Управленческие решения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Задание 1

Задание 2

Список литературы



Задание 1

По содержательной постановке задачи необходимо построить математическую оптимизационную модель и графическим способом найти её решение.

Деревообрабатывающая фабрика получает в месяц два типа лесоматериала: сосну и ель. Из этих материалов изготавливаются два вида фанеры: А и В. Исходные данные к задаче представлены в таблице. Обозначения объемов получаемого лесоматериала, расходов их на производство одного кв. метра фанеры соответствующих видов прибыли от продажи одного кв. метра фанеры приводятся в таблице. Необходимо определить план производства фанеры на месяц, обеспечивающий фабрике максимальную прибыль. Сформулируйте задачу как задачу линейного программирования и получите решение графическим способом.

Исходные данные

Тип лесоматериала	Объем получаемого лесоматериала (куб.м)	Расход лесоматериала (куб.м./кв.м) на производство фанеры А	Расход лесоматериала (куб.м./кв.м) на производство фанеры В
Сосна	100	0,01	0,02
Ель	50	0,01	0,05
Прибыль от продажи фанеры (руб/кВ.м)	20	30

Математическая модель:

Найти графически максимум (минимум) целевой функции следующей ЗЛП:

F = 20x1+30x2 > max,

при системе ограничений:



Решение:

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

или



Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. Обозначим границы области многоугольника решений.



Рассмотрим целевую функцию задачи F(Х)= 20x1+30x2 > max.

Построим прямую, отвечающую значению функции F(Х)=0: F(Х)=20x1+30x2=0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора - точка (0; 0), конец - точка (20; 30). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.



Область допустимых решений представляет собой линию.

Прямая F(Х) =const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (3) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

x2=0

0,01x1+0,05x2=50

Решив систему уравнений, получим: x1 = 5000, x2 = 0

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

F(X) = 20?5000 + 30?0 = 100000

Задание 2

Трем деревообрабатывающим фабрикам поставляется лесоматериал из двух различных регионов. Возможности поставщиков равны а1 и а2 (куб.м), потребности фабрик соответственно равны b1, b2, b3 (куб.м) и представлены в табл. 3.4. Известны затраты на перевозку одного кубометра леса от поставщиков к потребителям (задаются в виде матрицы затрат в рублях с элементами cij, i=1,2; j=1,2,3). Найти оптимальный план перевозок лесоматериала.

Данные для поставщиков и потребителей

Вариант	a1	a2	b1	b2	b3
1	10	5	7	2	6

Матрица затрат на перевозку лесоматериала

Вариант	c11	c12	c13	c21	c22	c23
1	30	20	10	40	20	20

Математическая модель транспортной задачи:

F = ??cijxij, (1)

при условиях:

?xij = ai, i = 1,2,…, m, (2)

?xij = bj, j = 1,2,…, n, (3)

xij ? 0

Запишем экономико-математическую модель для нашей задачи.

Переменные:

x11 - количество груза из 1-го склада в 1-й магазин;

x12 - количество груза из 1-го склада в 2-й магазин;

x13 - количество груза из 1-го склада в 3-й магазин;

x21 - количество груза из 2-го склада в 1-й магазин;

x22 - количество груза из 2-го склада в 2-й магазин;

x23 - количество груза из 2-го склада в 3-й магазин.

Ограничения по запасам:

x11 + x12 + x13 ? 10

x21 + x22 + x23 ? 5

Ограничения по потребностям:

x11 + x21 ? 7

x12 + x22 ? 2

x13 + x23 ? 6

Целевая функция:

30x11 + 20x12 + 10x13 + 40x21 + 20x22 + 20x23 > min

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов



	1	2	3	Запасы
1	30	20	10	10
2	40	20	20	5
Потребности	7	2	6

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

?a = 10 + 5 = 15

?b = 7 + 2 + 6 = 15

Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.

Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

	1	2	3	Запасы
1	30	20	10	10
2	40	20	20	5
Потребности	7	2	6

Этап I. Поиск первого опорного плана.

1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai, или bj.

Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.

Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

Искомый элемент равен 10

Для этого элемента запасы равны 10, потребности 6. Поскольку минимальным является 6, то вычитаем его.

x13 = min(10,6) = 6.

30	20	10	10 - 6 = 4
40	20	x	5
7	2	6 - 6 = 0	0

Искомый элемент равен 20

Для этого элемента запасы равны 4, потребности 2. Поскольку минимальным является 2, то вычитаем его.

x12 = min(4,2) = 2.

30	20	10	4 - 2 = 2
40	x	x	5
7	2 - 2 = 0	0	0

Искомый элемент равен 30

Для этого элемента запасы равны 2, потребности 7. Поскольку минимальным является 2, то вычитаем его.

x11 = min(2,7) = 2.

30	20	10	2 - 2 = 0
40	x	x	5
7 - 2 = 5	0	0	0

Искомый элемент равен 40

Для этого элемента запасы равны 5, потребности 5. Поскольку минимальным является 5, то вычитаем его.

x21 = min(5,5) = 5.



30	20	10	0
40	x	x	5 - 5 = 0
5 - 5 = 0	0	0	0

	1	2	3	Запасы
1	30[2]	20[2]	10[6]	10
2	40[5]	20	20	5
Потребности	7	2	6

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 4, а должно быть m + n - 1 = 4. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F(x) = 30?2 + 20?2 + 10?6 + 40?5 = 360

Этап II. Улучшение опорного плана.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.

u1 + v1 = 30; 0 + v1 = 30; v1 = 30

u2 + v1 = 40; 30 + u2 = 40; u2 = 10

u1 + v2 = 20; 0 + v2 = 20; v2 = 20

u1 + v3 = 10; 0 + v3 = 10; v3 = 10

	v1=30	v2=20	v3=10
u1=0	30[2]	20[2]	10[6]
u2=10	40[5]	20	20

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij

(2;2): 10 + 20 > 20; ?22 = 10 + 20 - 20 = 10

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;2): 20

Для этого в перспективную клетку (2;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	Запасы
1	30[2][+]	20[2][-]	10[6]	10
2	40[5][-]	20[+]	20	5
Потребности	7	2	6

Цикл приведен в таблице (2,2 > 2,1 > 1,1 > 1,2).

Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 2) = 2. Прибавляем 2 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 2 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	Запасы
1	30[4]	20	10[6]	10
2	40[3]	20[2]	20	5
Потребности	7	2	6

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.

u1 + v1 = 30; 0 + v1 = 30; v1 = 30

u2 + v1 = 40; 30 + u2 = 40; u2 = 10

u2 + v2 = 20; 10 + v2 = 20; v2 = 10

u1 + v3 = 10; 0 + v3 = 10; v3 = 10



	v1=30	v2=10	v3=10
u1=0	30[4]	20	10[6]
u2=10	40[3]	20[2]	20

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vj ? cij.

Минимальные затраты составят:

F(x) = 30?4 + 10?6 + 40?3 + 20?2 = 340

Анализ оптимального плана.

От 1-го поставщика необходимо груз направить на 1-ю фабрику (4), на 3-ю фабрику (6)

От 2-го поставщика необходимо груз направить на 1-ю фабрику (3), на 2-ю фабрику (2)

фанера прибыль лесоматериал графический



Список литературы

1. Ехлаков Ю.П. Теоретические основы автоматизированного управления: Учебник. - Томск: ТУСУР, 2001.

2. Таха Х. Введение в исследование операций: Кн.1, 2. - М.: Мир, 1985. - 479 с.

3. Сакович В.А. Исследование операций.- Минск: Высшая школа, 1985.

4. Банди Б. Линейное программирование. - М.: Радио, 1985.

5. Дегтярев Ю.И. Исследование операций. - М.: Высшая школа, 1986. - 320 с.

6. Ямпольский В.З. Теория принятия решений: Учебн. пособие для студентов втузов. - Томск: Изд-во ТПИ, 1979.

7. Евланов Л.Г. Теория и практика принятия решений. - М.: Экономика

Размещено на Allbest.ru