Модель выбора оптимальной древовидной иерархии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Модель выбора оптимальной древовидной иерархии

Губко М.В., Даниленко А.И., Сапико М.И.

Во многих областях науки и техники возникают задачи поиска оптимальных иерархических структур. Например, в задаче построения организационной иерархии необходимо при заданной технологии функционирования [6], определяющей множество рядовых сотрудников (исполнителей), наилучшим образом надстроить над множеством исполнителей иерархию менеджеров - иерархию управления. Множество менеджеров обозначим через M.

Организационная иерархия [5] - это ориентированный ациклический граф H с множеством вершин (сотрудников организации) и множеством дуг , отражающих подчиненность сотрудников и направленных от подчиненного к начальнику. Если в графе есть цепочка ребер от сотрудника v1 к сотруднику v2, то v2 управляет сотрудником v1, а v1 подчинен сотруднику v2. В организационной иерархии каждый менеджер имеет, по меньшей мере, одного подчиненного и есть менеджер (т.н. топ-менеджер), управляющий всеми исполнителями. Исполнители же подчиненных не имеют. Иерархия называется деревом, если в ней только топ-менеджер не имеет начальников, а остальные сотрудники имеют одного непосредственного начальника.

Менеджер m M в иерархии H управляет группой исполнителей sH(m) N, состоящей из исполнителей, для которых этот менеджер является начальником в иерархии H. Предположим, что каждому исполнителю w N поставлена в соответствие положительная мера (w), описывающая сложность выполняемой им работы. Мера (s) группы исполнителей s N равна сумме мер входящих в нее исполнителей.

Содержание менеджеров требует расходов, и затраты C(H) иерархии H равны сумме затрат менеджеров. Считаем [2], что затраты c(m, H) менеджера m в иерархии H определяются мерой группы исполнителей, которой он управляет, и мерами групп, которыми управляют его непосредственные подчиненные. То есть, если менеджер управляет группой исполнителей с мерой и имеет r непосредственных подчиненных, управляющих группами исполнителей с мерами 1, …, r, то .

Задача поиска оптимальной древовидной иерархии [5] состоит в том, чтобы для заданного множества исполнителей N и функции затрат менеджера c() найти дерево H*, имеющее минимальные затраты .

В настоящей статье задача поиска оптимальной древовидной иерархии решается для введенной в [5] функции затрат менеджера вида , где (0, 1] и [1, +) - некоторые параметры. Одна из возможных содержательных интерпретаций этой функции затрат состоит в следующем.

Пусть работа менеджера заключается в том, чтобы принимать решения, касающиеся подчиненных ему исполнителей, причем затраты менеджера в зависимости от количества принимаемых им решений P описываются степенной функцией P. Решения принимаются для устранения проблем, которые отражаются в отчетах, предоставляемых его непосредственными подчиненными.

Объем отчета, который готовит подчиненный для своего начальника, равен , где - мера управляемой этим подчиненным группы исполнителей. Количество же решений, которые необходимо принять, пропорционально суммарному объему предоставленных отчетов.

В [3] доказано, что для множества исполнителей с мерами (w), w N, затраты оптимального дерева с хорошей точностью описываются выражением:

(1)

где Dk := {y = (y1, …, yk): y1 + … + yk = 1, yi 0, i = 1, …, k} - k_мерный симплекс.

Для рассматриваемой функции затрат это выражение принимает следующий вид:

(2)

Для определения затрат оптимального дерева необходимо найти число k* (называемое нормой управляемости) и пропорцию , доставляющие минимум в выражении (2). При этом в [3] показывается, что в оптимальном дереве каждый менеджер должен по возможности иметь k* непосредственных подчиненных, и должен стараться распределить между ними подчиненную ему группу исполнителей в пропорции y* (то есть, если менеджер управляет группой исполнителей меры , то его непосредственные подчиненные должны управлять группами мер y1, …, yk*).

Предположим, что . Тогда при заданной норме управляемости k для нахождения оптимальной пропорции необходимо выбором пропорции минимизировать выражение:

.

В [3] показано, что достаточно ограничиться поиском внутренних решений, то есть решений, в которых yi > 0. Справедлив следующий результат.

Лемма 1. Если при > 0 минимум выражения (3) достигается во внутренней точке (x1, …, xk), то найдутся такие числа a и b, что xi {a, b}, i = 1, …, k.

Доказательство: Поскольку достаточно рассматривать только внутренние решения, для фиксированной нормы управляемости k поиск оптимальной пропорции сводится к минимизации нелинейной функции:

при линейном ограничении y1 + … + yk = 1. Поскольку минимизируемая функция гладкая, точка ее минимума является особой точкой Лагранжиана:

,

то есть в этой точке производная Лагранжиана по каждой компоненте пропорции равна нулю.

Докажем, что если в особой точке все компоненты пропорции строго положительны, то они принимают не более двух различных значений. Поскольку выражение при фиксированных и знакопостоянно, при поиске особых точек Лагранжиана модуль в формуле (4) можно опустить. Дифференцируя Лагранжиан по y1, …, yk, получаем систему уравнений:

, i = 1, …, k.

Умножим каждое уравнение на yi, просуммируем их и, воспользовавшись тем, что y1 + … + yk = 1, выразим:

.

Подставив полученное выражение для множителя Лагранжа в систему уравнений (5), и разделив обе части каждого уравнения на Fk(y), получим уравнения: иерархический затрата стандартизация менеджер

, i = 1, …, k.

или, что то же самое:

, i = 1, …, k.

Заметим, что правые части всех уравнений равны между собой. Следовательно, равны между собой и левые части уравнений. Поэтому систему уравнений можно записать в виде:

, i, j = 1, …, k,

или с учетом того, что все компоненты пропорции y строго положительны:

, i, j = 1, …, k.

Введем в рассмотрение функцию f(x) = x1 - - x( - 1), определенную на отрезке [0, 1]. Легко проверить, что на всей области определения функция f() имеет не более одного промежутка возрастания и не более одного промежутка убывания, следовательно, каждое значение этой функции достигается не более чем при двух различных значениях ее аргумента.

В особой точке Лагранжиана для всех i, j = 1, …, k f(yi) = f(yj), следовательно, в этой точке компоненты пропорции могут принимать не более двух различных значений. Лемма доказана.

Результат леммы 1 позволяет предложить эффективный алгоритм численного решения задачи минимизации (2).

Пусть m компонент пропорции равен a. Тогда, поскольку сумма компонент пропорции всегда равна единице, b = (1 - ma)/(k - m), для нахождения k* и y* необходимо выбором k = 2, 3, …, m = 1, …, k - 1 и a (0, 1/m) минимизировать функцию:

.

Ограничим область минимизации значениями k, не превышающими некоторой константы K (например, 100). Тогда для решения задачи необходимо для каждой из комбинаций k и m минимизировать функцию (6) по a (0, 1/m). Для минимизации использовалась комбинация метода сетки и метода Ньютона: на интервале (0, 1/m) выбиралось (с фиксированным шагом) заданное число точек и начальной точкой для метода Ньютона бралась точка, в которой достигался минимум функции.

Результаты расчета нормы управляемости приведены на рисунке слева. Для больших значений параметра оптимальны 2_деревья (с нормой управляемости 2). Область их оптимальности отмечена числом «2». С уменьшением , а также со стремлением к единице, последовательно становятся оптимальными 3_деревья, 4_деревья и т.д. (эти области обозначены «3», «4», …). При относительно малых оптимальны симметричные 2_деревья. Для > 6.8 имеется область (выделенная на рисунке 1 слева пунктиром) оптимальности асимметричных 2_деревьев, в которых соотношение компонент пропорции варьируется в широких пределах.

Рисунок 1 - Норма управляемости оптимальных древовидных иерархий

Более подробные вычисления показывают, что при близких к единице и больших имеются и области оптимальности асимметричных 3_деревьев, 4_деревьев и т.д. На рисунке 1 справа приведен расчет для области [0.999, 1), [1, 30] с нелинейным шагом по . Области оптимальности асимметричных деревьев выделены серым цветом и обозначены «2а», «3а» и т.д., а симметричных деревьев - «2с», «3с» и т.д.

Таким образом, в наиболее важной с точки зрения практики области [1, 6] оптимальны симметричные деревья. В этой области легко найти и аналитическое выражение для границы между областями оптимальности соседних норм управляемости. Для нормы управляемости k и симметричной пропорции выражение (3) приобретает вид k(1 - )/ |1- k1 - |. Следовательно, на границе между областями оптимальности k_деревьев и k + 1_деревьев выполняется равенство:

k(1 - )/ |1- k1 - | = (k + 1)(1 - )/ |1- (k + 1)1 - |.

Вводя новую переменную t = , и разрешая получившуюся систему уравнений относительно и , получаем в плоскости семейство параметрических кривых:

.

Подставляя в эти выражения k = 2, получаем уравнение границы областей оптимальности 2_деревьев и 3_деревьев; подставляя k = 3 - 3_деревьев и 4_деревьев, и так далее. Полученные кривые изображены сплошными линиями на рисунке 1 слева.

Полученные результаты, в числе прочего, позволяют исследовать зависимость свойств оптимальной иерархии от параметров функции затрат. Из рисунка 1 слева видно, что уменьшение (содержательно соответствующее обучению менеджеров, повышению их квалификации), приводит к увеличению нормы управляемости, уменьшению количества менеджеров и числа уровней иерархии. При этом затраты топ-менеджера и количество решаемых им проблем при убывании сначала убывают, а затем начинают возрастать. Таким образом, обучение сотрудников уменьшает «высоту» и затраты иерархии, но не всегда приводит к «разгрузке» высшего руководства.

Что еще более интересно, уменьшение , которое можно интерпретировать как снижение количества проблем организации за счет, скажем, повышения уровня стандартизации [4], приводит к уменьшению нормы управляемости и увеличению количества менеджеров при одновременной их «разгрузке». Значит, в более стабильных условиях оптимальны более «громоздкие» иерархии, возможно, состоящие из менее квалифицированных менеджеров. При этом уменьшение числа менеджеров с ростом является следствием того, что промежуточные уровни не разгружают высшее руководство, лишь «транслируя» на него большую часть проблем. Таким образом, иерархии организаций, работающих в условиях большого количества нетипичных уникальных проблем, состоят из небольшого количества чрезвычайно загруженных менеджеров.

Литература

1. Воронин А.А., Мишин С.П. Оптимальные иерархические структуры. М.: ИПУ РАН, 2003.

2. Губко М.В. Структура оптимальной организации континуума исполнителей. Автоматика и телемеханика, 12, 2002. с. 116-130.

3. Губко М.В. Оптимальные организационные иерархии для однородных функций затрат. М.: ИПУ РАН, 2006 (в печати).

4. Минцберг. Г. Структура в кулаке: создание эффективной организации. СПб.: Питер, 2002.

5. Мишин С.П. Оптимальные иерархии управления в экономических системах. М.: ПМСОФТ, 2004.

6. Цвиркун А.Д. Основы синтеза структуры сложных систем. М.: Наука, 1982.

Размещено на Allbest.ru