Пример выбора решения с использованием теоремы Гермейера – Вателя

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

ФГОУ ВПО МГУП

Пример выбора решения с использованием теоремы Гермейера - Вателя

И.Г. Галямина

Теорема Гермейера-Вателя позволяет принять решение при необходимости достижения взаимовыгодного компромисса. При этом можно найти устойчивое коллективное решение, необходимость которого возникает при условии, что имеется общая цель у нескольких партнеров, стремящихся достичь и своих локальных целей, отличных от общей цели и противоречащих им. Оба критерия, формализующие эти цели, стремятся к максимуму.

Предположим, что имеются два предприятия, расположенные на берегу одного водоема и использующие для производства аккумулированные в нем водные ресурсы. Оба предприятия для уменьшения своих затрат на водоподготовку заинтересованы в том, чтобы степень чистоты водных ресурсов была достаточной. Этого можно достичь, вложив определенные средства в очистку водоема. Очевидно, что степень чистоты водоема зависит от объема вложенных средств. Каждое предприятие заинтересовано в том, чтобы уменьшить свою долю расходов на очистку, поскольку в этом случае сэкономленные средства оно может направить на развитее производства и получение за счет этого дополнительной прибыли.

Таким образом, общая цель может быть описана следующим образом

Р = f(И) > max, (1)

при ограничении

И = Х1 +Х2 (2)

где Р - повышение степени чистоты водоема; И - инвестиции в очистку, вкладываемые предприятиями; Х1 - доля 1-го предприятия; Х2 - доля 2-го предприятия.

Собственные локальные цели каждого предприятия:

D1 = f (У1) > max, (3)

D2 = f (У2) > max. (4)

При этом

Х1 + У1 = С1; (5)

Х2 + У2 = С2, (6)

где С1, С2 - свободные средства соответственно 1-го и 2-го предприятия; У1, У2 - средства, направляемые на развитие соответственно 1-го и 2- го предприятия; D1, D2 - дополнительная прибыль соответственно 1-го и 2-го предприятия.

В соответствии с (5) и (6):

Х1= С1 - У1;

Х2 = С2 - У2.

Следовательно, каждое предприятие заинтересовано в увеличении как степени чистоты воды Р, так и дополнительной прибыли D:

D1 = f (У1) > max;

Р = f(С1 - У1 , С2 - У2 ) > max,

то есть налицо противоречие.

В условиях взаимозависимости двух предприятий любое индивидуальное решение без учета действий другого будет неоправданным или необоснованным. В этом случае необходимо некоторое коллективное решение, которое должно быть взаимовыгодным и эффективным.

Доказательство существования и правило отыскания в данной конфликтной ситуации взаимовыгодного и эффективного решения дано в теореме Гермейера-Вателя.

Для достижения компромисса необходимо провести свертку вышеуказанных критериев с использованием весового коэффициента, показывающего степень заинтересованности предприятий в достижении общей цели - ?.

Если известна величина Х2 = С2 - У2 , то 1-е предприятие может разделить С1 в необходимой ему пропорции, определяемой ?.

В этом случае скалярный свернутый критерий

К = min{ ? f (У1), Р = f(С1 - У1 , С2 - У2)}, (7)

то есть новый критерий определяется как наименьшее из чисел ? f (У1) и

Р = f(С1 -У1 , С2 - У2).

Предприятие заинтересовано в максимальном значении критерия К> мах.

В соответствии с теоремой, величина К достигает максимума при значении У*1., при котором ? f (У1), = Р (С1 - У1 , С2 - У2).

Выбор решения можно показать на примере.

Пусть требуется принять решение об инвестициях 1-го предприятия в очистку водоема

Исходные данные

1. 1-е предприятие располагает финансовыми средствами в размере С1= 100 у.е.

2. Зависимость дополнительного дохода 1-го предприятия от вложенных в его развитие средств У1(

3. Зависимость степени повышения чистоты воды от инвестиций

4. 2-е предприятие вкладывает в очистку водоема Х2 =20 у.е.

5. Принять = 0,5.

Решение

Найдем следующие зависимости.

1. Зависимость У1 = (Д1)

2. Зависимость Р= f(У1)

При построении зависимости Р= f(У1) использованы формулы (2) и (5), из которых следует

У1= Х2 + С1 - И.

Следовательно, в соответствии с исходными данными Х2= 20 у.е. и С1=100 у.е.

У1= 120 - И.

Величина ? f (У1), монотонно возрастает вместе с ростом У1. Повышение степени чистоты Р будет монотонно убывающей функцией У1, поскольку, чем больше денег будет истрачено на развитие предприятия, тем меньше останется на очистку воды.

На основании данных зависимостей У1 = (Д1 ) и Р = f(У1) с использованием зависимости (7) можно определить значения свернутого скалярного критерия К как минимального из двух величин Д1 и Р

гермейер решение инвестиция очистка

Отсюда следует зависимость К = f(У1)

Величина У*1 определяется при максимальном значении критерия К. Она равна 40 у.е. Следовательно в соответствии с (5) искомая величина Х1 = С1-У1 = 100 -40 = 60 у.е. Инвестиции в очистку водоема составят 60 + 20 = 80 у.е., что позволит повысить степень чистоты водоема на 0,30.

Покажем, что эта точка У*1, которая определяет величину инвестиций, является точкой устойчивого коллективного решения. Для этого решим задачу определения величины инвестиций с позиций 2-го предприятия при тех же исходных данных, определяющих зависимость степени повышения чистоты воды от инвестиций, и зная величину Х1 = 60 у.е., определенную на первом этапе решения.

Дополнительные данные

1. 2-е предприятие располагает финансовыми средствами в размере С1= 40 у.е.

2. Зависимость дополнительного дохода 2-го предприятия от вложенных в его развитие средств У2

Принять =0,6.

Решение

Найдем следующие зависимости.

Зависимость У2 = (Д2 )

2. Зависимость Р = f(У2)

При построении зависимости Р = f(У2) использованы формулы (2) и (5), из которых следует

У2= Х1 + С2 - И.

Следовательно, в соответствии с исходными данными Х1= 60 у.е. и С2=40 у.е.

У2= 100 - И.

Поскольку У2 находится в пределах от 0 до 40, то зависимость Р = f(У2) представим в следующей таблице, используя указанные выше данные

На основании данных зависимостей У2 = (Д2 ) и Р = f(У2) с использованием зависимости (7) можно определить значения свернутого скалярного критерия К как минимального из двух величин Д2 и Р

Отсюда следует зависимость К = f(У1)

Величина У*2 определяется при максимальном значении критерия К. Она равна 20 у.е. Следовательно, в соответствии с (5) искомая величина Х2 = С2-У2 = 40-20 = 20 у.е. Инвестиции в очистку водоема составят 60 + 20 = 80 у.е., что совпадает с решением, принятым 1-м предприятием.

Таким образом, теорема позволяет принять согласованное взаимовыгодное решение в случае, если у двух партнеров имеется единая общая цель и противоречащие ей локальные индивидуальные цели

Размещено на Allbest.ru