Основы гидростатики и гидродинамики, движение жидкости в напорных трубопроводах и в открытых руслах, насосы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пусть имеем элементарную струйку (рис. 17). Возьмем сечение 1-1 с площадью и скоростью движения частиц жидкости и1. Элементарный расход через сечение 1-1 [по формуле (67а), § 2.2] равен

.

Затем возьмем сечение 2-2 в этой же струйке с площадью сечения и скоростью u1. Элементарный расход через сечение 2-2 равен

.

Но по свойству элементарной струйки приток и отток жидкости через ее боковую поверхность невозможен (см. § 2.1); кроме того, в отсеке 12, который сохраняет неизменные размеры, не образуется пустот и не происходит переуплотнений; значит количества жидкости, протекающей н единицу времени через сечения 1-1 и 2-2, должны быть одинаковы, т.е. . Принимая во внимание, что сечения 1-1 и 2-2 приняты произвольно, можно в общем случае для элементарной струйки написать

,

или

. (69)

Это и есть уравнение неразрывности (сплошности) для элементарной струйки, которое читается так: элементарный расход жидкости при установившемся движении есть величина постоянная для всей элементарной струйки.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пусть теперь имеем поток жидкости (рис. 18). Взяв в потоке два произвольных сечения 1-1 и 2-2 и представив живые сечения их состоящими из суммы элементарных струек, можно написать - расход жидкости в сечении 1-1; - расход жидкости в сечении 2-2.

Но поскольку скорости касательны к боковой поверхности потока, то в отсек между сечениями 1-1 и 2-2 через боковую поверхность движения жидкости не происходит; не изменяется и объем отсека. Следовательно, в отсек через сечение 1-1 поступает столько же жидкости, сколько за то же время выходит . Но так как сечения 1-1 и 2-2 взяты произвольно, то можно написать, что или, выражая расход жидкости в сечениях через среднюю скорость v, получим

. (69')

Это и есть уравнение неразрывности для потока жидкости, которое читается так: расход жидкости через любое сечение потока при установившемся движении есть величина постоянная. Из уравнения (69) для двух сечений можно написать

, (70)

т.е. средние скорости потока обратно пропорциональны площадям соответствующих живых сечений.

5.5 Уравнение Д. Бернулли

Уравнение Даниила Бернулли является основным уравнением гидродинамики. Ниже разбирается это уравнение для установившегося плавно изменяющегося движения жидкости, с помощью которого решаются основные задачи гидродинамики. Введем понятия удельной энергии элементарной струйки и потока жидкости.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Удельная энергия элементарной струйки. Напомним, что удельная энергия есть энергия, отнесенная к единице силы тяжести жидкости. Пусть имеем в элементарной струйке частицу массой m, которая обладает некоторой скоростью и, находится под гидродинамическим давлением р, занимает некоторый объем V и находится от произвольной плоскости сравнения о-о на некоторой высоте z (рис. 20). Масса частицы обладает запасом удельной потенциальной энергии еп, которая складывается из удельных потенциальных энергий положения епол, и давления едав. В самом деле, масса жидкости, поднятая на высоту z, имеет запас потенциальной энергии, равный mgz, где g - ускорение свободного падения. Удельная потенциальная энергия положения равна потенциальной энергии, деленной на силу тяжести жидкости ()

. (а)

Масса жидкости занимает некоторый объем V, находящийся под давлением р. Потенциальная энергия давления равна рV. Удельная же потенциальная энергия давления равна потенциальной энергии pV, деленной на силу тяжести данного объема V, т.е.

. (б)

Полный запас удельной потенциальной энергии массы жидкости равен их сумме, т. е. и, учитывая выражения (а) и (б), напишем

. (в)

Кроме того, масса жидкости т движется со скоростью и и обладает кинетической энергией ; но сила тяжести этой массы равна mg, и удельная кинетическая энергия струйки равна

. (г)

Складывая выражения (в) и (г), получим выражение полной удельной энергии элементарной струйки

. (71)

Здесь - удельная кинетическая энергия;

- удельная потенциальная энергия давления и положения.

Полная удельная энергия потока Е складывается из удельной потенциальной энергии и удельной кинетической энергии Ек потока.

Для случая установившегося плавно изменяющегося движения жидкости удельная потенциальная энергия во всех точках живого сечения одинакова и равна

. (д)

Поток жидкости рассматривается как совокупность п элементарных струек, каждая из которых обладает своей удельной кинетической энергией . Эта величина различна для разных струек, образующих поток.

Определим среднее значение этой величины в сечении потока. Для этого действительные скорости элементарных струек u1, u2, ..., ип заменим средней скоростью потока v; тогда среднее значение удельной кинетической энергии потока в данном сечении равно

. (е)

Здесь - коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность распределения скоростей по сечению потока (или корректив кинетической энергии).

Безразмерный коэффициент представляет собой отношение действительной кинетической энергии потока к кинетической энергии, вычисленной по средней скорости. Если эпюра скоростей в сечении потока близка к прямоугольной, т.е. скорости в разных точках близки к средней, то коэффициент Кориолиса близок к единице. Если же скорости в сечении значительно различаются между собой, то и коэффициент оказывается значительно больше единицы.

Рассмотрим, например, поток глубиной Н = 6 м, в сечении которого скорости распределены по треугольнику, т.е. у дна скорость равна нулю и к поверхности нарастает по закону прямой до наибольшего значения ипов = 3 м/сек. Средняя скорость v = 1,5 м/сек, а соответствующая ей кинетическая энергия

м.

Оценим кинетическую энергию потока точнее. Для этого возьмем три точки на высоте h1 = 1м; h2 = 3 м и h3 = 5 м, которые лежат посредине слоев равной высоты по 2 м каждый. Скорость в этих точках соответственно и1 = 0,5; и2 = 1,5 и и3 = 2,5 м/сек. Вычислим кинетическую энергию по этим трем скоростям

м,

что больше, чем по средней скорости.

Коэффициент Кориолиса получается

.

На основе обработки многочисленных данных, полученных на реках и каналах, установлено, что для больших открытых потоков . При равномерном движении в трубах и каналах практически .

В дальнейшем, за исключением особо оговоренных случаев, для упрощения расчетов будем принимать . Однако следует помнить, что в некоторых случаях при неравномерном распределении скоростей значения могут быть значительно больше 1 (2 и более).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Складывая удельную кинетическую и удельную потенциальную энергии потока, получим формулу полной удельной энергии потока

,

а учитывая выражения (е) и (д), имеем

, (72)

т.е. полная удельная энергия потока равна сумме удельной кинетической и удельной потенциальной (давления и положения) энергий потока. Напомним, что все выводы сделаны для установившегося, плавно изменяющегося движения жидкости.

Уравнение Д. Бернулли для элементарной струйки. Выделим в установившемся потоке реальной жидкости элементарную струйку (рис. 21) и определим удельную энергию жидкости в двух произвольных сечениях 1-1 и 2-2. Высоты положения центров первого и второго сечений будут соответственно z1 и z2; гидродинамическое давление и этих же точках р1 и р2 скорости течения - и1 и и2. Тогда полная удельная энергия элементарной струйки в сечении 1-1 на основании формулы (71) равна

, (ж)

а в сечении 2-2

. (з)

Практически всегда , так как часть полной энергии затрачивается на преодоление сил сопротивления (трения) при движении жидкости от сечения 1-1 к сечению 2-2. Обозначим эти потери . Тогда в соответствии с законом сохранения энергии можно написать, что , и, учитывая выражения (ж) и (з), получим

. (73)

Уравнение (73) и есть уравнение Д. Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости при установившемся движении, которое устанавливает связь между скоростью движения, давлением в жидкости и положением точки в пространстве. Оно справедливо для любых двух сечений, так как сечения 1-1 и 2-2 были взяты произвольно. Уравнение (73) можно изобразить и графически (рис. 21). Если соединить уровни жидкости в пьезометрах, присоединенных к нескольким сечениям, получим некоторую линию р-р, которая называется пьезометрической линией и показывает изменение удельной потенциальной энергией по длине элементарной струйки. Если соединить точки, которые в каждом сечении вертикали изображают полную удельную энергию (а такие точки действительно можно получить, о чем см. ниже), получим некоторую линию N-N, которая называется напорной линией или линией энергии; она показывает изменение полной удельной энергии по длине струйки. Тогда расстояние по вертикали в любом сечении между горизонтальной плоскостью I-I, соответствующей начальному запасу удельной энергии в первом сечении, и напорной линией N-N дает величину потерь энергии hw на преодоление сил сопротивления на участке от первого сечения до данного сечения, а расстояние между напорной и пьезометрической линиями - удельную кинетическую энергию в данном сечении u2/2g.

Для идеальной жидкости, где отсутствуют силы трения, в уравнении (IV.7) hw= 0 и уравнение Бернулли принимает вид

. (73 / )

Но так как сечения 1-1 и 2-2 взяты произвольно, то в общем виде уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости записывается так:

. (73")

Уравнение Д. Бернулли для потока. Рассмотрим поток при установившемся, плавно изменяющемся движении (рис. 22). Выберем произвольно два сечения 1-1 и 2-2, по осям которых соответственно имеем z1 и z2 - вертикальные координаты оси потока над произвольной плоскостью сравнения о-о, р1 и p2 гидродинамические давления, в тех же точках v1 и v2 - средние скорости в сечениях 1-1 и 2-2.

Полную удельную энергию потока определяем по формуле (72): сечение 1-1

,

сечение 2-2

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

Очевидно , так как часть энергии потратится на преодоление сил сопротивления (трения). Обозначим потерю энергии на этом участке - . Тогда можно написать, что и, подставляя значения и , получим

. (74)

Уравнение (74) называется уравнением Д. Бернулли для потока жидкости и является основным уравнением гидродинамики; с его помощью получены многие расчетные формулы и решается ряд практических задач. Уравнение Бернулли устанавливает математическую связь между основными элементами движения жидкости, т. е. средней скоростью и гидродинамическим давлением.

5.6 Истолкование уравнения Д. Бернулли

Рассмотрим смысл уравнения Бернулли с точек зрения гидравлической, геометрической и энергетической.

Гидравлическое истолкование уравнения Д. Берн у л л и. С точки зрения гидравлики каждый член уравнения Бернулли (74) имеет свое название, а именно:

1. Первый член правой и левой частей уравнения Бернулли и называется скоростным напором в сечениях 1-1 и 2-2.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Скоростной напор можно наблюдать в действительности. Если например в точке А (рис. 23) рядом с пьезометром поставить изогнутую трубку, обращенную отверстием навстречу потоку, то уровень жидкости в этой трубке будет выше уровня в пьезометре на высоту, равную скоростному напору в той точке, где находится отверстие трубки . Эта трубка называется гидрометрической, или трубкой Пито. Зная разницу уровней в трубке Пито и пьезометре, можно определить скорость движения жидкости в этой точке.

2. Второй член правой и левой частей уравнения и называется пьезометрической высотой (если учитываем манометрическое давление), или приведенной высотой давления (если учитываем абсолютное давление). Как правило, в расчет принимается манометрическое давление, поэтому в дальнейшем будем называть пьезометрической высотой.

3. Третий член правой и левой частей уравнения и называется высотой положения точки живого сечения над плоскостью сравнения.

4. Четвертый член правой части уравнения hw называется потерей напора при движении жидкости между сечениями 1-1 и 2-2.

Напомним, что сумма пьезометрической высоты и высоты положения z во всех точках живого сечения установившегося, плавно изменяющегося потока одна и та же, т.е. и называется пьезометрическим напором.

Сумма скоростного напора и пьезометрического напора называется гидродинамическим напором

. (75)

Учитывая выражение (75), уравнение Д. Бернулли можно написать в следующем виде:

. (76)

Таким образом, с гидравлической точки зрения уравнение Д. Бернулли может быть прочитано так: гидродинамический напор в данном сечении потока жидкости равен гидродинамическому напору в другом сечении (лежащем ниже по течению) плюс потеря напора между этими сечениями.

Геометрическое истолкование уравнения Д. Берн у л л и. В связи с тем, что все члены уравнения Бернулли имеют линейную размерность, его можно представить графически (см. рис. 22), отложив в каждом сечении от плоскости сравнения о-о по вертикали отрезки, выражающие в определенном масштабе , и . Проведя между сечениями 1-1 и 2-2 линию рр по верхним точкам пьезометрического напора, получим так называемую пьезометрическую линию, которая показывает изменение пьезометрического напора по длине потока. Если расстояние между сечениями но длине потока равно l, то можно получить изменение пьезометрического напора на единицу длины потока. Обозначив эту длину Jp, называемую средним пьезометрическим уклоном на данном участке, получим

, (77)

т.е. пьезометрическим уклоном Jp называется безразмерная величина. показывающая изменение пьезометрического напора, приходящееся на единицу длины потока. Пьезометрический уклон Jp может быть величиной положительной - линия рр понижается по направлению движения, когда скорости вдоль потока растут; или отрицательной - линия рр повышается по направлению движения, когда скорости вдоль потока уменьшаются.

Проведя между сечениями 1-1 и 2-2 линию NN по верхним точкам гидродинамического напора, получим так называемую напорную линию, которая показывает изменение гидродинамического напора по длине потока. Поделив разность гидродинамических напоров в двух сечениях на расстояния между ними, получим средний гидравлический уклон

, (78)

но - потеря напора между сечениями 1-1 и 2-2; поэтому можно написать

, (78')

т. е гидравлическим уклоном потока называется безразмерная величина, показывающая изменение гидродинамического напора на единицу длины потока. Заметим, что I может быть только положительной величиной, так как напорная линия NN всегда понижается ввиду того, что потери напора по длине потока неизбежны.

Таким образом, с геометрической точки зрения уравнение Д. Бернулли можно прочитать так: напорная линия по длине потока всегда понижается, так как часть напора тратится на преодоление трения по длине поток.

Частный случай. При равномерном движении, когда скорость по длине потока не изменяется, напорная NN и пьезометрическая рр линии параллельны, так как во всех сечениях величина одна и та же.

Энергетическое истолкование уравнения Д. Берн у л л и. Принимая во внимание изложенное в § 2.5 и формулу (72), сумму членов уравнения Бернулли с энергетической точки зрения можно представить как сумму удельной кинетической и удельной потенциальной энергий в любом сечении потока при установившемся движении жидкости, а четвертый член уравнения hw как потерю механической энергии на преодоление сил трения при перемещении единицы массы жидкости от сечения 1-1 к сечению 2-2. В связи с этим линию NN можно назвать линией полной удельной энергии потока, а линию рр - линией удельной потенциальной энергии.

Гидравлический уклон с энергетической точки зрения необходимо рассматривать как уменьшение полной удельной энергии на единицу длины потока.

5.7 Практическое применение уравнения Д. Бернулли

При применении уравнения Д. Бернулли для решения практических задач гидравлики следует помнить два основных условия:

1. уравнение Бернулли может быть применено только для тех живых сечений потока, в которых соблюдаются условия плавно изменяющегося движения. На участках между выбранными сечениями условия плавно изменяющегося движения могут и не соблюдаться;

2. гидродинамическое давление и, следовательно, высоту положения z можно относить к любой точке живого сечения, так как для любой точки живого сечения потока при плавно изменяющемся движении есть величина постоянная. Обычно двучлен удобно отнести для упрощения решения задач к точкам или на свободной поверхности, или на оси потока.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Разберем применение уравнения Бернулли на примере простейшего водомерного устройства в трубах водомера Вентури (рис. 24.); он представляет собой вставку в основную трубу диаметром D трубы меньшего диаметра d, которая соединена с основной трубой коническими переходами.

В основной трубе сечение 1-1 и в суженном сечении сечении 2-2 присоединены пьезометры, по показаниям которых можно определить расход жидкости в трубе Q.

Выведем общую формулу водомера для определения расхода в трубе. Составим уравнение Бернулли для точек, расположенных в центре тяжести сечений 1-1 перед сужением и 2-2 в горловине, приняв плоскость сравнения по оси трубы о-о. Для наших условий , .

Потери напора в сужении ввиду малости расстояния между сечениями считаем равными нулю, т.е. .

Тогда уравнение Бернулли (74) запишется так:

, или .

Но из рис. 24 , поэтому

. (а)

В уравнении (а) две неизвестные величины и . Составим второе уравнение, используя уравнение неразрывности (70)

,

откуда

.

Подставляя в уравнение (а), получим

.

Отсюда скорость течения в основной трубе (сечение 1-1) равна

,

расход жидкости в трубе по формуле IV.2:

или

.

Обозначим постоянную величину для данного водомера через К

, (79)

тогда

.

Однако при выводе этой формулы не учитывались потери напора в водомере, которые в действительности будут. С учетом потерь напора формула расхода водомера Вентури запишется так:

, (80)

где - коэффициент расхода водомера, учитывающий потери напора в водомере. Для новых водомеров ; для водомеров, бывших в употреблении, .

Таким образом, для определения расхода в трубе достаточно замерить разность уровней воды в пьезометрах и подставить ее значение в формулу (80).

5.8 Виды гидравлических сопротивлений и потери напора

Выше были получены два основных уравнения гидродинамики: уравнение сохранения энергии (уравнение Д. Бернулли), связывающее средние скорости и давления, и уравнение неразрывности потока (сохранения массы) для несжимаемой жидкости, которые были записаны в следующем виде:

;

.

При решении некоторых задач вполне достаточно этих уравнений, если пренебречь потерями энергии (напора) hw, так как расход Q и полный напор H обычно заданы или могут быть определены.

Но большинство задач нельзя решить, если пренебречь потерями напора hw. В таких случаях имеются два уравнения и три неизвестных v, р и hw.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для решения таких задач необходимо составить третье уравнение, связывающее между собой неизвестные величины. Наиболее подходящим, очевидно, будет уравнение, дающее зависимость hw от скорости v.

При движении потока между жидкостью и стенками, ограничивающими поток, возникают силы сопротивления. Кроме того, вследствие вязкости жидкости между ее отдельными слоями возникают силы сцепления, которые также затормаживают движение потока. Скорость движения частиц жидкости уменьшается по мере по мере удаления от оси потока к стенкам трубы, лотка и т. д. Равнодействующая сил сопротивления параллельна оси потока и направлена в сторону, противоположную направлению движения (рис. 25).

Для преодоления сил гидравлического трения и сохранения поступательного движения жидкости необходимо приложить силу, направленную в сторону движения и равную силам сопротивления. Работу этой силы называют потерями напора по длине потока (путевые потери напора) и обозначают через .

Сети трубопроводов, распределяющие или отводящие жидкость от потребителей, меняют свой диаметр (сечение); на сетях устраиваются повороты, ответвления, устанавливаются запорные устройства и т. п. В этих местах поток меняет спою форму, резко деформируется. Вследствие изменения формы возникают дополнительные силы сопротивления, так называемые местные сопротивления. На их преодоление расходуется напор. Напор, затрачиваемый на преодоление местных сопротивлений, называют местными потерями напора и обозначают через .

Общие потери напора равны сумме потерь напора по длине и местных

. (81)

Размерность потерь напора такая же, как и напора, т. е. метры столба жидкости.

5.9 Режимы движения жидкости. Число Рейнольдса

Размещено на http://www.allbest.ru/

В зависимости от рода жидкости, скорости ее движения и характера стенок, ограничивающих поток, различают два основных режима движения: ламинарный и турбулентный. Ламинарным называют упорядоченное движение, когда отдельные слои скользят друг по другу, не перемешиваясь (рис. 26, а).

Ламинарный режим движения можно наблюдать чаще у вязких жидкостей, таких как нефть, масла и т. п.

Турбулентным называют режим, при котором наблюдается беспорядочное движение, когда частицы жидкости движутся по сложным траекториям и слои жидкости постоянно перемешиваются друг с другом (рис. 26, б).

Существование двух режимов движения жидкости было замечено в 1839 г. Хагеном и в 1880 г. Д. И. Менделеевым.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Достаточно полные лабораторные исследования режимов движения и вопрос их влияния на характер зависимости потерь напора от скорости впервые исследовал английский физик Рейнольдс.

Установка Рейнольдса для исследования режимов движения жидкости пред ста влена на рис. 27. Сосуд А заполняется испытуемой жидкостью. К сосуду А в нижней его части присоединена стеклянная трубка 1 с краном 2, которым регулируется скорость течения в трубке. Над сосудом А расположен сосуд Б с раствором краски. От сосуда Б отходит трубка 3 с краном 4. Конец трубки 3 заведен в стеклянную трубку 1. Для пополнения сосуда А служив трубка 5 с запорным устройством 6.

При ламинарном режиме движения жидкости по трубке 1 струйка раствора краски, истекающей из трубки 3, имеет вид четко вытянутой нити вдоль трубки 1.

По мере открытия крана 2 увеличивается скорость движения и режим движения переходит в турбулентный, при этом струйка приобретает волнообразный характер, а при еще большей скорости совсем размывается и смешивается с жидкостью в трубке. При постепенном закрытии крана эти явления протекают в обратном порядке, т. е. турбулентный режим сменяется ламинарным.

Опыты показали, что переход от турбулентного режима к ламинарному происходит при определенной скорости (эта скорость называется критической), которая различна для разных жидкостей и диаметров труб; при этом критическая скорость растет с увеличением вязкости жидкости и с уменьшением диаметра труб.

Рейнольдсом и рядом других ученых опытным путем было установлено, что признаком режима движения является некоторое безразмерное число, учитывающее основные характеристики потока

, (82)

где - скорость, м/сек; R - гидравлический радиус, м; v - кинематический коэффициент вязкости, м2/сек.

Это отношение называется числом Рейнолъдса. Значение числа Re, при котором турбулентный режим переходит в ламинарный, называют критическим числом Рейнолъдса ReKp.

Если фактическое значение числа Re, вычисленного по формуле (82), будет больше критического Re > ReKp - режим движения турбулентный, когда Re < ReKp - режим ламинарный.

Для напорного движения в цилиндрических трубах удобнее число Рейнольдса определять по отношению к диаметру d, т. е.

, (82')

где d - диаметр трубы.

В этом случае ReKp получается равным ~2300. Если в формуле (82') для трубопроводов круглого сечения d выразить через гидравлический радиус , то получим ReKp=575. Для других трубопроводов и каналов некруглых сечений можно принимать значение критического числа Рейнольдса ReKp=300 (при вычислении Re через гидравлический радиус).

5.10 Потери напора по длине потока

Рассмотрим характер распределения скоростей в сечении потока при ламинарном и турбулентном режимах движения жидкости. Как показали теоретический анализ и опыты при ламинарном режиме движения жидкости в круглой трубе, скорости в поперечном сечении распределены по параболе (рис. 28), скорости у стенок трубы равны нулю и, плавно увеличиваясь, достигают максимума на оси потока.

При ламинарном режиме движения существуют лишь продольные составляющие скоростей. В этом случае силы сопротивления движению возникают вследствие трения между слоями жидкости, т. е. зависят от вязкости жидкости и не зависят (почти) от состояния стенок.

Размещено на http://www.allbest.ru/

При турбулентном режиме закон распределения скоростей по живому сечению более сложен; в большей части сечения скорости близки к средней и резко падают в тонком слое у стенок, доходя до нуля. График распределения скоростей по сечению близок к трапеции (рис. 29). Такое распределение скоростей вызывается турбулентным перемешиванием в результате поперечных перемещений частиц. Быстро движущиеся частицы жидкости из средней части потока сталкиваются с медленно движущимися частицами вблизи стенок, благодаря чему и происходит выравнивание скоростей. И только в пограничном слое, где стенки препятствуют перемешиванию, скорость резко убывает.

Экспериментально подтверждается, что при турбулентном режиме движении потери напора по длине зависят от состояния стенок, ограничивающих поток. Если пропускать по трубе жидкость с различными скоростями, начиная с ламинарного режима и постепенно переходя к турбулентному, и одновременно измерять потери напора, то можно получить график зависимости потерь напора от скорости (рис. 30). График показывает, что при скорости меньше некоторого предела потери напора прямо пропорциональны первой степени скорости (на графике участок 0-1).

Как и следовало ожидать, этот предел соответствует критической скорости

(83)

Размещено на http://www.allbest.ru/

После перехода от ламинарного режима к турбулентному потери напора растут пропорционально скорости в степени, большей единицы (на графике участок кривой 2-3). Переход от ламинарного режима к турбулентному может происходит и при числах Рейнольдса, больших критического.

Обратный же переход от турбулентного режима к ламинарному осуществляется при почти одинаковом значении , которое и считается критическим.

Потери напора на трение по длине потока, возникающие при равномерном напорном движении жидкости в трубах, определяют по уравнению

, (84)

где l - длина участка трубы, м; d - внутренний диаметр трубопровода, м; v - средняя скорость потока, м/сек; g - ускорение свободного падения, м/сек2; - безразмерный коэффициент гидравлического трения.

Впервые формула (84) была получена эмпирическим путем в XIX в. и названа формулой Дарси-Вейсбаха. В дальнейшем указанная формула проверена теоретически на основе метода анализа размерностей.

В уравнении (84) остается не выясненным смысл безразмерного коэффициента . Для выяснения физического смысла коэффициента при равномерном напорном движении жидкости в трубах как при ламинарном, так и при турбулентном режимах движения используем уравнение Д. Бернулли. Помня, что при равномерном напорном движении средняя скорость и распределение истинных скоростей по сечениям должны быть неизменными по длине трубопровода и составляя уравнение Д. Бернулли для двух сечений, можем записать

. (85)

При горизонтальном расположении трубы и тогда



Размещено на http://www.allbest.ru/

. (86)

Для уточнения вопроса о потерях напора выделим в трубопроводе между сечениями 1-1 и 2-2 соосный цилиндр с радиусом а и длиной l (рис. 31).

Как оговорено выше, распределение скоростей в сечениях 1-1 и 2-2 одинаково, частицы жидкости двигаются без ускорений.

Напишем уравнение динамического равновесия рассматриваемого цилиндра

,

где - касательное напряжение (трения) на поверхности цилиндра.

Поделив обе части уравнения на , получим

.

Подставляя из уравнения (86) значение , имеем

, (87)

или

. (88)

Выразим из уравнения (88)

(89)

(так как ).

У стенки трубы, где , значение равно

(90)

и тогда

. (91)

Уравнение (91) есть общее выражение потерь напора при равномерном движении жидкости в трубах. Подставляя в уравнение (91) значения , и , получим

. (92)

Замечаем, что имеет размерность квадрата скорости.

Обозначим

, (93)

где - называется скоростью касательного напряжения на стенке, или динамической скоростью. Тогда уравнение (92) примет вид

. (94)

Из уравнения (94) находим, что

. (95)

Таким образом, коэффициент гидравлического трения прямо пропорционален отношению квадратов динамической и средней скоростей.

Потери напора при ламинарном движении. На основе изложенного выше для потерь напора по длине при ламинарном режиме движения жидкости в трубе получено следующее уравнение:

, (96)

где -абсолютный коэффициент вязкости жидкости, ; - длина трубопровода, м; v - средняя скорость, м/сек; - удельный вес жидкости, кгс/м3; - диаметр трубопровода, м.

Так как , а , то вместо формулы (96) получим

. (97)

Выражение (97) называют формулой Пуазейля-Гагена (по имени ученых, получивших это уравнение).

Формула (97) показывает, что при ламинарном режиме потери напора пропорциональны средней скорости и не зависят от состояния стенок трубопровода.

Приравняв правые части уравнения Дарси-Вейсбаха (84) и выражения (97), получим

. (98)

Таким образом, коэффициент гидравлического трения при ламинарном режиме обратно пропорционален числу Рейнольдса.

Потери напора при турбулентном движении. В инженерной практике чаще встречается турбулентный режим движения жидкости в трубах, которые труднее исследовать теоретически. Этот вопрос подвергся наиболее широким опытным исследованиям как со стороны советских, так и зарубежных ученых. Из-за сложности процессов, протекающих при турбулентном режиме, до сих пор не создано окончательной теории, которая бы вытекала из основных уравнений гидродинамики и согласовывалась с опытом. Напомним, что при турбулентном режиме наблюдается интенсивное вихреобразование, частицы жидкости описывают сложные траектории, местные скорости меняются во времени даже при постоянном расходе. Это явление называется пульсацией скорости. Часть кинетической энергии жидкости переходит в тепловую. Установившегося движения в строгом смысле нет. Поэтому введено понятие об осредненной скорости.

Мгновенные скорости пульсируют около своего осредненного значения, которое за достаточно длительный промежуток времени остается постоянным; это значение и называется осредненной скоростью. В дальнейшем, говоря о скоростях, рассматривая турбулентное движение, будем подразумевать осредненные скорости.

Опытами установлено, что закон распределения осредненных скоростей по сечению и потери напора зависят от диаметра труб, средней скорости, вязкости жидкости и шероховатости стенок труб. В свою очередь характер шероховатости зависит от материала стенок труб, степени обработки, а последние определяют высоту выступов, их густоту и форму. Для приближенной оценки введено понятие средней высоты бугорков (выступов) шероховатости, называемой абсолютной шероховатостью и обозначаемой k. Очевидно, что чем меньше диаметр, тем быстрее частицы жидкости совершат пробег от центра трубопровода к стенкам и встретятся с бугорками шероховатости, и, отражаясь от них, вызовут возмущения в потоке жидкости. Следовательно, частота вихреобразования при малых диаметрах труб больше, и шероховатость той же высоты проявляется сильнее. Поэтому введено понятие относительной шероховатости, т. е. отношение абсолютной шероховатости к диаметру трубы .

Экспериментами установлено, что коэффициент гидравлического трения в формуле Дарси-Вейсбаха, а соответственно и потери напора по длине зависят от числа Рейнольдса и от относительной шероховатости. Это вытекает и из теоретических исследований. Поэтому усилия как советских, так и зарубежных ученых были направлены на выявление характера этой зависимости. Было установлено, что при больших числах Рейнольдса и высокой шероховатости коэффициент гидравлического трения в трубах совсем не зависит от вязкости жидкости (числа Рейнольдса), а зависит только от относительной шероховатости (в этих условиях трубы и русла называют вполне шероховатыми). Трубы же, в которых коэффициент зависит только от числа Рейнольдса и не зависит от относительной шероховатости, что бывает при сравнительно малых Re и k/d, называют гидравлически гладкими. При этом один и тот же трубопровод в одних условиях может быть гидравлически гладким, а в других - вполне шероховатым. Условия, в которых зависит и от числа Рейнольдса и от относительной шероховатости, называются переходной областью. Это объясняется тем, что при малых числах Рейнольдса вблизи стенок сохраняется сравнительно толстый ламинарный слой, и выступы шероховатости обтекаются жидкостью без образования и отрыва вихрей. Свойства поверхности стенок трубопровода в этом случае не влияют на сопротивление, и зависимость выражается в логарифмических координатах прямой (см. рис. 30).

С увеличением числа Рейнольдса ламинарный слой становится тоньше и не покрывает выступов шероховатости; при этом от выступов шероховатости начинают отрываться вихри, и свойства поверхности оказывают влияние на сопротивление движению; график зависимости отклоняется от прямой и переходит в кривую второго порядка.

Так как на характер сопротивлений оказывает влияние не только относительная шероховатость, но и форма и распределение выступов по поверхности, то в практику расчетов было введено понятие об эквивалентной равнозернистой шероховатости kэ. Под ней понимают такую высоту выступов шероховатости, сложенной из песчинок одинакового размера, которая дает при подсчетах одинаковое с заданной шероховатостью значение коэффициента гидравлического трения .

5.11 Потери напора в местных сопротивлениях

Местные потери напора вызываются сопротивлениями в арматуре, фасонных частях и оборудовании, вследствие сужения и расширения потока, изменения направления движения жидкости, слияния и разделения потока и т. п.

Потери на преодоление местных сопротивлений в наружных сетях водопровода обычно не превышают 10-15%, во внутренних сетях - 30% от потерь напора по длине.

Однако местные потери напора в некоторых видах инженерных сетей могут достигать значительной величины: так, например, в системах отопления зданий - до 40%, в воздуховодах вентиляционных систем и пневмотранспорта - до 60-70% от потерь напора по длине.

Местные потери напора определяют как произведение скоростного напора непосредственно вблизи местного сопротивления , по формуле

. (99)

Общей теории для определения коэффициентов местных сопротивлений, за исключением отдельных случаев, нет. Поэтому коэффициенты местных сопротивлений, как правило, находят опытным путем. Значения их для различных элементов трубопроводов приводятся в технических справочниках. Иногда местные сопротивления выражают через эквивалентную длину прямого участка трубопровода . Эквивалентной длиной называют такую длину прямого участка трубопровода данного диаметра, потери напора в котором при пропуске данного расхода равны рассматриваемым местным потерям. Приравнивая формулы Дарси-Вейсбаха и (99), имеем

, (100)

получаем

, (101)

Или

. (102)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Внезапное расширение потока (рис. 32). Этот случай поддается теоретическому обоснованию. Из опытов установлено, что поток жидкости, вытекающий из узкой трубы, не сразу заполняет все сечение широкой трубы; он отрывается от стенок и дальше двигается в виде расширяющейся струи. В кольцевом пространстве между струей и стенками трубы жидкость образует завихрения. На некотором расстоянии l от расширения трубопровода струя вновь заполняет все сечение. В результате вихревых движений жидкости между сечениями 1-1 и 2-2 идет постоянный обмен между струей и жидкостью в кольцевом пространстве. В результате этих явлений происходит переход механической энергии в тепловую, что и является причиной потерь напора.

Рассмотрим внезапное расширение трубы с горизонтальной осью. Потеря напора на внезапное расширение равна

. (103)

Разность давлений найдем, применив уравнение количества движения к отсеку жидкости между сечениями 1-1 и 2-2. За время t через сечения 1-1 и 2-2 протечет масса жидкости , количество движения которой в сечении 1-1, где скорость равно , а в сечении 2-2 - , т. к. , то изменение количества движения протекшей массы составит

. (а)

Это изменение количества движения равно импульсу сил давления. Эти силы следующие: в сечении 1-1, где давление , сила давления направлена в сторону течения и равна (считается, что давление действует и на поперечной стенке). Сила давления в сечении 2-2 направлена против течения и равна . Суммарный импульс этих сил за время t составляет

. (б)

В соответствии с теоремой о количестве движения приравниваем выражения (а) и (б)

Отсюда после деления на и на и перемены знаков получаем

, (104)

так как .

Подставляя правую часть равенства (б) в выражение (а), имеем

, (105)

или окончательно

, (106)

т. е. потери напора при внезапном расширении равны скоростному напору от потерянной скорости. Уравнение (106) называется формулой Борда.

Для выявления значения коэффициента местного сопротивления из уравнения (106) вынесем за скобки

,

или

. (107)

Заменяя скорости через площади живых сечений из уравнения неразрывности , получим

. (108)

Полученные уравнения (107) и (108) для значения хорошо согласуются с опытами.

Уравнение (108) представлено в виде графика на рис. 33.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Постепенное расширение трубопровода. Плавно расширяющийся трубопровод - диффузор (рис. 34) широко применяется в технике. При течении жидкости по диффузору значительно меньше, чем при внезапном расширении. У стенок диффузора также образуются завихрения. Чем больше угол конусности трубопровода, тем больше вихреобразование и соответственно больше потери напора. Потерями по длине в данном случае пренебрегать нельзя.

Таким образом, потери напора в диффузоре равны сумме потерь на расширение и на трение по длине

. (109)

Потеря напора на расширение может быть найдена по формуле (106) с введением поправочного коэффициента Ксм, называемого коэффициентом смягчения, который зависит от угла конусности

. (110)

Коэффициент местного сопротивления в этом случае определится по формуле

; (111)

Ксм при <20° можно принять равным , a при значение коэффициента Ксм следующие:

Угол конусности,	4	8	15	30	60
……..	0,08	0,16	0,35	0,80	0,90

Потери напора на трение по длине определяют по формуле

, (112)

Таким образом, суммарный коэффициент местного сопротивления для диффузора равен

. (113)

Наименьшие потери напора в диффузоре получаются при угле расширения его в пределах от 5 до 10°.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Постепенное сужение трубопровода. Постепенно сужающиеся участки трубопроводов (конфузоры) также нашли широкое применение в практике (рис. 35).

При постепенном сужении сечения скорость вдоль трубопровода возрастает, а давление падает. Отрыв потока от стенок в этом случае возможен только на выходе из конфузора в цилиндрическую часть трубопровода. Поэтому при одинаковых гидравлических характеристиках и размерах местные сопротивления в конфузоре меньше, чем в диффузоре.

Потери в конфузоре также равны сумме потерь на постепенное сужение и на трение по длине

. (114)

Потери напора по длине можно определять по формуле (112).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Потери напора на сужение существенными будут при , и их можно определить по формуле

, (115)

где

. (116)

Здесь - коэффициент местного сопротивления при внезапном сужении; Ксуж - коэффициент смягчения, учитывающий плавное сужение, который зависит от угла конусности .

График распределения скоростей при структурном режиме изображен на рис. 37.

Для определения скоростей по сечению потока теоретическим путем получена следующая формула

, (117)

где - разность давлений в начале и конце трубопровода; - абсолютная вязкость жидкости; - длина трубопровода; - радиус трубопровода; - расстояние от оси трубопровода до слоя жидкости, у которого определяется скорость; - первоначальное напряжение сдвига.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для определения скорости в ядре сечения необходимо принять , тогда

. (118)

Расход жидкости определяется по формуле Букингама, полученной теоретически

. (119)

где - приложенная разность давлений; - разность давлении, соответствующая началу движения, определяемая по уравнению .

Потери напора при движении аномальных (неньютоновских) жидкостей можно определять по уравнению Дарси-Вейсбаха (84), что подтверждено исследованиями Б. С. Филатова. Обычно режим движения турбулентный, и значение принимают в пределах от 0,017 до 0,025, при этом принимают тем больше, чем меньше концентрация раствора.

При производстве земляных работ получил широкое применение метод гидромеханизации. Грунт размывается струей воды, засасывается землесосом и транспортируется по трубам в отвал или к месту намыва грунта. Смесь воды с размельченным грунтом называется пульпой, или гидросмесью, а трубы по которым перекачивается пульпа, - пульповодами.

При некоторой достаточно малой скорости частицы грунта начинают осаждаться и заилять трубопровод. Эта скорость называется критической. Обычные формулы гидравлики, приведенные выше для трубопроводов с водой к пульпопроводам не применимы.

Гидравлический расчет пульповодов заключается в определении критических скоростей и потерь напора. Проф. А. П. Юфин предложил следующие эмпирические формулы.

Для критической скорости:

а) в трубопроводах диаметром до 200 мм

; (120)

б) в трубопроводах диаметром больше 200 мм

, (121)

где d - диаметр трубопровода, м; - средний диаметр твердых частиц, мм; - основание натуральных логарифмов; - удельный вес пульпы; - удельный вес воды; ; - так называемая «гидравлическая крупность», т. е. скорость падения частиц в спокойной воде.

Для потерь напора:

а) при критической скорости

; (122)

б) при скорости выше критической

, (123)

где - длина трубопровода; - ускорение свободного падения; - потери напора в трубопроводе при движении чистой воды при том же расходе; - потери напора при движении пульпы с критической скоростью; .

Остальные обозначения те же.

6. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ, НАСАДКИ

6.1 Классификация отверстий и их практическое применение

Вопрос истечения жидкости через отверстия является одним из узловых моментов гидравлики. Ученые и инженеры изучали этот вопрос начиная с XVII в. Уравнение Д. Бернулли впервые было выведено при решении одной из задач на истечение жидкости из отверстия. При расчетах диафрагм, дырчатых смесителей, наполнении и опорожнении резервуаров, бассейнов, водохранилищ, шлюзовых камер и других емкостей решаются задачи на истечение жидкостей через отверстия. При решении этих задач определяют скорости и расходы жидкостей.

Экспериментально установлено, что при истечении жидкости из отверстий происходит сжатие струи, т. е. уменьшение ее поперечного сечения. Форма сжатой струи зависит от формы и размеров отверстия, толщины стенок, а также от расположения отверстия относительно свободной поверхности, стенок и дна сосуда, из которого вытекает жидкость. Сжатие струи происходит вследствие того, что частицы жидкости подходят к отверстию с разных сторон и по инерции движутся в отверстии по сходящимся траекториям.

Параллельное течение струй в отверстии возможно только в том случае, когда толщина стенок сосуда близка к размерам отверстия, а стенки отверстия имеют плавные очертания, с расширением внутрь сосуда. При этом отверстие превращается в коноидальный осадок (см. ниже).

Отверстия классифицируют следующим образом:

1.По размеру.



Размещено на http://www.allbest.ru/

а) малые отверстия, когда или (рис. 38), где - диаметр круглого отверстия; - напор; - разность напоров при затопленном отверстии;

б) большие отверстия, когда или .

2. По толщине стенки, в которой сделано отверстие:

а) отверстия в тонкой стенке, когда или , где t - толщина стенки;

б) отверстия в толстой стенке, когда или .

3.Поформеразличают круглые, квадратные, прямоугольные, треугольные и другие отверстия.

6.2 Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне

Размещено на http://www.allbest.ru/

Выведем формулы скорости и расхода жидкости при истечении через малое отверстие. Пусть жидкость вытекает из большого резервуара через малое отверстие в его дне или стенке (рис. 39).

Опытами установлено, что сжатое сечение струи находится от внутренней поверхности резервуара на расстоянии около половины диаметра отверстия. Эта величина обычно бывает мала сравнительно с напором Н в резервуаре, и можно считать, что центр отверстия и центр сжатого сечения струи находятся на одинаковой высоте, тем более при отверстии в боковой стенке.

Высоту уровня жидкости в резервуаре Н над центром отверстия называют геометрическим напором. В общем случае давление в резервуаре отличается от давления в пространстве, куда истекает жидкость.

Проведем плоскость сравнения 2-2 через центр сжатого сечения струи.

Уравнение Д. Бернулли применить к сечению отверстия нельзя, так как струйки в последнем сходятся под большими углами, и движение жидкости в нем не плавно изменяющееся.

Напишем уравнение Д. Бернулли для сечений 1-1 и 2-2

, (124)

где - скорость подхода жидкости к отверстию в резервуаре; - средняя скорость течения в сжатом сечении; - коэффициент местного сопротивления при истечении через отверстие.

Перенесем наружное давление в левую часть и обозначим величину

. (125)

Эта величина называется напором истечения.

В правой части уравнения (124) вынесем за скобки . Тогда уравнение Д. Бернулли сведется к

,

откуда

.

Обозначим величину

. (126)

Величину называют коэффициентом скорости.

С учетом введенного обозначения

. (127)

Так как коэффициент Кориолиса , а коэффициент местных потерь напора в отверстии , то . По опытным данным , а . Отсюда

.

Для идеальной жидкости и . Тогда

. (128)

Это уравнение называется формулой Торичелли. Оно показывает, что скорость в начале вытекающей струи равна скорости свободного падения тела, упавшего с высоты .

Когда поперечное сечение резервуара много больше площади живого сечения отверстия, а скорость жидкости в резервуаре незначительна (к примеру, меньше 0,1 м/сек), то скоростным напором можно пренебречь. В случае, когда давления снаружи и в резервуаре одинаковы , то весь напор истечения сводится к геометрическому напору, т. е. . Это бывает обычно при расчете истечения из открытых резервуаров в атмосферу.

Расход жидкости определится как произведение скорости истечения на площадь сжатого сечения струи

, (129)

где - коэффициент сжатия струи, равный отношению площади сжатого сечения к площади отверстия .

Величину обозначают через и называют коэффициентом расхода.

Таким образом, расход жидкости, вытекающей через отверстие, определяют по формуле

. (130)

При точных измерениях размеров сжатого сечения струи установлено, что при совершенном сжатии струи . В этом случае . В общем же случае коэффициент расхода зависит от условий сжатия.

При истечении не в газовую среду, а в смежный резервуар с той же жидкостью (что принято называть истечением «под уровень»), т. е. когда отверстие затоплено с обеих сторон, в качестве геометрического напора Н принимают разность уровней жидкости в резервуарах. Числовые значения коэффициентов , и остаются при этом практически теми же.

В случае круглого отверстия, расположенного на значительном расстоянии от стенок, струя сжимается со всех сторон одинаково, и в сжатом сечении имеет также форму круга; при этом сжатое сечение находится от кромок отверстия на расстоянии около половины диаметра отверстия - . Величина коэффициента сжатия зависит от относительных размеров отверстия и от положения его относительно стенок резервуара и поверхности жидкости.

В зависимости от расположения отверстия различают следующие виды сжатия (рис. 40):

1) полное сжатие со всех сторон (отверстия 1 и 2);

Размещено на http://www.allbest.ru/

2) неполное, когда сжатия нет с одной или нескольких сторон (отверстия 3, 4 и 5).

Полное сжатие подразделяют на:

а) совершенное, когда и (отверстие 1);

б) несовершенное, когда и (отверстие 2).

Форма сечения струи жидкости при истечении претерпевает изменения.

Эти изменения называются инверсией. Инверсия происходит вследствие того, что скорости подхода к отверстию в разных точках его периметра различны и вследствие сил поверхностного натяжения. На рис. 41 показано изменение формы струи при истечении через квадратное отверстие по мере удаления от резервуара.

При несовершенном сжатии коэффициент расхода вычисляют по формулам:

Размещено на http://www.allbest.ru/

для круглых отверстий

(131)

для прямоугольных отверстий

(132)

где - значение коэффициента расхода при совершенном сжатии; и - поправочные коэффициенты, зависящие от отношения площади сечения отверстий к площади сечения сосуда . Значения этих коэффициентов принимают по таблице:

Значение величин и при несовершенном сжатии

	0,10	0,20	0,30	0,40	0,50	0,60	0,70	0,80	0,90	1,00
	0,014	0,034	0,059	0,092	0,134	0,189	0,26	0,351	0,471	0,631
	0,019	0,042	0,071	0,107	0,152	0,208	0,278	0,365	0,473	0,608

При неполном сжатии коэффициент расхода вычисляют по уравнениям:

для круглых отверстий

; (133)

для прямоугольных отверстий

, (134)

где - коэффициент расхода при полном сжатии; - часть периметра, на котором нет сжатия; Р - полный периметр отверстия.

При расчете больших отверстий значения коэффициентов расхода, рекомендованных Н. Н. Павловским, приведены в таблице:

Значения коэффициентов расхода для больших отверстий

Виды отверстий и характер сжатия струи	коэффициент расхода
Большие отверстия с несовершенным, но всесторонним сжатием	0,70
Большие отверстия с умеренным боковым сжатием, без сжатия по дну	0,80
Средние отверстия (шириной до 2 м) с весьма слабым боковым сжатием, без сжатия по дну ……….	0,90
Большие отверстия (шириной 5-6 м) с весьма слабым боковым сжатием, без сжатия по дну …………	0,95

6.3 Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при переменном уровне

Истечение жидкости при переменном уровне встречается пр;: опорожнении и наполнении резервуаров, цистерн, шлюзовых камер, бассейнов и других емкостей. Обычно в этом случае необходимо определить время опорожнения или наполнения емкости.

Рассмотрим случай опорожнения резервуара через донное отверстие в атмосферу (рис. 42). Пусть резервуар призматического сечения и имеет площадь . Очевидно, движение жидкости будет неустановившимся, так как уровень е течением времени опускается, что вызывает постоянное уменьшение расхода.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Выберем какой-то момент времени, в который уровень жидкости в резервуаре будет у. За бесконечно малый промежуток времени dt уровень жидкости уменьшится на величину dy (за этот промежуток времени движение можно считать установившимся). За что время вытечет объем жидкости, равный

, (135)

или

. (136)

Выражая тот же объем жидкости через размеры резервуара, имеем

. (137)

Знак минус поставлен потому, что dy величина отрицательная (снижение уровня), а объем должен быть величиной положительной.