Методы принятия управленческих решений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Псковский государственный университет

Кафедра «Государственного и муниципального управления»

Контрольная работа

Методы принятия управленческих решений

Преподаватель: Дятлов

Псков - 2013



Задача 1

Для производства трех видов продукции (А, В и С) предприятие использует два вида сырья, удельный расход которого представлен в таблице 1.

Таблица 1 Расход сырья и прибыль от реализации 1 т продукции

Сырье	Расход сырья на 1 т продукции, т	Запас сырья, т/сут.
	А	В	С
1	25	45	25	13500
2	25	25	35	14500
Прибыль от реализации 1 т, тыс. д.е.	35	25	25

Составить математическую модель задачи. С использованием симплексного метода решения задач линейного программирования рассчитать такой суточный объем производства каждого вида продукции, при котором прибыль от его реализации будет максимальной.

Решение:

Экономико-математическая модель задачи имеет следующий вид:

- переменные:

- объем реализации товаров группы А, ед.

- объем реализации товаров группы В, ед.

- объем реализации товаров группы С, ед.

- целевая функция:

Максимум прибыли от реализации товаров, тыс. руб.

,

Ограничения:

1) по сырью 1, т

2) по сырью 2, т

3) условие не отрицательности переменных

Алгоритм симплексного метода включает следующие этапы:

Таблица 2 Первый план симплексной таблицы

Базисные	Свободные члены	Переменные
		x1	x2	x3	x4	x5
x4	13500	25	45	25	1	0	300,0	вед.стр.
x5	14500	25	25	35	0	1	580,0
Индексная строка	0	-35	-25	-25	0	0	max
		вед столбец

Таблица 3 Второй план симплексной таблицы

Базисные	Свободные члены	Переменные
		x1	x2	x3	x4	x5
x1	540	1	1,8	1	0,04	0
х5	1000	0	-20	10	-1	1
Индексная строка	18900	0	38	10	1,4	0

Ответ: необходимо продавать товары первой группы А 540 ед., при этом торговое предприятие получит максимальный доход в размере 18900 тыс. д.ед., Товары группы В и С не реализуются.

,

Задача 2

Груз должен быть полностью перевезен из трех складов четырем фирмам-потребителям. В транспортной матрице (таблица 5) указаны запасы груза на складах (в тоннах), потребности фирм (в тоннах) и стоимость перевозки 1 тонны груза от каждого склада соответствующей фирме (руб.)

Таблица 5 Исходные параметры транспортной задачи

Склады	Фирмы-потребители	Запасы, т
	1	2	3	4
1	50	55	35	40	35
2	25	75	55	45	35
3	65	40	45	35	30
Потребности, т	25	25	20	30

Определить опорный план перевозок с помощью метода северо-западного угла или минимального элемента. Рассчитать оптимальный план перевозок, имеющий минимальную стоимость с использованием метода потенциала.

Решение:

Метод северо-западного угла:

- при решении транспортной задачи необходимо определить является задача открытой или закрытой. Данная задача является закрытой, так как запасы поставщиков равны потребностям потребителей. Запасы поставщиков (100 т) равны потребностям (100 т).

Составим транспортную матрицу.

Таблица 6 Транспортная матрица

Склады	Фирмы-потребители	Запасы, т
	1	2	3	4
1	50	55	35	40	35
	25	10
2	25	75	55	45	35
		15	10	10
3	65	40	45	35	30
			10	20
Потребности, т	25	25	20	30	100=100



Начальный план перевозок имеет вид:

,

, , , ,,,, , , , ,,

Стоимость перевозок по этому плану составляет:

,

Метод потенциалов:

Проверка на оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы , полагая, что .

,

,

,

,

,

,

	,	,	,	,
	50	55	35 [5]	40 [30]
	25 [25]	75	55 [10]	45
	65	40 [25]	45 [5]	35



Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых

(2;4): ;

(3;4): ;

max (15,15) = 15

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;4): 45

Для этого в перспективную клетку (2;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

Склады	Фирмы-потребители	Запасы, т
	1	2	3	4
1	50	55	35 [15] [+]	40 [30] [-]	35
2	25 [25]	75	55 [10] [-]	45 [+]	35
3	65	40 [25]	45 [5]	35	30
Потребности, т	25	25	20	30

Цикл приведен в таблице (2,4; 2,3; 1,3; 1,4).

Из грузов стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. y=min (2,3) = 10. Прибавляем 10 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 10 из , стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

Склады	Фирмы-потребители	Запасы, т
	1	2	3	4
1	50	55	35 [15]	40 [20]	35
2	25 [25]	75	55	45 [10]	35
3	65	40 [25]	45 [5]	35	30
Потребности, т	25	25	20	30



Проверим оптимальность опорного плана. Найдем на предварительные потенциалы по занятым клеткам таблицы, в которых , полагая, что .

,

,

,

,

,

.

	50	55	35 [5]	40 [20]
	25 [25]	75	55 [10]	45 [10]
	65	40 [25]	45 [5]	35

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых

(3;4)

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;4): 35

Для этого в перспективную клетку (3;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся «-», «+», «-».

Склады	Фирмы-потребители	Запасы, т
	1	2	3	4
1	50	55	35 [15] [+]	40 [20] [-]	35
2	25 [25]	75	55	45 [10]	35
3	65	40 [25]	45 [5] [-]	35 [+]	30
Потребности, т	25	25	20	30

Цикл приведен в таблице (3,4; 3,3; 1,3; 1,4).

Из грузов стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. y= min (3,3)=5. Прибавляем 5 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 5 из , стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

Склады	Фирмы-потребители	Запасы, т
	1	2	3	4
1	50	55	35 [20]	40 [15]	35
2	25 [25]	75	55	45 [10]	35
3	65	40 [25]	45	35 [5]	30
Потребности, т	25	25	20	30

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ,, по занятым клеткам таблицы, в которых , полагая что .

,

,

,

,

,

,

	50	55	35 [20]	40 [15]
	25 [25]	75	55	45 [10]
	65	40 [25]	45	35 [5]

Опорный план является оптимальным, так как все оценки свободных клеток удовлетворяют условию, .

Минимальные затраты составят:

,

Анализ оптимального плана:

- из 1-ого склада необходимо направить груз в 3-ую фирму (20), в 4-ю фирму (15);

- из 2-ого склада необходимо направить груз в 1-ю фирму (25), в в 4-ю фирму (10);

- из 3-ого склада необходимо направить груз в 2-ю фирму (25), в в 4-ю фирму (5).

Задача 3

Необходимо выбрать оптимальный вариант специального передвижного оборудования для технического обеспечения процесса управления производством. На основе информации соответствующих заводов-изготовителей определены локальные критерии функционирования оборудования и веса этих критериев.

Таблица 7

Вариант оборудования	Время подготовки к работе, час.	Стоимость оборудования, тыс. руб.	Объем памяти, Гбайт	Масса, кг	Число выполняемых функций, ед.
1	0,45	450	185	115	20
2	0,65	450	135	135	23
3	0,35	550	225	105	25
4	0,55	650	175	135	20
Коэффициенты веса	0,1	0,2	0,1	0,2	0,4



Решение:

Выберем максимальные значения по каждому столбу:

,

В соответствии с критерием max эффективности пересчитываются значение частных критериев: симплексный план перевозка стратегия

,

,

Формула (1) используется для критериев, которые необходимо максимизировать, а формула (2) - для критериев, которые необходимо минимизировать. В данном задании необходимо максимизировать критерии «Объем памяти» и «Число выполняемых функций», а минимизировать - критерии «Время подготовки к работе», «Стоимость оборудования», «Масса». Для критериев «Объем памяти» и «Число выполняемых функций» используется формула (1):

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Для критериев «Стоимость оборудования», «Время подготовки к работе» и «Масса» используется формула (2):

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Рассчитаем значения аддитивного критерия оптимальности по формуле:

,

Рассчитаем значения аддитивного критерия оптимальности:

,

,

,

,

Ответ: необходимо выбрать стратегию , так как она соответствует наибольшему значению аддитивного критерия оптимальности. Фирме необходимо приобрести третий вариант оборудования.

Задача 4

Планируется производство легковых автомобилей. Имеются четыре варианта проекта автомобиля . Ожидаемые значения прибыли для различных проектов и состояний спроса на рынке приведены в таблице (млрд.руб.)

Таблица 8 Ожидаемые значения прибыли для различных проектов и состояний спроса на рынке

Проекты автомобилей	Состояние спроса на автомобили
,	25	30	40
,	38	19	35
,	30	23	37
,	34	25	35

Определите оптимальную стратегию используя критерии Лапласа,Вальда, Сэвиджа и Гурвица (. Сделайте выводы.

Решение: Используя критерий Лапласа вычисляем по следующей формуле:

,

где - количество состояний природы

,

,

,

,

Вывод: так как дана матрица прибыли, то выбираем стратегию с наибольшим значение затрат 31.35 млрд. руб. Следовательно, наилучшей стратегией является первый проект автомобилей.

2. Используя критерий Вальда вычисляем по следующей формуле:



Выберем оптимальную стратегию с помощью критерия Вальда. В данном случае будет использоваться минимальный критерий:

,

,

,

,

,

Вывод: в соответствии с критерием Вальда наилучшими стратегиями являются четвертая и первая.

Используя критерий Сэвиджа вычисляем по следующей формуле:

Проекты автомобилей	Состояние спроса на автомобили
,	13	0	0
.	0	11	5
.	8	7	3
.	4	5	5

Применим к матрице минимакс

	13	-
	11	-
	8	-
	5	5

Вывод: в соответствии с данным критерием выбираем оптимальной четвертую стратегию.

4. Используя критерий Гурвица вычисляем по следующей формуле:

Для :

,

.

.

.

Вывод: так как наибольшее значение равно 32,5, следовательно, выбираем первый проект автомобиля.

Для :

,

.

.

.

Вывод: так как наибольшее значение равно 39, следовательно, выбираем первый проект автомобиля.

Задача 5

Фирма 1 планирует освоить производство одного из четырех однородных товаров (А, B, С, D), которые будет реализовывать на рынке, где возможна продажа конкурентом (фирмой 2) аналогичных товаров. На основе проведенного маркетингового исследования фирме 1 стали известны доли продаж своих товаров при наличии на рынке товаров -конкурентов (таб.)

Таблица 8 Платежная матрица игры

	А	B	C	D
A	0,75	0,85	0,55	0,65
B	0,55	0,65	0,45	0,55
C	0,85	0,75	0,55	0,45
D	0,65	0,75	0,35	0,75

Определите чистую цену игры, оптимальные чистые стратегии продвижения товара на рынок фирмами. Укажите гарантированный размер прибыли от реализации товаров для фирмы 1 в ситуации равновесия.

Решение:

При определении наилучших стратегий игроков следует учитывать, что противники, участвующие в игре, одинаково разумны, и каждый из них делает все для того, чтобы добиться своей цели. Выбирая стратегию игрока 1, необходимо рассчитывать, что игрок 2 ответить на нее той из своих стратегий, для которой выигрыш игрока 1 будет минимальным. Найдем минимальное число в каждой строке матрицы и, обозначив его , запишем рядом с платежной матрицей (таб.) добавочный столбец.

Таблица 9 Платежная матрица парной игры с добавочным столбцом и добавочной строкой

	А	B	C	D
A	0,75	0,85	0,55	0,65	0,55
B	0,55	0,65	0,45	0,55	0,45
C	0,85	0,75	0,55	0,45	0,45
D	0,65	0,75	0,35	0,75	0,35
	0,85	0,85	0,55	0,75



Игрок 1, зная свои минимальные выигрыши для любой стратегии игрока 2, будет предпочитать такую стратегию, при которой значение является максимальным, то есть

,

Величина - это гарантированный выигрыш, который может обеспечить себе игрок 1. Она называется нижней ценой игры (масимином)

Наименьшее значение среди обозначим - это верхняя цена игры (минимакс), которая определяется по формуле:

,

Найдем нижнюю цену игры:

,

Найдем верхнюю цену игры:

,

Игра имеет седловую точку, так как . Чистая цена игры

Оптимальными чистыми стратегиями являются:

- первая стратегия для рассматриваемой фирмы 1 (производство и реализация товара А);

- вторая стратегия для фирмы 3 (продажа товара С).

При выборе каждым игроком своей оптимальной чистой стратегии (ситуация равновесия), гарантированная величина прибыли от реализации товаров, полученная фирмой 1 составит 0,55 ден.ед.

Ответ: оптимальная чистыми стратегиями будут являться - реализация товара 0,55 ден. ед.

Размещено на Allbest.ru