже тем самым он производит анализ задачи. Конечно, это самый простой анализ, состоящий в установлении вида задачи. Для других более сложных задач понадобится и более развёрнутый, более многоплановый и сложный анализ. Следует заметить, что при решении особо сложных задач анализ приходится производить не один раз, при первичном чтении задачи, а многократно, при каждой новой попытке решения( а их может быть несколько) в процессе самого решения, при переходе к каждому очередному решению.

Точно так же поиск способа решения производится в процессе решения любой задачи. Даже в указанной выше задаче, после того, как установили, что это есть квадратное уравнение, обычно ученик говорит вслух (или мысленно): “Для решения используем формулу корней квадратного уравнения”. Этим самым он произвёл поиск способа решения.

При решении более сложных задач поиск способа решения является самым трудным и основным этапом решения задачи.

Он может занимать и по времени самое большое место в общем, процессе решения задачи. При этом довольно часто поиск способа решения задачи приходится производить не один раз.

Когда в процессе выполнения найденного способа решения ученик убеждается в его ошибочности или сложности, то ему приходится снова возвращаться к этапу поиска решения и искать другой способ решения. И так зачастую приходится делать много раз. Тут нужно, конечно, упорство, но еще важней каждый раз в случае неудачи поиска решения возвращаться к анализу задачи, производить его ещё раз более внимательно и искать причины этих неудач.

Что касается этапа осуществления решения, то, очевидно, что без него и нет самого решения.

Сложнее с этапом проверки решения. Большей частью проверка решения производится попутно по мере осуществления решения, и, как правило, оно производится устно. В этом случае эта проверка является формой самоконтроля за своими действиями, ученик даже не осознаёт, что производит самоконтроль. Но это тогда, когда имеется прочная привычка к такому самоконтролю и хороший навык к тому. Тем же ученикам, которые такой привычкой и навыками не обладают, необходимо советовать производить проверку каждый раз, с тем, чтобы в конечном итоге приобрести такие навыки.

Формулирование ответа не всегда выделяется в особый этап, но , если ответ особо не выписывается надо всё же как-то его выделить (например, путём подчёркивания.

Хотя этап схематической записи является необязательным, всё же необходимо рекомендовать ученикам не пренебрегать им. Схематическая запись служит очень хорошей формой, организующей и глубокий и планомерный анализ задачи, и поэтому этот этап всегда сливается с анализом задачи. Схематическая запись, кроме того, облегчает и само решение, ибо опираясь на эту запись, легче и проще оформить решение.

Что касается анализа решения, то следует учесть, что решение школьных задач является не самоцелью, а средством обучения. Поэтому обсуждение проделанного решения, выявление его недостатков, поиск других способов решения, установление и закрепление в памяти тех приёмов, которые были использованы в данном решении, выявление условий возможности применения этих приёмов - всё это как раз и будет способствовать превращению решения задач в могучее обучающее средство.

Подводя итог вышесказанного необходимо обратить внимание на некоторую особенность использования термина “решение задачи”. Этим термином обозначаются два связанных между собой, но всё же неодинаковых понятия.

Когда говорится о “процессе решения задач”, то здесь под решением задач понимается вся деятельность ученика, решающего задачу, с момента начала чтения до конца.

Когда же говорится : “поиск решения задачи”, “анализ решения задачи”, “осуществление решения задачи”, то здесь понимаются те действия, которые ученик производит над условиями и их следствиями на основе общих положений математики для получения ответа задачи.

Иногда термин “решение задачи” используется ещё и в третьем аспекте, а именно в смысле результата (ответа) задачи. Например: решением системы уравнений является и т.д. или найдено два решения этой задачи.

По отношению к теории задачи делятся:
Стандартные задачи, для которых установлены правила, пользуясь которыми можно найти последовательность шагов для решения любой задачи некоторого вида.

Правила для стандартных задач.

Математика и занимается тем, что устанавливает правила для многих видов задач.

- Словесное правило - поваляет составить программу для любой задачи нахождения степени:

1) установить все сомножители произведения;

2) найти данную степень;

3) результаты 2-го шага перемножить.

- Правило-формула:

1) проверяем условие: а ? 0;

2) находим D = d2 - 4ac;

3) проверяем условие D ? 0

4) если эти условия выполнены, то вычисляем корни по формуле

х = -b ± vD

2a

Заметим, что при выполнении 2-го и 4-го шага необходимо ещё использовать

Правила вычисления алгебраических выражений при заданных значениях переменных.

- Правило тождество:

Примером такого правила может служить тождество квадрата двучлена:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Последовательность шагов определяется для каждого правила тождества индивидуально.

- Правило теорема:

Многие теоремы могут служить правилами для решения задач соответствующего вида.

- Правило определение:

Иногда основой для правила решений задач некоторого вида может служить определение соответствующего понятия.

Нестандартные задачи - это такие задачи, для которых в курсе математике не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения. Решение нестандартных задач есть искусство, которым можно овладеть лишь в результате глубокого постоянного самоанализа действий по решению задач и постоянной тренировки.

Поиск плана решения задач составляет центральную часть всего процесса решения. Найдя план, его осуществление уже не составляет особого труда.

Большей частью план - это лишь идея решения, его замысел, который возникает только после тщательного анализа и построения схематической записи задачи.

Точный и полный перечень всех действий возникает постепенно,

уже в процессе осуществления найденной идеи, замысла решения.

Может случиться так, что найденная идея решения неточна, а иногда и просто неверна. Тогда снова приходится возвращаться к анализу задачи и поиску новой идеи, или уточнять идею найденную прежде.

Как же искать план решения задачи?

Поиску нельзя научить, можно лишь самому ученику научиться распознавать вид задачи.

Для этого необходимо знать основные виды математических задач и их признаки.

Первым признаком является - требование задачи:

- Задачи на нахождение искомого - найти, разыскать, распознать какое-то искомое. Им может быть величина, отношение, какой-либо объект, предмет или форма.

- Задачи на доказательство или объяснение, в которых требование состоит в том, чтобы убедиться в справедливости некоторого утверждения, или проверить верность или ложность данного утверждения, или, наконец, объяснить, почему имеет место то или иное явление, тот или иной факт.

- Задачи на преобразование или построение, в которых требуется преобразовать какое-либо выражение, упростить его, представить в другом виде, построить что-либо удовлетворяющее указанным условиям.

Установив принадлежность данной задачи к определённому виду, тем самым ученик получает готовый план её решения: применить известный план решения подобных задач.

“Решить задачу - значит свести её к уже решённым задачам”. Такой ответ от учеников услышала профессор математик Московского университета на свой вопрос - “Что значит решить задачу?”

Это есть план решения задачи путём сведения к ранее решенным задачам.

Когда ученик встречается с незнакомой и хитроумной задачей, то все советы не помогают. И снова вопрос: как же всё-таки решать задачи?

Один из первых организаторов олимпиад, известный математик, профессор Владимир Абрамович Тартаковский, отвечая на этот вечный вопрос, сравнивал поиск решения с задачей поймать мышь, прячущуюся в куче камней.

– Есть два способа поймать мышь в куче камней, - рассказывал он.

– Можно постепенно отбрасывать из этой кучи камень за камнем до тех пор, пока не покажется мышь, тогда бросаетесь и ловите её…

– Но можно и иначе, Надо ходить и ходить вокруг кучи и зорко смотреть, не покажется ли где-либо хвостик мыши, как только заметите хвостик - хватайте и вытягивайте мышь из кучи…

Действительно, довольно часто поиск решения задачи напоминает эту операцию по поимке мыши в куче камней.

В заключении сформулируем основные рекомендации для поиска решения задач:

1. Прочтя задачу, надо попытаться установить, к какому виду задач она относится.

2. Если это стандартная задача знакомого вида, то необходимо применить для неё решения известное общее правило.

3. Если задача не является стандартной то следует следовать в следующих направлениях:

- вычленить из задачи или разбить её на подзадачи стандартного вида;

- ввести в условие вспомогательные элементы: параметры, построения;

- переформулировать задачу, заменить на равносильную задачу.

4. Построить наглядную вспомогательную модель задачи - её схематическую запись.

5. Постоянное решение нестандартных задач. Для углубленного их изучения.

Решение задач - вид творческой деятельности учащихся, а поиск решения - процесс изобретательства.

Поэтому детей нужно учить творить и изобретать в процессе решения задач.

Поспешность в решении задач вредна.

Литература:

Л.М. Фридман, Е.Н. Турецкий «Как научиться решать задачи 3-е изд., дораб, - М.: Просвещение 1989. - 192 с.: ил.

Математика: Учеб. Для 6 кл. общеобразоват. Учреждений. Н.Я. Валенкин, В.И. Жохов, А.С., А.С. Чеснокова, С.И. Шварцбурд. - 11 изд., стереотип. - М.: Мнемозина, 2002 - 304 с.: ил.