Производственная модель склада

Размещено на http://www.allbest.ru/

Производственная модель склада

1. Модель Баумоля

Уильям Баумоль (Baumol W.J.) первым предложил и опубликовал 1952 году в своей монографии «The Transaction Demand for Cash: An Inventory Theoretic Approach» гипотезу о том, что остаток денежных средств на счете во многом сходен с остатком товарно-материальных запасов, поэтому модель оптимальной партии заказа (EOQ) может быть использована и для определения целевого остатка денежных средств.

Предполагается, что предприятие начинает работать, имея максимальный и целесообразный для нее уровень денежных средств, и затем постепенно расходует их в течение некоторого периода времени. Все поступающие средства от реализации товаров и услуг предприятие вкладывает в краткосрочные ценные бумаги. Как только запас денежных средств истощается, то есть становится равным нулю или достигает некоторого заданного уровня безопасности, предприятие продает часть ценных бумаг и тем самым пополняет запас денежных средств до первоначальной величины. Таким образом, динамика остатка средств на расчетном счете представляет собой «пилообразный» график (рис. 1).

Рис. 1. График изменения остатка средств на расчетном счете

Сумма пополнения (Q) вычисляется по формуле:

,

где V - прогнозируемая потребность в денежных средствах в периоде (год, квартал, месяц);

с - расходы по конвертации денежных средств в ценные бумаги;

r - приемлемый и возможный для предприятия процентный доход по краткосрочным финансовым вложениям, например, в государственные ценные бумаги.

Таким образом, средний запас денежных средств составляет Q/2, а общее количество сделок по конвертации ценных бумаг в денежные средства (k) равно:

K = V:Q

Общие расходы (ОР) по реализации такой политики управления денежными средствами составят:

Первое слагаемое в этой формуле представляет собой прямые расходы, второе - упущенная выгода от хранения средств на расчетном счете вместо того, чтобы инвестировать их в ценные бумаги.

2. Принятие решений в задачах логистики

Пусть  - величина запаса некоторого товара на складе в момент времени . Дефицит не допускается, т.е.  при всех t. Товар пользуется равномерным спросом с интенсивностью , т.е. за интервала времени  со склада извлекается и поступает потребителям часть запаса величиной  В моменты времени  пополняется запас на складе - приходят поставки величиной соответственно. Таким образом, изменение во времени величины запаса товара на складе изображается зубчатой ломаной линией (рис. 2), состоящей из наклонных и вертикальных звеньев, причем наклонные отрезки параллельны.

Рис. 2. График изменения величины запаса на складе

Таким образом, в момент  величина запаса на складе  скачком увеличивается на . Следовательно, функция имеет разрывы в точках  Для определенности будем считать, что эта функция непрерывна справа.

Пусть s - плата за хранение единицы товара в течение единицы времени. Поскольку можно считать, что величина запаса  не меняется в течение интервала времени , где- дифференциал, т.е. бесконечно малая, то плата за хранение всего запаса в течение этого интервала времени равна . Следовательно, затраты за хранение в течение интервала времени [0; T], где T - интервал планирования, пропорциональны (с коэффициентом пропорциональности s) площади под графиком уровня запаса на складе  и равны:

Пусть g - плата за доставку одной партии товара. Примем для простоты, что она не зависит от размера поставки. Позже покажем, что если эта плата равна g+g₁Q, где Q - размер поставки, то оптимальный план поставки - тот же, что и при отсутствии линейного члена. Будет проанализирована и более сложная модель, в которой предусмотрена скидка с ростом поставки, приводящая к выражению для платы за доставку одной партии товара размером Q.

Пусть n(T) - количество поставок, пришедших в интервале [0; T]. При этом включаем поставку в момент t = 0 и не включаем поставку в момент t = T (если такое происходит), тогда суммарные издержки на доставку товара равны gn(T). Следовательно, общие издержки (затраты, расходы) за время T равны:

,

Запись  означает, что общие издержки зависят от значений функции  при всех . Символ обозначает функцию как целое. Другими словами, область определения при фиксированном T - не множество чисел, а множество функций.

Общие издержки, очевидно, возрастают при росте горизонта планирования Т. Поэтому часто используют средние издержки, приходящиеся на единицу времени. Средние издержки за время Т равны:

,

Поскольку товар отпускается со склада с постоянной интенсивностью (скоростью), дефицит не допускается, то доходы от работы склада пропорциональны горизонту планирования, средние доходы постоянны. Следовательно, максимизация прибыли эквивалентна минимизации издержек или средних издержек.

Если задать моменты прихода поставок и величины партий, то будет полностью определена функция при всех . Верно и обратное - фиксация функции , , рассматриваемого вида (рис. 1) полностью определяет моменты прихода поставок и величины партий. И то, и другое будем называть планом поставок или планом работы системы управления запасами. Для ее оптимизации необходимо выбрать моменты времени  пополнения запаса на складе и размеры поставляемых партий товара Q₀, Q₁, Q₂,… так, минимизировать средние издержки при фиксированном Т. Модель производственной ситуации (т.е. работы склада) описывается четырьмя параметрами -  (интенсивность спроса), s (стоимость хранения единицы продукции в течение единицы времени), g (стоимость доставки партии товара), Т (горизонт планирования).

Поставленная задача оптимизации работы склада интересна тем, что неизвестно число параметров, определяющих план поставок. Поэтому ее решение не может быть проведено с помощью стандартных методов теории оптимизации.

Решим эту задачу в три этапа. На первом установим, что оптимальный план следует искать среди тех планов, у которых все зубцы доходят до оси абсцисс, т.е. запас равен 0 в момент доставки очередной партии. Цель второго этапа - доказать, что все зубцы должны быть одной и той же высоты. Наконец, на третьем находим оптимальный размер поставки.

Оптимальный план. Найдем наилучший план поставок. План, для которого запас равен 0 (т.е. ) в моменты доставок очередных партий, назовем напряженным.

Утверждение 1. Для любого плана поставок, не являющегося напряженным, можно указать напряженный план, для которого средние издержки меньше.

Покажем, как можно от произвольного плана перейти к напряженному плану, уменьшив при этом издержки. Пусть с течением времени при приближении к моменту t₁ прихода поставки Q₁ уровень запаса не стремится к 0, а лишь уменьшается до (где знак «минус» означает предел слева функции  в точке t₁). Тогда рассмотрим новый план поставок с теми же моментами поставок и их величинами, за исключением величин поставок в моменты t = 0 и t = t₁. А именно, заменим Q₀ на Q₀₁ = Q₀ - y(t₁-), аQ₁ на Q₁₁ = Q₀ + y(t₁-). Тогда график уровня запаса на складе параллельно сдвинется вниз на интервале (0; t₁), достигнув 0 в t₁, и не изменится правее точки t₁. Следовательно, издержки по доставке партий не изменятся, а издержки по хранению уменьшатся на величину, пропорциональную (с коэффициентом пропорциональности s) площади параллелограмма, образованного прежним и новым положениями графика уровня запаса на интервале (0; t₁) (см. рис. 3).

Рис. 3. Первый шаг перехода к напряженному плану

Итак, в результате первого шага перехода получен план, в котором крайний слева зубец достигает оси абсцисс. Следующий шаг проводится аналогично, только момент времени t = 0 заменяется на t = t₁. Если есть такая возможность, второе наклонное звено графика уровня запаса на складе параллельно сдвигается вниз, достигая в крайней правой точке t₂ оси абсцисс.

Аналогично поступаем со всеми остальными зубцами, двигаясь слева направо. В результате получаем напряженный план. На каждом шагу издержки по хранению либо сокращались, либо оставались прежними (если соответствующее звено графика не опускалось вниз). Следовательно, для полученного в результате описанного преобразования напряженного плана издержки по хранению меньше, чем для исходного плана, либо равны.

Из утверждения 1 следует, что оптимальный план следует искать только среди напряженных планов. Другими словами, план, не являющийся напряженным, не может быть оптимальным.

Утверждение 2. Среди напряженных планов с фиксированным числом поставок минимальные издержки имеет тот, в котором все интервалы между поставками равны.

При фиксированном числе поставок затраты на доставку партий не меняются. Следовательно, достаточно минимизировать затраты на хранение.

Для напряженных планов размеры поставок однозначно определяются с помощью интервалов между поставками:

,

Действительно, очередная поставка величиной Q_i-1 совпадает с размером запаса на складе в момент t_i-1, расходуется с интенсивностью  единиц товара в одну единицу времени и полностью исчерпывается к моменту t_i прихода следующей поставки.

Для напряженного плана издержки по хранению равны:

где . Ясно, что - произвольные неотрицательные числа, в сумме составляющие Т. Следовательно, для минимизации издержек среди напряженных планов с фиксированным числом поставок достаточно решить задачу оптимизации

где n = n(T).

Полученная задача оптимизации формально никак не связана с логистикой, она является чисто математической. Для ее решения целесообразно ввести новые переменные . Тогда

Поскольку  то  следовательно, с учетом предыдущего равенства имеем:

Сумма квадратов всегда неотрицательна. Она достигает минимума, равного 0, когда все переменные равны 0, т.е. при . Тогда

При этих значениях  выполнены все ограничения оптимизационной задачи. Итак, утверждение 2 доказано.

Для плана с равными интервалами между поставками все партии товара имеют одинаковый объем. Для такого плана издержки по хранению равны:

Средние издержки (на единицу времени) таковы:

Итак, минимизация средних издержек - это задача дискретной оптимизации. На третьем этапе построения оптимального плана необходимо найти натуральное число n(T) - самое выгодное число поставок.

Поскольку к моменту Т запас товара должен быть израсходован, то общий объем поставок за время T должен совпадать с общим объемом спроса, следовательно, равняться  Т. Справедливо балансовое соотношение (аналог закона Ломоносова-Лавуазье сохранения массы при химических реакциях):

Из балансового соотношения следует, что

Средние издержки (на единицу времени) можно выразить как функцию размера партии Q:

Задача состоит в минимизации f₁(Q) по Q. При этом возможная величина поставки принимает дискретные значения,

Изучим функцию f₁(Q), определенную при Q>0. При приближении к 0 она ведет себя как гипербола, при росте аргумента - как линейная функция. Производная имеет вид

Производная монотонно возрастает, поэтому рассматриваемая функция имеет единственный минимум в точке, в которой производная равна 0, т.е. при

Получена знаменитая «формула квадратного корня». В литературе иногда без всяких комментариев рекомендуют использовать напряженный план, в котором размеры всех поставляемых партий равныQ₀. К сожалению, получаемый таким путем план почти всегда не является оптимальным, т.е. популярная рекомендация неверна или не вполне корректна. Дело в том, что почти всегда

Всегда можно указать неотрицательное целое число n такое, что

баумоль запас поставка оптимизация

Утверждение 3. Решением задачи оптимизации:

является либо Q₁, либо Q₂.

Действительно, из всех  часть лежит правее Q₀, из них наименьшим является Q₂, а часть лежит левее Q₀, из них наибольшим является Q₁. Для построения оптимального плана обратим внимание на то, что производная (2) отрицательна левее Q₀ и положительна правее Q₀, следовательно, функция средних издержек f₁(Q) убывает левее Q₀ и возрастает правее Q₀. Значит, минимум по достигается при Q = Q₂, а минимум по  - при Q = Q₁ Последнее утверждение эквивалентно заключению утверждения 3.

Итак, алгоритм построения оптимального плана таков.

1. Найти Q₀ по формуле квадратного корня.

2. Найти n из условия.

3. Рассчитать f₁(Q) по формуле (1) для Q = Q₁ и Q = Q₂, где Q₁ и Q₂ определены.

4. Наименьшее из двух чисел f₁(Q₁) и f₁(Q₂) является искомым минимумом, а то из Q₁ и Q₂, на котором достигается минимум - решением задачи оптимизации. Обозначим его Q_opt.

Оптимальный план поставки - это напряженный план, в котором объемы всех поставок равны Q_opt.

Замечание. Если f₁(Q₁) = f₁(Q₂), то решение задачи оптимизации состоит из двух точек Q₁ и Q₂. В этом частном случае существует два оптимальных плана.

Список литературы

1. Щапов А.Н. Направления повышения эффективности оперативного финансового управления компанией холдингового типа. Автореферат дисс. канд. экон. наук. - М.: Московский государственный университет экономики, статистики и информатики, 2002. - 24 с.

2. Иванова Н.Ю., Орлов А.И. Экономико-математическое. моделирование малого бизнеса (обзор подходов) // Экономика и математические методы. 2001. Т.37. №2. С. 128-136.

3. Иванова Н.Ю. Малый инновационный бизнес в странах развитой рыночной экономики // Российский экономический журнал, 1995, №12. С. 42-51.

4. Малое инновационное предпринимательство / Под ред. Ивановой Н.Ю. - М.: ЦЭО Минобразования РФ, 1996. - 232 с.

5. Орлов А.И. Эконометрика. - М.: Экзамен, 2002. - 576 с.

6. Орлов А.И. Сертификация и статистические методы. // Заводская лаборатория, 1997, №3. С. 55-62.

7. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. - М., Наука, 1979. - 296 с.

8. Математическое моделирование процессов налогообложения (подходы к проблеме) / Под ред. А.И. Орлова и др. - М.: Изд-во ЦЭО Минобразования РФ, 1997. 232 с.

Размещено на Allbest.ru