Все критерии продемонстрируем на игре с природой, соответствующей первому варианту постановки, как более общему.

В этом критерии для каждой стратегии (строки) определяется средний ожидаемый результат как сумма произведений вдоль строки результатов на их вероятности:

Лучшей по критерию Байеса считается та стратегия, для которой этот результат наибольший:

Место критерия Байеса. Как следует из сути и альтернативных названий этого критерия, он наилучшим образом соответствует ситуации многократной повторяемости, когда лучший средний результат приведет к лучшему общему итогу. Если рассматриваемая ситуация выбора решения будет часто повторяться при неизменных условиях, то выбор наилучшей стратегии по критерию Байеса представляется наилучшим. В остальных случаях этот критерий разумно использовать лишь как ориентировочный.

Отметим, что только в этом критерии используются значения вероятностей состояний. В остальных критериях используются только значения выигрышей.

Применим критерий Байеса к нашему примеру.

Таким образом, по критерию Байеса наилучшей является стратегия , то есть средний лучший результат приносит стратегия привлечения только финансовых консультантов.

Если фирма-исполнитель постоянно выполняет аналогичные проекты для схожих заказчиков, то общий результат деятельности будет наилучшим при выборе именно третьей стратегии. Если такой заказ имеет разовый характер, то критерий Байеса является менее предпочтительным.

Критерий Вальда (Wald) (пессимизма, наибольшего худшего результата, максимина)

В этом критерии для каждой стратегии (строки) определяется наименьший достижимый результат как минимальный элемент в строке:

Лучшей по критерию Вальда считается та стратегия, для которой этот результат наибольший:

Место критерия Вальда. Как следует из сути и альтернативных названий этого критерия, он наилучшим образом подходит для ситуации, в которой необходимо получить наименее «плачевный» результат в самом худшем случае, максимум минимального дохода или минимум максимальных потерь. Критерий соответствует пессимистично настроенному лицу, принимающему решения, когда для него страх проигрыша значительно важнее выигрыша. Выбирая стратегию по критерию Вальда мы можем твердо рассчитывать на полученный при ее определении результат даже при самом плохом стечении обстоятельств.

Применим критерий Вальда к нашему примеру.

Таким образом, по критерию Вальда наилучшей является стратегия , то есть при привлечении научных и финансовых консультантов мы в самом худшем случае получим наибольший выигрыш.

Критерий оптимизма (максимакса, крайнего оптимизма)

В этом критерии для каждой стратегии (строки) определяется наибольший достижимый результат как максимальный элемент в строке:

Лучшей по критерию оптимизма считается та стратегия, для которой этот результат наибольший:

Место критерия оптимизма. Как следует из сути и названий этого критерия, он наилучшим образом подходит для ситуации, в которой игрок настроен крайне оптимистично и рассчитывает на наибольший успех. Критерий хорошо работает в случае, когда потери для игрока в рассматриваемой ситуации мало значимы. Он так же соответствует случаю, когда все стратегии во всех вариантах приводят к заметным выигрышам и можно «рискнуть» понадеяться на самый крупный из них.

Результат применения этого критерия бывает обычно заранее понятным. Как правило, этот критерий для анализа игр с природой не используется, а используется более «взвешенный» критерий Гурвица.

Применим критерий оптимизма к нашему примеру.

Таким образом, по критерию оптимизма наилучшей является стратегия , то есть наибольший возможный выигрыш есть шанс получить только выполняя проект своими силами без привлечения консультантов.

Критерий Гурвица (Hurwich) (пессимизма-оптимизма, компромиссный)

В этом критерии для каждой стратегии определяется «взвешенный» результат из самого пессимистического и самого оптимистического для данной стратегии. Вес каждого определяется так называемыми коэффициентами пессимизма и оптимизма, сумма которых равна единице.

Обычно в задаче задается лишь коэффициент пессимизма (или , или , или ?). Коэффициент оптимизма равен, соответственно, . Значение этого коэффициента определяется личными особенностями лица, принимающего решения в данной ситуации и никак не зависит от вида самой матрицы.

После задания коэффициента пессимизма и коэффициента оптимизма для каждой стратегии находят пессимистический вариант и оптимистический вариант и вычисляют параметр Гурвица:

Лучшей по критерию Гурвица считается та стратегия, для которой этот результат наибольший:

Место критерия Гурвица. Данный критерий является компромиссным между прошлыми двумя и служит для учета как лучших, так и худших вариантов стратегий.

Варианты применения критерия Гурвица. В некоторых случаях считается разумным вместо лучшего (худшего) вариантов использовать средний результат между несколькими лучшими (худшими) значениями. Встречаются случаи, когда для критерия Гурвица используют лучшее (худшее) значение, вероятность которого не меньше заданной величины. Тем самым отсекаются крайне редко реализуемые предельные значения.

Для решения задач будем использовать критерий Гурвица в классической постановке, а коэффициент пессимизма будем задавать явно в условии задачи.

Применим критерий Гурвица к нашему примеру. Коэффициент пессимизма возьмем равным . Тогда коэффициент оптимизма равен .

Таким образом, по критерию Гурвица наилучшими оказались две стратегии: и , то есть по этому критерию предпочтительно привлекать научных и финансовых консультантов или только финансовых консультантов.

Критерий Сэвиджа (Savage) (минимального максимального риска)

1. Матрица рисков строится по столбцам.

2. В каждом столбце находим самое большое значение выигрыша.

3. Из этого значения по очереди вычитают все значения в данном столбце и записывают результат в те же позиции.

Символьно эту процедуру можно записать в таком виде:

Построим матрицу рисков в нашем примере.

Максимальный элемент в первом столбце исходной матрицы равен 10. Вычитая из 10 остальные элементы столбца, получим:

, то есть первый столбец матрицы рисков равен

Аналогично находим элементы других столбцов:

, .

Таким образом, матрица рисков для нашего примера будет иметь вид:

.

Экономический смысл матрицы рисков. Элементы матрицы рисков показывают каково «недополучение» оптимальной прибыли из-за неверного выбора стратегии при данном состоянии природы.

Например, элемент «4» показывает, что если Исполнитель привлекает обоих экспертов, то в случае отсутствия проверки он недополучает 4 млн. руб. относительно максимально возможных при отсутствии проверки 10 млн. руб.

Далее в каждой строке матрицы рисков определяется наибольший результат (максимальный элемент в строке):

Лучшей по критерию Сэвиджа считается та стратегия, для которой этот результат наименьший:

Место критерия Сэвиджа. Риск аналогичен отставанию. Таким образом, данный критерий наиболее соответствует ситуации в которой игроку важнее не отстать от конкурентов, находящихся в аналогичных условиях, нежели много выиграть или как можно меньше проиграть.

Применим критерий Сэвиджа к примеру:

Таким образом, по критерию Сэвиджа наилучшей является стратегия , то есть при привлечении только финансовых консультантов мы рискуем потерять наименьшее значение относительно других возможных вариантов.

Запись ответа в задачах игры с природой

Фирма поставляет на рынок новинки видеозаписей. Себестоимость одного диска (диск, работа, лицензионные отчисления) равна рублей. В первую неделю продаж диск позиционируется как новинка и продается в собственном магазине по цене руб. за штуку. Со второй недели цена дисков резко падает и они передаются в торговые сети по остаточной стоимости 40 руб. за диск. Директор фирмы знает, что за первую неделю возможно продать от 2 до 4 коробок с дисками по 500 штук в каждой. Вероятность спроса равна 30% для 2 коробок, 50% для 3 коробок и 20% для 4 коробок. Если сделать скидку на диски, равную %, то вероятность спроса поменяется и будет равна 20% для 2 коробок, 40% для 3 коробок и 40% для 4 коробок.

1. Определить оптимальную стратегию поведения фирмы для оптимизации прибыли. Имеет ли смысл делать скидку на фильмы?

2. Определить, какова максимальная стоимость информации о реальном спросе на конкретную видеозапись? Имеет ли смысл делать скидку в этом случае?

Подсказка: предложения со скидкой и без нее рассмотреть как отдельные возможные стратегии статистика с зависящими от них вероятностями состояний природы.

Тема 2. Критериальные методы принятия решений

Одним из вариантов ситуации принятия решения является так называемая критериальная постановка. В этом случае лицо, принимающее решение (ЛПР), выбирает лучшие из альтернатив для достижения определенной цели. Но соответствие цели оценивается не непосредственно, а путем удовлетворения набору критериев, обладанием рядом свойств.

Наиболее известными примерами выбора решений в рассмотренной постановке являются:

· выбор автомобиля, мобильного телефона, мебели и т.п.;

· выбор сотового оператора;

· выбор места для отдыха;

· выбор варианта инвестирования средств;

· найм сотрудника;

· выбор исполнителя работ.

Невозможно назвать «лучший» автомобиль. Во-первых, важно, какую цель мы преследуем при его покупке. Но и в этом случае все неоднозначно, доказательством чему является огромное количество разных производимых и продаваемых автомобилей всех категорий. Например «лучшего автомобиля для семейного пользования» нет - кроме характеристик, следующих непосредственно из цели использования (габариты, число мест и т.п.), имеются общие характеристики (экономичность, безопасность и т.п.), характеристики экономического характера (цена, доступность на рынке и т.п.), индивидуальные предпочтения (цвет, стиль и т.п.) и другие характеристики.

В описанных ситуациях как правило можно выделить группу наиболее интересных альтернатив (подходящих по цене, удовлетворяющих большинству запросов и т.п.). Окончательный выбор из этой группы оказывается более затруднительным. Если лицо, принимающее решение, - один человек, то можно понадеяться решить проблему волевым методом. Хотя не каждому удается сделать это быстро, уверенно и без лишних психологических потрясений (как не вспомнить печальный пример Буриданова осла ). В случае же коллективного принятия решения группой лиц ситуация еще больше осложняется (вспомните выбор семейного отдыха в семье Дяди Федора из произведений Э.Успенского).

Для получения обоснованного «лучшего» решения применяют критериальные методы или методы критериального анализа иерархий.

Для названных случаев гораздо проще сравнивать альтернативы между собой не с точки зрения достижения цели, а с точки зрения удовлетворения конкретным критериям (спорное сравнение автомобилей «какой лучше для семейных поездок» превращается в более простое сравнение по цене, комфорту, экономичности, цвету и т.п.). Кроме того необходимо сравнить между собой значимость критериев для конкретной цели.

Таким образом, возникает иерархичность - альтернативы обладают критериями, критерии определяют степень соответствия цели (рис. 1).

Рис. 1. Иерархическая структура ситуации принятия решения

Как правило имеются два уровня иерархии. В некоторых случаях возникают более сложные иерархии, как правило, когда критерии являются сложными, комплексными.

В 1970 г. Томас Саати (США) разработал метод анализа иерархий (Analityc hierarchy process). Кроме метода Саати существует множество других методов анализа подобных проблем. Однако именно этот метод получил широкое распространение и до сих пор активно используется в управленческой практике.

Критики метода приводят в качестве аргументов математическую неточность ряда моментов и возможность математических противоречий на этапах применения метода, отсутствие фильтрации противоречивых суждений. Однако это же является и достоинствами метода, ибо сам факт принятия решения, выбора «лучшего» и т.п. - часто противоречивая ситуация. Метод Саати приводит ЛПР не к «правильному» решению, а к варианту, наилучшим образом согласующемуся с его пониманием сути проблемы и требованиями к ее решению. Таким образом, этот метод позволяет получить объективные математические соотношения между альтернативами на основе субъективного взгляда на ситуацию лица, принимающего решение.

Метод Саати

Основа метода Саати - попарные сравнения альтернатив по каждому из критериев и попарное сравнение критериев с точки зрения важности для поставленной цели. Таким образом, все сравнения в данном методе производятся попарно, - то есть самым простым и очевидным методом. Например: какой автомобиль комфортнее, «Мерседес» или «Запорожец»?

Для сравнения Саати предложил использовать качественные признаки, переводимые потом в количественные по 9-ти балльной шкале (табл. 1).

Таблица 1.Качественные варианты сравнения и соответствующие им количественные баллы

Третий и четвертый столбик таблицы 1 соответствуют первому и второму для смены сравниваемых объектов. Например, если «Запорожец» принципиально лучше по критерию цена, чем «Мерседес», то «Мерседес» принципиально хуже «Запорожца» по этому критерию.

В случае, если ЛПР не может определиться между двумя качественными признаками, наличии промежуточного мнения, Саати рекомендует использовать промежуточные баллы 2, 4, 6, 8.

Определение указанных вариантов сравнения может быть осуществлено многими способами: по субъективному мнению, по экспертной оценке, путем голосования и др.

Заметим опять же субъективный подход в сравнении. Даже для критериев, имеющих четкое числовое выражение (цена, площадь и т.п.), в методике Саати нужно выбрать качественное сравнение и только потом количественное. И этому тоже есть объяснение - с качественной точки зрения соотношение между альтернативами не всегда соответствует соотношению их количественных признаков. Рассмотрим в качестве примера варианты ремонта автомобиля за счет страховых средств, ограниченных суммой 120 тыс. руб. Вся экономия остается у страховой компании, а излишки оплачиваются самостоятельно. В этом случае по критерию цена два варианта ремонта за 30 тыс. руб. и за 120 тыс. руб. практически одинаковы, а вариант за 150 тыс. руб. уже принципиально хуже.

Другим специфическим фактором является ограничение численных аналогов числом 9. Несмотря на возможность более чем 9-кратного превышения одного объекта над другим по какому-либо критерию, такой шкалы, как правило, достаточно, чтобы отразить качественное соотношение.

Запишем план или этапы применения метода Саати.

1. Выделение проблемы. Определение цели.

2. Выделение основных критериев, обуславливающих достижение цели.

3. Выделение группы альтернатив, представляющих наибольший интерес.

4. Построение иерархии: дерево от цели через критерии к альтернативам.

5. Построение матрицы попарных сравнений критериев по цели.

6. Построение матриц попарных сравнений альтернатив по критериям.

7. Применение методики анализа полученных матриц.

8. Определение весов альтернатив по системе иерархии.

Продемонстрируем применение метода Саати по пунктам плана на примере.

Пример. Организации, осуществляющей частое сопровождение договоров в другом городе, требуется купить квартиру там для проживания командированных сотрудников. Возможны поездки сотрудников разного пола. Возможно пребывание на квартире одновременно сотрудников разного ранга. Стоимость проезда по городу пребывания достаточно велика. На квартире сотрудники бывают в основном только в ночное время.

1. Выделение проблемы. Определение цели.

Цель - квартира для временного проживания сотрудников при частых командировках.

2. Выделение основных критериев, обуславливающих достижение цели.

После коллективного обсуждения на совете директоров определены следующие критерии:

· цена;

· размер;

· количество комнат;

· близость к работе;

· категория дома.

3. Выделение группы альтернатив, представляющих наибольший интерес.

После анализа предложений на рынке недвижимости выделены три наиболее интересных варианта:

· Квартира 1;

· Квартира 2;

· Квартира 3.

4. Построение иерархии: дерево от цели через критерии к альтернативам.

Дерево иерархии представлено на рис. 2. В ряде случаев выполнение этого пункта плана не обязательно. Тем не менее, дерево иерархий дает наглядное представление ситуации принятия решения и позволяет избежать некоторых ошибок при ее анализе.

Рис. 2. Дерево иерархии для примера выбора рабочей квартиры

5. Построение матрицы попарных сравнений критериев по цели.

Путем коллективного обсуждения и, при необходимости, голосования сравниваются между собой критерии с точки зрения соответствия цели:

· цена квартиры немного важнее размера;

· цена квартиры и количество комнат одинаково важны;

· цена квартиры и близость к месту работы важны одинаково, а по некоторым мнениям цена немного менее значима;

· цена важнее категории дома;

· размер менее важен или немного менее важен, чем количество комнат;

· размер заметно менее важен, чем близость к работе;

· размер квартиры и ее категория одинаково важны или размер немного важнее;

· количество комнат и близость к работе одинаково важны;

· количество комнат важнее или даже значительно важнее, чем категория дома;

· близость квартиры к работе значительно или принципиально важнее категории дома.

Составляется таблица качественного сравнения критериев (табл. 2). сравнения взаимны, то достаточно составить только ее часть, расположенную над главной диагональю:

Таблица 2.Качественное сравнение критериев для примера покупки квартиры

На основе таблицы качественного сравнения по таблице 1 строится таблица - матрица баллов (табл. 3). Под главной диагональю записываются числа, обратные к соответствующим числам над диагональю: . На диагонали всегда ставятся единицы так как одинаковые критерии равны между собой:

Таблица 3.Количественные баллы сравнения критериев для примера покупки квартиры

6. Построение матриц попарных сравнений альтернатив по критериям.

Аналогично пункту 5 строятся матрицы сравнения отдельных альтернатив по каждому из критериев.

Опустим подробное изложение всех операций и приведем ниже только матрицы количественных баллов (табл. 4 - 8):

Таблица 4.Количественные баллы сравнения альтернатив по цене

Таблица 5.Количественные баллы сравнения альтернатив по размеру

Таблица 6.Количественные баллы сравнения альтернатив по количеству комнат

Таблица 7.Количественные баллы сравнения альтернатив по близости к работе

Таблица 8.Количественные баллы сравнения альтернатив по категории дома

7. Применение методики анализа полученных матриц.

С каждой из полученных матриц применяем последовательность действий, описанных ниже. (Все действия продемонстрируем на матрице сравнения критериев. С матрицами сравнения альтернатив все операции выполняются аналогично).

7.1. Проводим нормировку матрицы:

· находим сумму элементов каждого столбца (см. табл. 9);

· делим все элементы матрицы на сумму элементов соответствующего столбца (см. табл. 10).

Таблица 9.Определение сумм столбцов

Таблица 10.Деление элементов на сумму соответствующего столбца

7.2. Определяем веса строк. Для этого просто определяем среднее значение в каждой строке последней из полученных матриц (см. табл. 11).

Таблица 11.Определение средних значений по строкам

Полученный в итоге столбец задает веса строк матрицы, - в данном случае - веса критериев с точки зрения поставленной цели.

Этот столбец называют весовым столбцом критериев по цели (см. табл. 12).

Таблица 12.Весовой столбец критериев по цели

7.3. Промежуточные выводы.

С точки зрения удовлетворения нашей цели наиболее весомым является близость квартиры к месту работы (38,4%), далее следует количество комнат (28,2%), потом идет цена (22,4%). Размер и категория квартиры имеют наименьшие весовые коэффициенты, в сумме составляющие всего 11%.

В некоторых случаях для упрощения анализа критерии, имеющие вес ниже заданного, могут быть исключены из рассмотрения.