Теорема Ферма. Ее доказательство и место в теории чисел

Н.И. Пичугин

Ветеран ВОВ и ВС

Теорема Ферма. Ее доказательство

и место в теории чисел

В математике с давних пор известен прямоугольный треугольник и доказанная Пифагором (580-500 г. до н.э. ) теорема, по которой целые x и y в выражении x²+y²=z² могут иметь целые . В развитие ее спустя 2000 лет в 1636 году появилась теорема Ферма, по которой требовалось доказать, что при показателе степени n>2 в уравнениях xⁿ+yⁿ=zⁿ при целых независимых x и y не существует целых .

Математики всего мира ищут это доказательство уже свыше 350 лет, но безрезультатно. Из-за отсутствия положительных результатов они стали называть ее великой, загадочной и даже мистической.

За прошедшие 350 лет значительно возрос человеческий прогресс, а актуальность доказательства теоремы Ферма снизилась. Математики занялись более важными проблемами, связанными с реальной жизнью человеческого общества. Тем не менее, в 1995 году появилась большая статья А.Уайлса с доказательством теоремы Ферма, как следствие n-мерных модулярных построений гипотезы Таниямы. Условием принадлежности уравнений Ферма к структуре гипотезы Таниямы является подобие n-мерных уравнений Ферма с плоскостными эллиптическими кривыми. Доказательство этого подобия вызывает сомнение, как сомнением является и факт достоверности самой гипотезы Таниямы. Словом до настоящего времени теорема Ферма остается вещью в себе.

Эта неразрешимая мировая загадка практически оставлена профессиональными математиками, но, как и прежде, для математиков - любителей остается вожделенной попыткой доказать ее элементарными способами.

В настоящей статье мы попытаемся обойти трудности доказательства введением дополнительных условий, которыми являются:

- докозательство ведется применительно к плоскостной координатной системе xOy, т.е. при двух координатах Ox и Oy. Надобность в третьей и последующих координатах отпадает.

- элементы xⁿ и yⁿ являются составными частями соответствующих числовых рядов 1ⁿ, 2 ⁿ, 3 ⁿ, 4 ⁿ, …

- доказательство производится при фиксированном x > y в уравнении Ферма с произвольным n.

Для доказательства представим уравнение xⁿ+yⁿ=zⁿ в виде,

(1)

Подвергнем выражение (1) разложению по биному Ньютона относительно степени xⁿ , получим при целых a = b (объяснение см. ниже.):

Обозначим - добавку в разложении, тогда

(2)

При степенях n = 1 и 2 P(a,n) = 0; при n>2 P(a,n) > 0 , целое число. Разделим левую и правую части в выражении (2) на x^n-1 получим:

(3)

Здесь 2n - целое число, а коэффициент пропорциональности (1,2,3,…) P(a,n)/x^n-1 - нецелое число т.к. P(a,n) значительно меньше x^n-1 . Положив a = b = 1 и подставив целую часть x = 2n из выражения (3) в выражение (1) получим исходное уравнение:

(4)

Это выражение идентично теореме Ферма без разложения по биному Ньютона, а z = 2n+1 обеспечивает получение целых в уравнении для поиска целых z, которым оно и является.

Обратим внимание на то, что уравнение Ферма не удовлетворяют выражению (4). При этом левая часть уравнения всегда меньше правой на величину добавки =P(a,n). Эта добавка может быть заранее рассчитана при разложении по б. Ньютона или определена как разность между zⁿ=(x+1)ⁿ и z_maxⁿ=xⁿ+y_maxⁿ. Для степеней n = 1,2,3,4 и 5 поправки соответственно равны 0, 0, 2, 64, 2002. Введение поправки в выражение (4) делает теорему Ферма доказуемой при целом в исходном уравнении. Предварительное знание величины поправки =P(a,n) и кратное повторение результатов при a=b=2,3,4… вдоль оси Ox является достоверным фактом доказательства теоремы Ферма в общем виде.

Остановимся подробнее на причинах дефицита сумм в левой части уравнения (4).

Известно, что при степенях n=1 и 2 плоские фигуры(линии, поверхности) отражаются на плоскость xOy без искажений. Уравнениями для них являются x+y=z (n=1, линия) и x²+y²=z² (n=2, прямоугольных треугольник). В них левые части уравнений равны правым при которых обеспечивается при x=2n в исходном уравнении получение целых . Наличие при a=b=2, 3, 4, … аналогичных результатов вдоль оси Ox свидетельствует о полноте и общности доказательства теоремы.

Уравнение x²+y²=z² представляет теорему Пифагора. Следовательно ее доказательство является частным случаем доказательства теоремы Ферма.

При n>2 дефицит суммы в левой части уравнения 4 образуется от искажения n-мерных уравнений xⁿ+yⁿ=zⁿ при отражении их на плоскость xOy по причине неравенства , которые проявляется в добавке P(a,n) искажениями в виде остроугольных треугольников с . С ростом n и y=2n-1 угол C уменьшается до предельного 60 градусов.

Для устранения дефицита сумм и обеспечения согласования (равенства) между левой и правой частями в выражении 4 имеются две возможности.

Первая заключается в добавлении к yⁿ теоремы Ферма поправки =P(a,n) , что делает ее доказуемой при целых и вырождающейся в теорему Пифагора при n>2 (наличие дуализма). Вторая возможность связана со смещением рубежа целых в сторону z_max теоремы Ферма. Смещенный рубеж при этом попадает в нецелую часть между x и x+1. Выражение (4) оказывается согласованным, а теорема Ферма доказанной в классическом понимании, при нецелых .

В завершение изложенного построим обобщенный степенной ряд для троек x, y, z в порядке нарастания степеней n. Эти тройки заполним числами x, y, z, в которых конец предыдущей тройки (z) является началом последующей (y), а x=2n расположим посередине (см. таблицу).

Аналогичные таблицы могут быть составлены и для других сочетаний a = b = 2, 3, 4…, что свидетельствует об общности доказательства.

Доказательство проведено применительно к z_maxⁿ=xⁿ+y_maxⁿ . Оно справедливо и для z_minⁿ = xⁿ+1, а также для всех промежуточных и случайных x, y и z потому, что всегда меньше на плоскости xOy, где по условию теоремы заданы xⁿ, yⁿ и их сумма zⁿ .

Теорема Ферма может быт доказана непосредственно при нецелых если заменить рубеж с целыми рубежом с достоверно нецелым доказательство не отличается от изложенного выше.

На основании изложенного в статье следует сделать выводы:

1. Доказательство теоремы Ферма без учета добавки P(a,n) невозможно. С помощью добавки p(a,n) представляется возможным обеспечить в уравнении (4) согласование (равенство) левой и правой частей и тем самым сделать объективным заключение о наличии в уравнениях Ферма целых или нецелых .

2. В приведенной выше таблице теорема Ферма представлена составной частью обобщенного степенного ряда, ее параметры x=2n, y=x-1, z=x+1 и добавка P(a,n) являются общими для всех степеней n в обобщенном ряду. Поэтому теорема Ферма должна входить в теорию чисел по разделу СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ.

3. Представление уравнения Ферма в виде функции одного переменного (1), разложение его на составные части (2) с последующем формированием рубежа с целым (4) и обобщенного степенного ряда (табл.) позволило определить взаимосвязь параметров в ряду, выявить присущий теореме дуализм и в итоге доказать теорему в общем виде с помощью элементарной математики.

4. В статье фактически приведено доказательство трех теорем: Пифагора при n=2, Ферма при целых и нецелых z, и Пифагора при n>2, в которую переродилась теорема Ферма, благодаря дуализму.

Обоснование выбора a = b = 1

Основные процессы доказательства проходят в исходном уравнении, в котором параметры должны быть целыми и минимальными. При a=1 достигается z_max при котором выбран рубеж целых . Значению a=1 должно соответствовать также целое минимальное значение b=1.

Оно согласуется с неравенством .