Модель выбора сторонников по коалиции в нечетких условиях

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Модель выбора сторонников по коалиции в нечетких условиях

Кулинич А.А., к.т.н.

Институт проблем управления РАН,

e-mail: kulinich@ipu.rssi.ru

ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрена плохо определенная конфликтная ситуация, в которой множество игроков управляют некоторой динамической системой (объектом управления), пытаясь перевести ее в состояние выгодное для каждого из них. Предложена модель поддержки принятия решения по созданию коалиции, позволяющая ЛПР в условиях неопределенности сформулировать правдоподобный вариант коалиции, опираясь на собственные нечеткие представления о ресурсах, стратегиях и целях игроков. Рассмотрены необходимые и достаточные условия для формирования коалиции игроков.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Задано конечное множество игроков N, каждый из которых пытается перевести динамическую систему в некоторое, выгодное ему целевое состояние, используя для этого свой ресурс. Задача заключается в поддержке принятия решения игрока iN, желающего найти сторонников в игре для достижения собственной цели. В рамках концепции «когнитивных игр», в случае полной информированности этого игрока задача может решаться следующим образом [4].

Пусть динамическая система задана в виде, единой для всех участников игры, когнитивной карты G=(F,W), где F- множество факторов ситуации, W- матрица смежности когнитивной карты (орграфа). Прогнозные значения факторов ситуации определятся из следующего уравнения [4, 5]:

Y* = X(0) W *,

где Y* - вектор установившихся прогнозных значений всех факторов ситуации, X(0) - вектор входных воздействий в момент времени t=0, W* - транзитивное замыкание матрицы смежности когнитивной карты.

Каждый игрок имеет ресурсы для управления ситуацией Ri={xi1,…,xim}, которые он может применить различными способами, т.е. определено множество стратегий игрока Si=xij, j=1..m. Любая стратегия игрока sqSi есть вектор входных воздействий для управления ситуацией, sq=(xq1,…,xqe).

Определена цель управления игрока в виде вектора Gi =(gi1,…,gin) и его функция полезности fi:(Y*, sq)R+. Считается, что функция полезности игрока принимает максимальной значение в его целевом состоянии, т.е. fi(Gi, sq)max. Если игрок один, то задача управления заключается в выборе стратегии sqSi такой, что ее применение к динамической системе в качестве входного вектора позволяет перевести ситуацию в целевое состояние i-го игрока,

Y* = W * sq = Gi.

Пусть множество игроков КN объединились в коалицию. Определим профили игры для коалиций K и N\К: SK=Si; SN|K=Si. Для описания коалиционного взаимодействия игроков, игру представляют форме характеристической функции [1-3]. Игра в характеристической форме задается множеством игроков N и характеристической функцией () на его подмножествах - возможных коалициях. Значение характеристической функции для коалиции игроков КN - это выигрыш коалиции определяется, например, на основе принципа максимального гарантированного результата [6]:

(K) =, sjK SK, siN\K SN\K.

Решением коалиционной игры считается дележ x=(x1, x2, …, xn) выигрыша коалиции (K), такой, что выигрыш любого игрока коалиции xi превышает его выигрыш ({i}), если бы этот игрок действовал самостоятельно, xi> ({i}), iK. Рациональный дележ выигрыша между участниками коалиции, лишает их мотиваций покидать эту коалиции, обеспечивая ее устойчивость. Так задача поиска сторонников для создания коалиции может быть решена в условиях полной информированности игрока, принимающего решение по ее созданию.

В условиях неопределенности решение этой задачи существенно осложняется. Во-первых, у каждого игрока есть своя гипотетическая модель динамической системы, которая в общем случае неизвестна игроку, принимающему решение по созданию коалиции, во-вторых, точно неизвестны цели игроков, в-третьих, нет сведений о ресурсах и возможных стратегиях игроков.

Выбор сторонников по коалиции в условиях такой неопределенности может основываться на когнитивном подходе принятия решений, основанном на гипотетических предположениях игрока, принимающего решение по созданию коалиции о моделях ситуации, целях, ресурсах и стратегиях управления остальных игроков.

коалиция неопределенность конфликтный моделирование

МОДЕЛЬ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ

Пусть игрок, принимающий решение создает гипотетическую модель объекта управления, считая, что все игроки пользуются именно такой моделью. Модель объекта управления может быть представлена в виде нечеткой когнитивной карты основанной на правилах (Rule Based Cognitive Map). В такой когнитивной карте определено множество факторов ситуации А={ai}, упорядоченное множество лингвистических значений каждого фактора Li={lij}, i=1…n, j=1…m, функции принадлежности каждого лингвистического значения .

Начальное состояние ситуации Y(0)=(l1j,…,lnb) определяется вектором лингвистических значений всех факторов ситуации в момент времени t=0. Динамика изменения факторов ситуации в нечеткой когнитивной карте, основанной на правилах, задается отображением:

W:Y(t)> Y(t+1), (1)

где W - система нечетких правил «Если, То», заданная на множестве всех возможных значений факторов ситуации W:Li >Li

Прогноз развития ситуации получается методом последовательных итераций. Вывод на каждой итерации может осуществляться с использованием композиционного правила вывода Мамдани [7]. Прогноз развития ситуации Y на n-шагах есть вектор:

Y(n)=(,…,), (2)

где (l1j,…,lnb) - лингвистические значения прогнозного вектора и (,…,) - степень неопределенности прогноза на шаге n.

УЧАСТНИКИ КОАЛИЦИОННОЙ ИГРЫ

В условиях отсутствия точной информации о целях, ресурсах и стратегиях всех игроков, игрок, принимающий решение характеризует каждого игрока qN в терминах теории нечетких множеств следующим картежом:

gq, rq, eq, q(Yq, gq)

где: gq=(,…,) - вектор целевых факторов игроков определен парой: лингвистические значения целевого вектора (l1j,…,lnb) и (,…, ) - степень уверенности игрока, принимающего решение в значении факторов целевого вектора игрока q; rq=(,…,) - правдоподобная стратегия управления определена также парой: лингвистическое значение ресурса и степень уверенности в том, что игрок q будет использовать этот ресурс для достижения поставленной цели. Такая экспертная оценка ресурсов каждого игрока, по сути, есть экспертное определение правдоподобной его стратегии.

eq:(u(gq),(v(rq)))R+

Эффективность достижения игроком целевой ситуации, где u(gq)- полезность целевой ситуации, u:gqR+; v(rq) -затраты игрока для достижения целевой ситуации для правдоподобной стратегии, :rqR+;

q(Yq, gq) - возможность достижения игроком q целевой ситуации в условиях противодействия игроков противников определяется как степень нечеткого сходства прогнозной ситуации Yq(t) и его целевой ситуацией gq:

q(Yq, gq)= min ((Yq, gq),(gq, Yq)) (3)

где (Yq,gq) - степень нечеткого включения прогнозной ситуации Yq в целевую gq, а (gq, Yq) соответственно целевой gq в прогнозную Yq [8].

Степени нечеткого включения двух нечетких множеств (Yq,gq) и (gq, Yq) определяются из соотношений (4) и (5) [8]:

(Yq,gq)= (1-Yq, gq) (4)

(gq, Yq)= (1- gq, Yq) (5)

Для определения возможности достижения игроком целевой ситуации определим множества потенциальных сторонников и противников игрока, принимающего решение iN. Для этого определяется степень нечеткого включения целевых ситуаций всех игроков в целевую ситуацию игрока, принимающего решение с помощью соотношения:

(gq, gi)=(gq, gi), qi, q,i=1…n, q,iN.

Задаваясь порогом нечеткого включения tinc0.5 [8], всех участников конфликта представим в виде объединения двух подмножеств: = K\K, где

подмножество K включает игроков, целевые ситуации которых нечетко включены в целевую ситуацию игрока, принимающего решение, (gq,gi)0.5, q,iK - это его потенциальные союзники;

подмножество \K включает участников целевые ситуации, которые нечетко не включены целевую ситуацию игрока, принимающего решение (gq,gi)<0.5, q,i\K - это его потенциальные противники.

Стратегия достижения цели потенциальных противников игрока принимающего решение rK|N определим как объединение их правдоподобных стратегий:

rK|N =ri

Тогда, для определения возможности достижения целевой ситуации игроками потенциальными сторонниками qK, прогноз развития ситуации Yq в соотношении (3) будет получен методом последовательных итераций на n-шагах путем подстановки в уравнение (1) на первом шаге моделирования прогноза правдоподобной стратегии игрока - rq, объединенной c вектором ресурсов предполагаемых его противников - rN\K, т.е.

Yq(1)=Wrq rN\K, Yq(2)=W Yq(1),…, Yq(n)=W Yq(n-1),

где - композиционное правило вывода.

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОБРАЗОВАНИЯ КОАЛИЦИИ

Для всех игроков, управляющих объектом нечетко определены их цели - целевые состояния объекта управления. Очевидно, что в качестве потенциальных сторонников в такой игре необходимо выбирать игроков, цели которых сходны с целью игрока, принимающего решение по образованию коалиции.

Тогда, первым необходимым условием образования коалиции K будем считать нечеткое сходство целевых состояний потенциальных сторонников по коалиции с целевым состоянием игрока, принимающего решение, (gq,gi)0.5, q,iK.

Одним из фундаментальных принципов теории коалиционных игр является принцип существенности коалиционной игры, который означает синергетический эффект от объединения ресурсов и стратегий игроков. Выполнение этого принципа означает, что, выигрыш, полученный каждым игроком в коалиции должен быть больше, чем выигрыш, полученный тем же игроком без кооперации.

В условиях неопределенности предлагается рассматривать слабый вариант принципа существенности коалиционной игры, определенный как принцип взаимной полезности образования коалиции для игроков. Согласно этому принципу объединение правдоподобных стратегий достижения цели игроков, удовлетворяющих первому необходимому условию, должно увеличивать возможность достижения поставленной цели. Тогда двух потенциальных сторонников q,iK будем называть взаимно полезными, если объединение правдоподобных стратегий этих игроков увеличивает возможность достижения целевой ситуации, т.е. если истинно условие:

qi(Yqi, gq)> q(Yq, gq) qi(Yqi, gq)> i(Yi, gi)

где qi(Yqi,gq) - возможность достижения целевой ситуации при условии объединения правдоподобных стратегий q-го и i-го игрока; Yqi прогноз развития ситуации на при условии объединения стратегий q-го и i-го игрока; q(Yq, gq), i(Yi, gi) - возможность самостоятельного достижения целевой ситуации, соответственно, q-м и i-м игроками за счет собственных ресурсов.

Таким образом, вторым необходимым условием образования коалиции является условие взаимной полезности образования коалиции для игроков.

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОБРАЗОВАНИЯ КОАЛИЦИИ

Выполнение необходимых условий образования коалиции недостаточно для обеспечения устойчивости коалиции. В классической постановке коалиционных игр устойчивость коалиции обеспечивает индивидуально-рациональное распределение выигрыша коалиции - дележ выигрыша. Эффективный дележ лишает игроков выигрывающей коалиции мотиваций перехода в другие коалиции или отказа от участия в игре, т.е. обеспечивает ее устойчивость.

В этой работе, для определения устойчивости коалиции в условиях неопределенности предлагается использовать критерий устойчивости коалиции mq [9], построенный как функция от возможности (q) и эффективности (eq) достижения целевой ситуации игроками - mq =f(q, eq). Он основан на двух следующих правдоподобных гипотезах:

Чем выше эффективность достижения целевой ситуации eq игрока qK, тем выше его мотивации участия в игре;

Чем выше возможность достижения целевой ситуации игрока qK собственными силами q, тем меньше у него мотиваций поиска сторонников в игре.

Рассмотрим, как меняется мотивация участия в игре игрока при изменении его эффективности достижения целевой ситуации. Пусть эффективность достижения цели игроков изменяется от нуля до некоторого максимально возможного значения эффективности в рассматриваемом случае Emax=max(еq), qK, т.е. 0еqEmax. При этом, эффективность еq=1 означает, что выгоды u(gq) полученные игроком qK от достижения целевой ситуации равны его затратам v(rq) на получение этих выгод. Определим -окрестность единичного значения эффективности [1], в которой выгоды, получаемые игроком от участия в игре недостаточны, для того чтобы уверенно говорить о возможности его участия в игре.

Для проверки правдоподобности гипотезы о росте мотиваций участия в игре при росте эффективности достижения цели выделяем три интервала эффективности достижения целевой ситуации - {е1, е2,е3}:

интервал е1 - [0е1-]. Это интервал низкой эффективности, в котором затраты игрока для достижения целевой ситуации больше выигрыша от ее достижения. Если эффективность игрока попадает в этот интервал, то мотивации участвовать в игре у него отсутствуют.

интервал е2 - [1+е1- ]. Этот интервал характеризуется большими мотивациями участников игры для достижения цели, однако, мотивации участия и неучастия игрока приблизительно равны.

интервал е3 - [Emaxе1+ ], в котором игрок получает выигрыш, превышающий затраты на его получение, и, следовательно, мотивации участия в игре для достижения цели достаточно высокие.

Здесь гипотеза изменения мотивации участия в игре от эффективности достижения верна. Действительно, чем больше эффективность достижения целевой ситуации, е3>е2>е1, тем выше мотивации участия в игре, mq(е3)> mq(е2)> mq(е1).

Проанализируем правдоподобность гипотезы о связи мотиваций участия в коалиции и возможности достижения целевого состояния собственными силами. Возможность достижения цели принимает значения из интервала [01]. При этом считаем, что в точке =0.5 возможность достичь и не достичь целевой ситуации, равны. Определим -окрестность точки =0.5, [0.5], в которой возможность достижения или не достижения целевой ситуации приблизительно равны. По критерию возможности достижение целевой ситуации рассмотрим также три интервала {1,2, 3}:

интервал 1 - [00.5-], в котором возможность достичь целевой ситуации за счет собственных ресурсов низкая. Считаем, что если игрок не может достичь целевой ситуации собственными силами, то он будет искать сторонников. Мотивации образования коалиции в этом случае высокие.

интервал 2 - [0.5+0.5-], где - окрестность точки, в которой шансы достичь целевой ситуации или не достичь ее примерно равны. Здесь также мотивации для образования коалиции средние.

интервал 3 - [10.5+]. Игроки, возможность достижения целевой ситуации которых попадает в этот интервал, могут достичь целевой ситуации за счет только собственных ресурсов, т.е. мотивации для образования коалиции у таких игроков - низкие.

Гипотеза о росте мотивации образования коалиции при уменьшении возможности достижения целевой ситуации правдоподобна, поскольку, чем меньше возможность достижения целевой ситуации, 3>2>1, тем выше мотивации образования коалиции, mq(1)> mq(2)> mq(3).

Каждый игрок из множества потенциальных сторонников характеризуется парой - возможность (q) и эффективность (eq) достижения целевой ситуации. Представим каждого игрока точкой (eq,q) на плоскости 0еqEmax, 0q1. На этой плоскости выделим области, полученные прямым произведением ранее выделенных интервалов эффективности и возможности достижения целевой ситуации {1,2,3}{е1,е2,е3}, в которых зададим обобщенные характеристики потенциальных союзников по коалиции, с точки зрения их привлекательности для образования коалиции mq [9].

Авторский вариант характеристик выделенных областей, с точки зрения устойчивости коалиции, приводится ниже:

1e1=([00.5-],[0е1-]) - область характеризуется высоким уровнем мотивации для образования коалиции, однако низкая эффективность достижения целевой ситуации снижает мотивации участия в игре игроков. Такие игроки с невысоким уровнем мотиваций участия в игре непривлекательные сторонники.

2e1=([0.5+0.5-],[0е1-]) - область риска по возможности достижения целевой ситуации характеризуется средними мотивациями для образования коалиции, и низкой эффективностью достижения целевой ситуации игроков, значения q и eq которых попадают в эту область, делает их непривлекательными сторонниками.

3e1=([10.5+],[0е1-]) - область характеризуется высокой возможностью достижения целевой ситуации и, следовательно, низким уровнем мотивации образования коалиции и низким уровнем мотивации участия в игре. У игроков, значения q и eq которых попадают в эту область, есть ресурс для достижения целевой ситуации, но достижение этой ситуации им не выгодно. Такие игроки - это потенциальные лоббисты. При выборе этих игроков в качестве сторонников, побочный платеж должен обеспечить им необходимый уровень эффективности целевой ситуации.

1e2=([00.5-],[1+е1- ]) - игроки, значения q и eq которых попадают в эту область не могут достичь целевой ситуации, имеют высокий уровень мотиваций образования коалиции, однако мотивации участия в игре у них не очень высокие. Это колеблющиеся сторонники из-за низкой эффективности и неопределенности получения выигрыша.

2e2=([0.5+0.5-],[1+е1- ])- игроки, попавшие в эту область, находятся в зоне риска по возможности достижения целевой ситуации и по эффективности достижения целевой ситуации. Мотивации образования коалиции и мотивации участия в игре неустойчивы и не очень высокие. Это колеблющиеся сторонники.

3e2=([10.5+],[1+е1- ]) - игроки, попавшие в эту область, могут достичь целевой ситуации. Мотивации образования коалиции нет. Однако, мотивации для участия в игре - средние. Этих игроков можно охарактеризовать как лоббистов, но с личным интересом. Если такие игроки будут выбраны в качестве сторонников, то необходим побочный платеж для обеспечения их эффективности достижения целевой ситуации. Однако платеж для этой категории игроков может быть меньше, чем у чистых лоббистов, описанных в пункте 3 из-за их некоторой личной заинтересованности в достижении целевой ситуации.

1e3=([00.5-],[Emaxе1+ ]) - область характеризуется низкой возможностью достижения целевой ситуации и, следовательно, высокой мотивацией к образованию коалиции. Кроме этого, мотивации участия в игре для достижения целевой ситуации высокие. Это надежные и привлекательные потенциальные сторонники.

2e3=([0.5+0.5-],[Emaxе1+ ]) - в этой области, игроки находятся в зоне риска по возможности достижения целевой ситуации, имеет высокий уровень мотиваций к образованию коалиции и высокий уровень мотивации участия в игре. Эти игроки могут искать союзников, но могут на свой страх и риск участвовать в игре как самостоятельная сила. Это надежные сторонники.

3e3=([10.5+],[Emaxе1+ ]) - в этой области игроки, самостоятельно, за счет собственных ресурсов могут достичь целевой ситуации, мотиваций образования коалиций нет, а мотивации участия в игре достаточно высокие.

Приведенные выше характеристики игроков потенциальных сторонников представлены на рис.1.

Рис.1. Характеристики игроков - потенциальных сторонников

Используя, приведенные выше характеристики, можно сформулировать самые общие правила поддержки принятия решений по образованию коалиции по критерию устойчивости коалиции.

Для этого выделим три кластера потенциальных сторонников. Первый кластер включает области «Привлекательные сторонники» и «Надежные сторонники». Значение критерия устойчивости коалиции здесь - высокие, и игроки, попавшие в эту область, считаются лучшими кандидатами в сторонники по коалиции. Игроки из этой области имеют высокую эффективность достижения целевой ситуации, высокий уровень мотиваций участия в игре, и поэтому, толерантны к возможным вариантам дележа выигрыша. Второй кластер включает три области «Непривлекательные сторонники» и область «Колеблющиеся сторонники». Значение критерия устойчивости мотиваций образования коалиции - не очень высокие. Игроки из этой области имеют невысокую эффективность достижения целевой ситуации и, следовательно, невысокие мотивации участия в игре. Для этих участников необходимы преференции (или обещание преференций) при дележе выигрыша для повышения их мотиваций участия в игре. Третий кластер включает область «Чистые лоббисты» и область «Лоббисты с личным интересом». Значение критерия устойчивости коалиции - низкие. Несмотря на это эти игроки могут рассматриваться как потенциальные сторонники, если мотивации их участия в игре будут увеличены при дележе выигрыша.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Учитывая грубость описания целей, ресурсов и стратегий игроков, а также достаточно сильное допущение о единой для всех игроков нечеткой модели объекта управления, от приведенной выше модели поддержки принятия решений можно ожидать правдоподобные рекомендации, подсказки по выбору потенциальных сторонников для образования коалиции.

Система поддержки принятия решений, основанная на предложенной выше модели может быть использована на этапе подготовки переговорного процесса по образованию коалиции в условиях неопределенности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Оуэн Г. Теория игр. - М.: Мир, 1971.

2. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. - М.: Высшая школа, 1998.

3. Данилов В.И. Лекции по теории игр. - М.: Российская экономическая школа, 2002.

4. Новиков Д.А. «Когнитивные игры»: линейная импульсная модель// Проблемы управления. - 2008. - № 3.

5. Робертс Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам. - М.: Наука, 1986.

6. Губко М.В. Управление организационными системами с коалиционным взаимодействием участников. - М.: ИПУ РАН, 2003.

7. Блюмин С.Л., Шуйкова И.А., Сараев П.В. Нечеткая логика: алгебраические основы и приложения. - Липецк: ЛЭГИ, 2002.

8. Мелихов А.Н., Берштейн Л.С., Коровин С.Я. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой. - М. Наука. 1990

9. Кулинич А.А. Выбор сторонников в неструктурированных конфликтных ситуациях (когнитивный подход)// Труды международной конференции «Интеллектуальное управление» (ICIT'99). - Переславль-Залеский: ИПС РАН, 1999.

Размещено на Allbest.ru