Информационные системы маркетинга

Контрольная работа

по дисциплине «Информационные системы маркетинга»

Задача:

Определить, зависит ли прибыль торгового предприятия от величины расходов на рекламу и численности торгового персонала

Задача решается методом регрессивного анализа - установления формы и изучения связей между зависимой переменной и одной или несколькими независимыми переменными.

Цель регрессионного анализа - определить форму зависимости исследуемой величины от влияющих на нее факторов.

Исходные данные: в ходе изучения работы магазина в течение n=12 месяцев были получены следующие данные (исходные данные взять согласно варианта из задания, вариант 14):

Месяц	Прибыль, тыс. руб.	Расходы на рекламу, тыс.руб.	Кол-во продавцов, чел
n	Yi	X1i	X2i
1	70	13	5
2	70	13	5
3	68	13	5
4	65	12	4
5	66	12	4
6	64	12	4
7	65	10	4
8	63	12	3
9	60	10	3
10	59	10	3
11	60	10	3
12	58	10	3

Необходимо определить форму зависимости прибыли компании от величины расходов на рекламу и число продавцов:

(1) где



- расчетная величина прибыли, тыс.руб.

- величина рекламных расходов в месяц, тыс.руб.

- число продавцов, работающих в течение месяца, чел.

Делаем предположение о форме взаимосвязи. Как правило, на практике, исследование регрессии начинается с предложения о линейной форме взаимосвязи:

(2) где:

- коэффициенты уравнения регрессии.

Определяем коэффициенты уравнения регрессии:

Определение коэффициентов уравнения регрессии проводится по методу наименьших квадратов (МНК) исходя из условий

(3) где

i - период в котором проводится наблюдение

n - известное количество переменных зависимых переменных (прибыль), количество периодов наблюдения

- фактическое значение зависимой переменной (прибыль)

- расчетное значение переменной (прибыль)

Решение данной задачи сводится к задаче на экстремум. Для выполнения условия (3), подставляем в (3) выражение (2), дифференцируем полученное выражение по коэффициентам “” и приравниваем полученное выражение к нулю:

(4)

Где i - номер коэффициента “”

Решая уравнение (4) мы получаем систему трех уравнений (т.к. у нас три коэффициента “”).

(5)

Для того чтобы решить эту систему уравнений при помощи MS Excel нам необходимо рассчитать «суммы», стоящие после коэффициентов “”. Для этого рассчитаем промежуточные значения:

Таблица1.

Расчет промежуточных значений

В строке «Итого» определяем сумму по столбцам по всем исследованным величинам. Для решения системы уравнений (5) можно воспользоваться любым методом, в нашем примере используется метод Крамера (метод «определителей»).

Для определения коэффициентов “” необходимо составить 4 матрицы значений, по которым найти определители:



Матрица 1	Матрица 2
n
Матрица 3	Матрица 4
n			n

Составляем матрицу значений:

Матрица 1	Матрица 2
12	137	46	768	137	46
137	1583	535	8820	1583	535
46	535	184	2980	535	184
Матрица 3	Матрица 4
12	768	46	12	137	768
137	8820	535	137	1583	8820
46	2980	184	46	535	2980

Для расчета определителей матрицы воспользуемся встроенной функцией Excel “мопред”,

где в качестве массива укажем соответствующие ячейки в каждой матрицы ( для вычисления значений определителей необходимо указывать ячейки расположенные в верхнем левом и нижнем правых углах матрицы).

Обозначим в нашем примере “D” - определитель матрицы. Тогда

D=мопред(матрица1) =

D₁=мопред(матрица2) =

D₂=мопред(матрица3) =

D₃=мопред(матрица4) =

Тогда значения коэффициентов “” будут определены по формулам:

(6) = 23196/580 ? 40

(7) = 536/580 ? 0,9

(8) = 2036/580 ? 3,5

Определив значения “” мы можем провести расчет значений по формуле (2) для значений и известных за исследуемый период.

Y₁=40+0,9*13+3,5*5=69,2

Y₂=40+0,9*13+3,5*5=69,2

Y₃=40+0,9*13+3,5*5=69,2

Y₄=40+0,9*12+3,5*4=64,8

Y₅=40+0,9*12+3,5*4=64,8

Y₆=40+0,9*12+3,5*4=64,8

Y₇=40+0,9*10+3,5*4=63

Y₈=40+0,9*12+3,5*3=61,3

Y₉=40+0,9*10+3,5*3=59,5

Y₁₀=40+0,9*10+3,5*3=59,5

Y₁₁=40+0,9*10+3,5*3=59,5

Y₁₂=40+0,9*10+3,5*3=59,5

Сумма равна ? 768

Т.к. сумма , то расчет верен.

Расчет статической значимости уравнения регрессии

Расчет статической значимости уравнения регрессии приводим на основании критерия Фишера:

(9) где

-полная вариация зависимой переменной (прибыль), обусловленная вариацией неизвестных переменных (реклама и продавцы)

(10)

= 1/12*768=64

-вариация зависимой переменной (прибыль), обусловленная вариацией неизвестных факторов, не включенных в настоящее исследование



(11)

Для расчета вариации регрессии и остаточной стоимости к таблице 1 добавляем два столбца, соответственно, рассчитываем значения и , вычисляем значения выражений (10) и (11).

Т.к. мы провели расчеты правильно, то у нас получилось верное равенство:

(12) где:

(13)

- число степеней свободы числителя

=k

k - количество независимых переменных, в нашем примере k=2

- число степеней свободы знаменателя;

= 9 (15) =9



F=(172,33/2)/(14,73/9)=52,636

Найденное значение критерия Фишера F необходимо сравнить с табличным значением. Т.к. в нашем случае F>F_табл то связь между зависимой и переменной (прибыль) и не зависимыми переменными (реклама и продавцы) есть и является линейной статистической значимой, т. е. мы можем проводить исследование на предмет выяснения влияния каждой не зависимой переменной (реклама и продавцы) на зависимую переменную (прибыль).

Расчет статической значимости коэффициентов регрессии

Расчет статистической значимости коэффициентов регрессии проводим на основании критерия Стьюдента.

Расчет статистической значимости коэффициента

(16) где:

- стандартная ошибка коэффициента уравнения регрессии

(17) где

- см (11)

- средняя величина расходов на рекламу за 12 месяцев

=1/12*137=11,42



=?0,2791

?0,9/0,2791?3,2247

Расчет статистической значимости коэффициента

(18) где

- стандартная ошибка коэффициента уравнения регрессии

(19) где

- см (11)

- средняя величина количества продавцов за 12 месяцев

=1/12*46?3,833



=?0,4383

?3,5/0,4383?7,9854

Рассчитанные значения критерия Стьюдента сравниваем с табличным, аналогично критерию Фишера (смотри выше).

В нашем примере для определения табличного значения t - критерия необходимо воспользовался уравнением доверительности .

Полученные нами значения больше табличных.

Оценка тесноты связи

Теснота связи между переменными (x.y) определяется при помощи коэффициентов парной корреляции.

В нашем примере для рас чета парных коэффициентов корреляции воспользуемся встроенной функцией Excel:

Корреляция (уровень тесноты связи) между прибылью расходами на рекламе:

(21) где

значения y - известное значение прибыли

значения x- известные значения рекламных расходов;

Корреляция (уровень тесноты связи) между прибылью и количеством продавцом:

(22)

Корреляция (уровень тесноты связи) между расходами на рекламу и количеством продавцов

(23)

Определение связи между зависимой переменной и каждой не зависимой переменной при исключении эффекта влияния прочих переменных производится при помощи частных коэффициентов корреляции.

Частная корреляции между прибылью и расходами на рекламу при исключение эффекта влияния численности продавцов:

(24) = =

= -0,87035<0

Частная корреляция между прибылью и числом продавцов при исключение эффекта влияния рекламы

(25) = =

= -0,55934<0

Возведя в квадрат значения частной корреляции, мы получим значения частной детерминации, которая покажет нам тесноту связи между каждым из влияющих признаком (при неизменном другом) и зависимой переменной.

? 0,7575 - значение частной детерминации

? 0,3129 - значение частной детерминации

Теснота связи между зависимой (прибыль) и группой не зависимых (реклама и продавцы) переменных определяется при помощи коэффициента множественной детерминации:

(26) ?0,9566

Вывод: отрицательные значения частной корреляции между прибылью и расходами на рекламу при исключение эффекта влияния численности продавцов и частной корреляции между прибылью и числом продавцов при исключение эффекта влияния рекламы свидетельствует об обратной связи.

Коэффициент множественной корреляции R можно рассматривать как линейный коэффициент корреляции между и . Коэффициент множественной детерминации R² в нашем случае не меньше чем самое высокое значение r² любой независимой переменной с зависимой переменной, т.е. корреляция между независимыми переменными слабее. В нашем варианте независимые переменные статистически зависимы

Значение R² не может уменьшатся при добавление не зависимых переменных в уравнение регрессии. Поэтому R² корректируют с учетом количества не зависимых переменных и размера выборки, используя формулу:

Скорректированный R²= (27) ? 0,93773.

На основании расчета частной корреляции видим влияние расходов на рекламу в большей степени на эффективность производства, чем количество продавцов.