Несобственные интегралы
Определенные и несобственные интегралы. Несобственные интегралы первого и второго рода. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы. Признаки сходимости и расходимости. Эталонные интегралы.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 21.08.2008 |
| Размер файла | 668,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
2
Несобственные интегралы
Москва
2007
Содержание
- Содержание 2
- Введение 3
- Глава 1. Несобственные интегралы 3
- Несобственные интегралы первого рода 3
- Несобственные интегралы второго рода 9
- Критерий Коши сходимости несобственного интеграла 11
- Глава 2. Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы 12
- Глава 3. Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов 14
- Эталонные интегралы 16
- Заключение 18
- Литература 19
Введение
В теме «определенный интеграл» предполагается, что, во-первых, областью интегрирования для определённого интеграла служит конечный отрезок , а во-вторых, что подынтегральная функция интегрируема (и, тем самым, ограничена) на этом отрезке . Однако в приложениях такие предположения часто не соответствуют сути дела. Это приведёт к понятию несобственных интегралов двух типов: по бесконечному промежутку и от неограниченной функции. Как противопоставление несобственным интегралам, обычные определённые интегралы, которые вычисляются от интегрируемых (ограниченных) функций и по конечным отрезкам, часто называют собственными интегралами
Глава 1. Несобственные интегралы
Несобственные интегралы первого рода
Определение 1. Предположим, что функция задана на бесконечном промежутке вида и интегрируема на любом конечном отрезке , где . Таким образом, можно рассмотреть функцию Если эта функция имеет предел то число называется значением несобственного интеграла первого рода а сам интеграл называется сходящимся (иными словами, интеграл сходится). Если же предела не существует (например, если при ), то интеграл называется расходящимся (то есть расходится) и не имеет никакого числового значения.
Геометрически, в случае , величина несобственного интеграла означает, по определению, площадь бесконечно длинной области , лежащей в координатной плоскости между лучом на оси , графиком и вертикальным отрезком (см.рис. 1).
Рис. 1.
Сходящиеся интегралы соответствуют таким областям , площадь которых конечна (хотя сама область неограничена), а расходящиеся (в случае )- неограниченным областям с бесконечной площадью. В случае, когда при , часто пишут формально: однако нужно понимать, что эта запись означает расходимость интеграла и отсутствие у него числового значения.
Само определение значения интеграла через предел интегралов по конечным, но увеличивающимся отрезкам означает исчерпание площади путем учёта все большей её части правый вертикальный отрезок, проведённый при , отодвигается всё дальше и дальше в бесконечность; в пределе будет учтена вся площадь под графиком (см.рис. 2).
Рис. 2.
Замечание 1 Для краткости записи, предел подстановки
возникающий при вычислении несобственного интеграла, часто обозначают как под подстановкой значения в функцию понимая как раз вычисление предела
Пример 1. Рассмотрим теперь несобственный интеграл далее имеем: то есть при . Значит, несобственный интеграл расходится и, следовательно, не имеет никакого числового значения.
Рис.3.
Геометрически это означает, что площадь под графиком , лежащая от 1 до , бесконечно велика (несмотря, заметим, на то, что функция убывает и стремится к 0 при ; однако это стремление к 0 недостаточно быстрое для того, чтобы интеграл сходился).
Определение 2. Предположим, что функция задана на бесконечном промежутке вида и интегрируема на любом конечном отрезке , где . Таким образом, мы можем рассмотреть функцию Если эта функция имеет предел то число называется значением несобственного интеграла первого рода а сам интеграл называется сходящимся (то есть сходится). Если же предела не существует, то интеграл называется расходящимся (то есть расходится) и не имеет никакого числового значения.
Геометрически, в случае неотрицательной подынтегральной функции , вычисление несобственного интеграла означает нахождение площади бесконечно длинной области , лежащей между осью и графиком , левее вертикальной линии . Условие означает, что исчерпываем всю площадь, отодвигая всё левее, «в минус бесконечность», линию , временно ограничивающую рассматриваемую часть области справа (см.рис 4.).
Рис.4.
В интегралах и знаки и называют несобственными концами промежутка интегрирования, или несобственными пределами интегрирования. Данные нами определения означают, что при вычислении несобственных интегралов первого рода нужно «обрезать» несобственный предел некоторым конечным значением ( или ), вычислить определённый интеграл по получившемуся конечному промежутку , а затем устремить в бесконечность конечный предел или . Очевидно, что при изменении направления на оси , то есть при замене , интеграл переходит в равный ему интеграл и, соответственно, после перехода к пределу, несобственный интеграл переходит в равный ему интеграл . Таким образом, все свойства интегралов по промежутку повторяют соответствующие свойства интегралов по промежутку .
Определение 3. Пусть функция определена при всех и интегрируема на любом отрезке . Возьмём произвольное значение (например, ) и будем считать по определению несобственный интеграл равным сумме двух несобственных интегралов по промежуткам и , то есть Если при этом оба несобственных интеграла в правой части сходятся, то и интеграл считается сходящимся, а если хотя бы один из них расходится (при этом неважно, сходится или расходится другой), то и интеграл считается расходящимся (тогда он не имеет никакого числового значения).
Для корректности данного определения интеграла по всей оси нам следует доказать, что результат не зависит от выбора точки , то есть при выборе двух разных точек и определение даёт одно и то же, поскольку
(1)
Действительно, пусть . Тогда, при любых конечных и мы, согласно аддитивности определённого интеграла, имеем:
Переходя теперь два раза к пределу, сначала при , а потом при , получаем доказываемую формулу (1).
В дальнейшем для облегчения записи того, сходится или расходится несобственный интеграл, мы будем использовать следующие обозначения. Тот факт, что интеграл сходится, будем записывать в виде такого неравенства: а то, что интеграл расходится -- в виде условной записи (даже если функция не стремится к при ). Особенно часто такие обозначения применяются в случае, когда при всех ; тогда «равенство» отвечает тому факту, что соответствующая область под графиком функции имеет бесконечную площадь. Аналогичные обозначения будем применять и для интегралов по промежуткам вида и по всей оси, а также, в дальнейшем, и для несобственных интегралов второго рода (от неограниченных функций).
Несобственные интегралы второго рода
Пусть на полуинтервале задана функция , интегрируемая на любом отрезке , где , однако не интегрируемая на отрезке . В точке эта функция может быть вовсе не определена и стремиться к при , любо вовсе не иметь никакого предела при этой базе. Рассмотрим функцию она определена при . Эта функция может иметь предел при (левосторонний предел). Этот предел будем называть значением интеграла от по всему полуинтервалу и обозначать в точности как обычный интеграл:
Определение 4. Пусть функция удовлетворяет указанным выше условиям на . Несобственным интегралом второго рода назовём тогда интеграл значение которого равняется левостороннему пределу
Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предела не существует, то расходящимся. Расходящемуся интегралу не приписывается никакого числового значения; в этом случае будем условно писать Геометрически вычисление несобственного интеграла второго рода представляет собою (при ) исчерпание плошади неограниченной фигуры под графиком функции над с помощью вычисления плошадей ограниченных фигур, получающихся над отрезком , а затем приближением правого конца к точке (см.рис. 4).
Рис.4.
Площадь неограниченной фигуры, изображённой на рисунке, по определению равна значению несобственного интеграла .
Замечание 2. Как и в случае несобственных интегралов первого рода, часто понимают вычисление предела подстановки как подстановку с верхним предельным значением : имея в виду, что подстановка верхнего предела интегрирования означает переход к левостороннему пределу при .
Определение 5. Аналогично интегралу по полуинтервалу от функции с особенностью в точке , определяется несобственный интеграл второго рода от функции , имеющей особенность в точке полуинтервала : если существует предел
В случае существования указанного предела интеграл называется сходящимся, а в случае, когда предел не существует,- расходящимся.
Замечание 3. Если сделать замену , то несобственный интеграл от функции, имеющей особенность в правом конце промежутка интегрирования, переходит в несобственный интеграл от функции с особенностью в левом конце промежутка, и наоборот (проверьте это утверждение, сделав замену в интеграле , где при ). Поэтому свойства несобственных интегралов второго рода достаточно устанавливать лишь в каком-нибудь одном случае, например, в случае особенности в правом конце промежутка, а свойства интегралов с особенностью функции в левом конце будут получаться очевидными переформулировками.
Критерий Коши сходимости несобственного интеграла
1. Пусть f(x) определена на множестве от и .
Тогда сходится
2. Пусть f(x) определена на (a,b] и .
Тогда сходится
Глава 2. Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы
Определение 7. Если несобственный интеграл сходится, то несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся.
Если же несобственный интеграл расходится, а несобственный интеграл сходится, а несобственный интеграл называется условно сходящимся.
Заметим, что доказанная только что теорема означает в точности, что любой абсолютно сходящийся интеграл сходится.
Определение 8. Неотрицательная функция называется мажорантой для функции на множестве , лежащем в области определения обеих функций, если при всех
Теорема 4. Пусть для функции , интегрируемой на любом отрезке , существует мажоранта на , причём несобственный интеграл сходится. Тогда несобственный интеграл тоже сходится, и .
Примеры исследования интегралов на абсолютную сходимость:
Пример 4..
;
интеграл от большей функции сходится, следовательно, сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.
Пример 5..
, первый множитель, , стремится к нулю при , следовательно, ограничен: , интеграл от последней функции сходится, следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно.
Пример 6.
Так как , то исходный интеграл сходится абсолютно.
Глава 3. Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов
Теорема 1. Пусть фиксировано число и функция интегрируема на любом отрезке , где . Тогда если несобственный интеграл сходится, то при любом сходится интеграл . Обратно, если при некотором сходится интеграл , то сходится и интеграл .
Теорема 2 (теоpема сpавнения) Пусть даны две функции и , заданные на , причём при всех выполняется неравенство
Тогда из сходимости интеграла от большей функции, , следует сходимость интеграла от меньшей функции, , причём а из расходимости интеграла от меньшей функции, , следует расходимость интеграла от большей функции, :
Геометрически доказанное утверждение почти очевидно: оно означает, что если площадь под верхним графиком на следующем рисунке (она заштрихована), конечна, то конечна и имеет меньшее значение площадь под нижним графиком (она имеет двойную штриховку).
Рис. 5.
Если условие неотрицательности функций и не предполагается, то оба утверждения теоремы могут оказаться не верны: так, если взять и при всех , то интеграл от большей функции,
оказывается сходящимся (его значение, очевидно, равно 0), а интеграл от меньшей функции, -- расходится (докажите расходимость, вычислив интеграл и рассмотрев его поведение при ).
При помощи теоремы 2 можем в некоторых случаях исследовать сходимость интеграла, не вычисляя его значения. Для доказательства сходимости интеграла от функции достаточно найти более простую функцию , для которой интеграл легко вычисляется и сходится. Согласно теореме, тогда исходный интеграл тоже сходится, причём мы получаем оценку его величины: . Если же нам нужно доказать расходимость интеграла , то достаточно найти такую (более просто устроенную) функцию , что и интеграл расходится.
Признак сходимости Абеля:
1. пусть функции f(x) и g(x) определены в промежутке , причём f(x) интегрируема в этом промежутке, т.е. интеграл сходится (условно или абсолютно);
2. g(x) монотонна и ограничена: .
Тогда интеграл сходится.
Признак сходимости Дирихле:
1. пусть функция f(x) интегрируема в любом конечном промежутке [a, b], и интеграл по этому промежутку ограничен (как функция верхнего предела b): ;
2. g(x) монотонно стремится к нулю при : .
Тогда интеграл сходится.
Эталонные интегралы
Пример 2. Рассмотрим интеграл
Если , то подынтегральная функция стремится к при , так что получается несобственный интеграл второго рода.
Рассмотрим такие случаи:
1) . Тогда интеграл вычисляется так:
поскольку при имеем и
2) . Тогда то есть интеграл расходится, поскольку при .
3) . Тогда и интеграл снова расходится, поскольку при , если показатель .
Заметим также, что при интеграл не является несобственным: это обычный (то есть собственный) интеграл от непрерывной ограниченной функции. Единственная неприятность получается при , поскольку тогда подынтегральная функция не определена при (и тождественно равна 1 при ). Но мы знаем, согласно одному из свойств определённого интеграла, что значение подынтегральной функции в одной точке можно изменить без изменения значения интеграла. Так что достаточно переопределить значение в 0, положив и получив собственный интеграл
Пример 3. Определим, при каких значениях показателя интеграл
cходится. Рассмотрим случай . Тогда
Поскольку при Значит, при интеграл сходится и имеет значение Рассмотрим случай . Тогда
поскольку
(то есть предела не существует) и . Значит, при интеграл расходится. Рассмотрим случай . Тогда
поскольку при Значит, при интеграл расходится. Итак, интеграл сходится (и функция определена и равна ) только при ; при интеграл расходится.
Теорема 3. Если интеграл сходится, то сходится также интеграл причём имеет место неравенство
Заключение
Задачи, приводящие к несобственным интегралам рассматривались в геометрической форме Э. Торричелли и П. Ферма в 1644. Точные определениянесобственных интегралов даны О. Коши в 1823. Различие условно и абсолютно сходящихся несобственных интегралов установлено Дж. Стоксом и П. Г. Л. Дирихле (1854). Ряд работ математиков 19 в. посвящен вычислению несобственных интегралов в случаях, когда соответствующая первообразная не выражается через элементарные функции. Значения многих несобственных интегралов приводятся в различных таблицах.
Несобственные интегралы имеют важное значение во многих областях математического анализа и его приложений. В теории специальных функций (цилиндрических функций, ортогональных многочленов и др.) одним из основных способов изучения является изображение функций в виде несобственных интегралов, зависящих от параметра, например . К несобственным интегралам относится и Фурье интеграл, а также интегралы, встречающиеся при других интегральных преобразованиях. Решения краевых задач математической физики записываются кратными несобственными интегралами с неограниченной подинтегральной функцией. В теории вероятностей важное значение имеет несобственный интеграл
Литература
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Р-н-Д., 1998.
2. Данко П.Е. и др. Высшая математика. М., 1997
3. Общий курс высшей математики. Под ред. Ермакова. М., 2004
4. Пак В.В. Высшая математика. М., 1997
5. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 2003
Подобные документы
Несобственные интегралы первого, второго и третьего рода. Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов. Несобственные интегралы, содержащие параметр. Гамма-функция и бета-функция Эйлера. Критерий Коши и эквивалентные условия сходимости.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 20.09.2013Несобственные интегралы первого рода. Понятие абсолютно и условно сходящегося интеграла. Несобственные интегралы второго рода. Определение непрерывности функции и равномерной сходимости. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра.
курсовая работа [240,1 K], добавлен 23.03.2011Интегралы, у которых один или оба предела интегрирования бесконечны, и у которых функция не ограничена на отрезке интегрирования. Понятие несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования. Геометрический смысл несобственного интеграла.
презентация [104,1 K], добавлен 18.09.2013Свойства и характеристика интегралов с бесконечными пределами, признаки их сходимости. Расчет несобственных интегралов с бесконечными пределами. Определение несобственного интеграла от разрывной функции с аналитической и геометрической точки зрения.
реферат [144,5 K], добавлен 23.08.2009Понятие и геометрический смысл определенного интеграла, его свойства. Формула Ньютона–Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Объем тела вращения. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
курс лекций [514,0 K], добавлен 31.05.2010Понятие двойного и тройного интеграла. Кратные интегралы в криволинейных координатах. Геометрические и физические приложения кратных интегралов. Криволинейные и поверхностные интегралы: понятия и способы вычисления. Геометрические и физические приложения.
дипломная работа [237,7 K], добавлен 27.02.2009Функции нескольких переменных. Локальные экстремумы функции двух переменных. Производная по направлению. Двойные и тройные интегралы. Вычисление объемов тел и площадей плоских фигур. Тройной интеграл, криволинейные интегралы первого и второго рода.
учебное пособие [511,2 K], добавлен 23.04.2012Понятие определенного, двойного, тройного, криволинейного и поверхностного интегралов. Предел интегральной суммы. Вычисление двойного интеграла. Кратные интегралы в криволинейных координатах. Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым.
курсовая работа [241,3 K], добавлен 13.11.2011Расчет неопределенных интегралов по частям и по формуле Ньютона-Лейбница. Вычисление несобственного интеграла или доказательство его расходимости. Расчет площади фигуры, ограниченной кардиоидой. Расстановка пределов двумя альтернативными способами.
контрольная работа [251,2 K], добавлен 28.03.2014Алгоритм вычисления интегральной суммы для функции нескольких переменных по кривой АВ. Определение понятия криволинейного интеграла второго рода. Представление суммы интегралов двух функций вдоль кривой АВ как криволинейного интеграла общего вида.
презентация [69,4 K], добавлен 17.09.2013
