Властивості харчових продуктів. Загальні закономірності технологічних процесів харчових виробництв

,

де - значення фізичних величин (у даному випадку - густини) у першому процесі; - їхні значення у другому процесі, подібному до першого; - константа подібності фізичної величини (густини).

Подібність початкових і граничних умов припускає, що відношення основних параметрів на початку та на межі натури і моделі є відповідно величинами постійними. Іншими словами, для початкових і граничних умов повинні дотримуватись геометрична, часова і фізична подібності.

Відношення схожих величин у межах кожної системи (натури і моделі) при їх подібності буде також постійним і безрозмірним, тобто відношення геометричних розмірів, часу і фізичних констант у даній системі дорівнюють відношенням тих же величин у подібній системі.

Можна записати:

,

що означає інваріантне, чи “те саме”. Величина називається інваріантом геометричної подібності. Аналогічно визначаються інваріанти часової подібності та подібності фізичних величин.

Інваріанти подібності, які представляють відношення простих однорідних величин, називаються симплексами. Якщо інваріанти подібності виражені відношенням складних різнорідних величин, то вони називаються критеріями (ознаками) подібності.

Критерії подібності становлять безрозмірні узагальнені характеристики процесу, які складаються з розмірних фізичних величин, що відображають явища з різних боків. Критерії одержують з рівнянь, що описують фізичну сутність явищ. Будь-яка комбінація критеріїв подібності є також критерієм подібності. Критерії як правило позначаються двома першими буквами прізвищ учених, відомих своїми роботами у відповідних галузях наук.

Теореми подібності

Теорія подібності базується на трьох теоремах подібності, що відповідають на три основних практичних питання, які виникають під час модельних чи натурних досліджень:

1) які величини необхідно виміряти під час проведення досліджень?;

2) у якій формі треба представляти одержані кількісні результати досліджень?;

3) на які промислові апарати і явища можна поширити результати досліджень? (як побудувати модель апарата?).

Перша теорема подібності Ньютона формулюється двояко:

а) за Ньютоном: “Подібні між собою явища мають чисельно однакові критерії подібності”;

б) за М.В. Кирпичовим: “У подібних явищ індикатор подібності дорівнює одиниці”.

Теорема відповідає на запитання, які величини треба виміряти під час проведення досліджень. Цими величинами будуть ті, які входять до визначальних критеріїв подібності.

В основу теореми покладено загальний закон механіки другий закон Ньютона: сила дорівнює добутку маси на прискорення

.

Виділимо у двох подібних системах (натурі та моделі) дві частинки, які рухаються подібно. Нехай у натурі на частинку маси діє сила , яка надає їй прискорення

. (1.27)

У моделі відповідно

. (1.28)

Константи подібності будуть виражені відношеннями:

.

Розділимо вихідні рівняння (1.27) і (1.28) двох систем одне на одне:

.

Відношення збільшення величин, що входять у константи подібності, можна замінити відношенням самих величин, тобто знаки диференціалів можуть бути відкинуті. Таким чином

або .

Звідки

. (1.29)

Величину C, складену з констант подібності називають індикатором подібності. Замінюючи рівняння (1.29) константи подібності відношеннями відповідних величин і переносячи у ліву частину всі величини для натури, а у праву для моделі, знаходимо

.

Таким чином отримано безрозмірний комплекс величин, значення якого однакові для натури і моделі. Цей комплекс є критерій Ньютона

.

Враховуючи, що ф = ?/v можна записати

. (1.30)

Отже очевидно, що у правильно виконаних дослідженнях доцільно вимірювати тільки ті фізичні величини, що входять у критерії подібності процесу, який досліджується.

Друга теорема подібності (Федермана-Бекінгема) стверджує: будь-яку залежність між змінними, що характеризують будьяке явище, може бути подано у вигляді залежності між критеріями подібності (узагальненого або критеріального рівняння). Це означає, що коли під час дослідження якогось процесу одержано залежність між кількома фізичними і геометричними величинами, то її можна виразити критеріальним рівнянням, до якого входить кілька критеріїв, складених з цих самих величин. Друга теорема подібності дає відповідь на запитання про те, як обробляти експериментальні дані, а саме - у формі узагальнених критеріальних рівнянь.

Критерій подібності р1, який включає досліджувану величину, має бути виражений як функція інших критеріїв 2, 3,…, n, що висвітлюють процес з різних сторін.

. (1.31)

Теорія подібності не може вказати конкретного виду цієї функції, остання визначається експериментальним шляхом. Однак теорія подібності дає найважливіші практичні вказівки між якими критеріями подібності варто шукати зв'язок під час оброблення дослідів.

Загальна залежність (1.31) в обробці результатів досліду набуває звичайно вигляду степеневої функції:

(1.32)

де А, m, n, р, - постійні (дослідні величини), знайдені під час оброблення дослідів.

Методику визначення дослідних величин у загальному вигляді пояснимо на наступному прикладі.

Розглянемо рівняння

.

Прологарифмувавши його, одержимо рівняння прямої у логарифмічних вісях

.

За отриманою таблицею дослідних даних, в якій для кожного значення х одержано відповідне значення y, в логарифмічних координатах наносять логарифми значень x і y та одержують ряд точок, через які проводять пряму при найменшому розкиді точок (рис.1.7). Пряма відсікає на вісі ординат відрізок , а тангенс кута нахилу прямої є показник степеня n, який визначають як .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 4.2

Третя теорема подібності (М.В. Кирпичова і А.А. Гухмана) відповідає на питання, які умови необхідні та достатні, щоб явища були подібними.

Вона є обернена першій: явища є подібними, якщо їхні визначальні критерії є чисельно однакові. Очевидно, що критеріальне рівняння справедливе тільки у межах дотримання подібності, що характеризується визначеними інтервалами зміни критеріїв р2, р3, р4 у виразі виду (1.32). За межами досліджених інтервалів зміни критеріїв узагальнення втрачає силу. При кожному критеріальному рівнянні повинно бути зазначено, в яких межах зміни критеріїв ним можна користуватись. Третя теорема подібності дає основні правила моделювання.

Критерії подібності

Зусиллями багатьох вчених подібність різних фізичних явищ у даний час достатньо вивчена. Виявлено велику кількість критеріїв, які визначають цю подібність. Основні критерії гідромеханічної, теплової та дифузійної подібності, що найбільш часто трапляються у розрахунках, наведено у таблиці 4.1, запропонованою профессором В.М. Стабниковим із співробітниками.

Таблиця 4.1 - Основні критерії подібності

Метод аналізу розмірностей

Складні процеси залежать від великої кількості факторів. Для багатьох таких процесів не вдається скласти диференційні рівняння, які їх описують. У цих випадках необхідно досконало розглянути процес і визначити фактори, які на нього впливають, а потім дати математичну залежність між факторами у загальному вигляді як невизначену функцію величини, яку шукають, від ряду інших величин, які на останню впливають:

а = f(b, c, d, e,...). (1.47)

Так, наприклад, під час дослідження течії рідини у трубі виявилось, що на перепад тиску в трубі впливають діаметр d і довжина ? труби, густина с, в'язкість з і швидкість руху v рідини, тобто

Дp = f(d, ?, с, з, v). (1.48)

Вирішити таке рівняння можливо, якщо скласти критеріальне рівняння методом аналізу розмірностей, основою якого є р -теорема. Відповідно р-теоремі загальна функціональна залежність, яка пов'язує між собою n величин при m первинних одиницях виміру, може бути представлена у вигляді залежності між n-m безрозмірними відношеннями цих величин, а за наявності подібності - у вигляді критеріального рівняння, яке складається із n-m критеріїв.

У наведеному прикладі до рівняння (1.48) входять шість величин (n=6), які у системі СІ мають такі одиниці виміру та розмірності:

;

;;;

з = ;=.

Під час складання розмірностей цих шести величин було використано три первинних одиниці виміру (m=3): м, с, кг. На основі р-теореми рівняння (1.48) може бути представлене у вигляді критеріального рівняння, в яке входять n - m = 6-3 = 3 критерії подібності.

Зобразимо загальну функціональну залежність у вигляді степеневої функції

. (1.49)

Замінимо величини, які входять до рівняння (1.49), на формули розмірностей цих величин

або, розкривши дужки, одержимо

.

Зрівняємо показники ступенів при однакових символах розмірностей і одержимо три рівняння з п'ятьма невідомими:

. (1.50)

Оскільки ця система рівнянь не може бути вирішена, тому що в ній не вистачає двох рівнянь, виразимо всі невідомі величини, наприклад, через e і b: з другого рівняння (1.50) c = 1- e, з третього - k = 2 - e.

Після підставлення c і k у перше рівняння (1.50) одержимо

a = - b - e.

Одержані значення a, c, і k підставимо до рівняння (1.49):

.

Згрупуємо величини за показниками степенів і одержимо критеріальне рівняння у вигляді

. (1.51)

Рівняння (1.51) зображає собою критеріальне рівняння, яке описує течію рідини по трубі. До цього рівняння входять три критерії, які називаються критеріями гідродинамічної подібності:

критерій ЕйлераEu =p/() ; (1.36)

критерій Рейнольдса ; (1.33)

параметричний критерій геометричної подібності Г= ?/d. (1.52)

Ці критерії будуть використані під час розглядання різноманітних процесів у наступних розділах курсу. Таким чином функціональна залежність (1.48) перетворюється на критеріальне рівняння .

Постійні A, b і e у рівнянні (1.51) визначаються на основі експерименту. При цьому відомо, що b = 1, а A і e залежать від режиму руху рідини у трубопроводі.

Слід відмітити, що під час використання методу аналізу розмірностей не вдається сформулювати умови однозначності, а отже, розділити критерії подібності на визначальні і не визначальні.

Размещено на Allbest.ru