Теория массового обслуживания в коммерческой деятельности

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Глава 1. Обзор моделей теории массового обслуживания

1.1 Общие понятия теории массового обслуживания

1.2 Одноканальная СМО с отказами в обслуживании

1.3 Многоканальная СМО с отказами в обслуживании

Глава 2. Практическое применение метода теории массового обслуживания в коммерческой деятельности

Заключение

Библиографический список

Введение

Теория массового обслуживания - область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства и др. Большой вклад в развитие этой теории внесли российские математики А. Я. Хинчин, Б. В. Гнеденко, А. Н. Колмогоров, Е. С. Вентцель и др. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник. - 2_е изд. М.: Финансы и статистика, 2005. --с. 445Финансы и статистика, 2005. --с. 393

Актуальность данной темы выражена в том, что в коммерческой деятельности возникают задачи по анализу имеющихся вариантов выполнения всей совокупности операций с целью оценки выполняемой работы, выявления слабых звеньев и резервов для разработки рекомендаций, направленных на увеличение эффективности коммерческой деятельности той или иной организации.

Глава 1. Обзор моделей теории массового обслуживания

1.1 Общие понятия теории массового обслуживания

Системы массового обслуживания являются примером динамических систем, которые называются «системы потоков». Система потоков - это система, в которой некоторые предметы текут, движутся или транспортируются по одному или нескольким каналам ограниченной пропускной способности с целью перемещения из одной точки в другую. Ограниченная пропускная способность означает, что канал может удовлетворять требования только с конечной скоростью. Очевидно, что анализ таких систем требует специальных аналитических методов, развитых в различных дисциплинах, одной из которых является теория массового обслуживания. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. М.: Машиностроение. 1979. - c.18

При исследовании операций часто приходится сталкиваться с работой систем массового обслуживания (СМО). Примерами таких систем могут служить: телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, справочные бюро, магазины, парикмахерские и т. п.

Каждая СМО состоит из какого-то числа обслуживающих единиц (или «приборов»), которые мы будем называть каналами обслуживания. Каналами могут быть: линии связи, рабочие точки, кассиры, продавцы, лифты, автомашины и др. СМО могут быть одноканальными и многоканальными.

Всякая СМО предназначена для обслуживания какого-то потока заявок (или «требований»), поступающих в какие-то случайные моменты времени. Обслуживание заявки продолжается какое-то, вообще говоря, случайное время Tоб, после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времен обслуживания приводит к тому, что в какие-то периоды времени на входе СМО скапливается излишне большое число заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО необслуженными); в другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой или вообще простаивать.

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем; состояние СМО меняется скачком в моменты появления каких-то событий (или прихода новой заявки, или окончания обслуживания, или момента, когда заявка, которой надоело ждать, покидает очередь). Вентцель Е.С. Исследование операций: Задачи, принципы, методология. М.: Высшая школа, 2001. -- с. 132

У всех СМО можно выделить некоторые общие компоненты. К ним относятся: входящий поток заявок (процесс поступления заявок в систему), структура системы (количество и типы обслуживающих приборов), время обслуживания заявок, дисциплина обслуживания (формирование очередей, выбор заявок для обслуживания) и другие. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория массового обслуживания: Учебник. М.: Изд-во РУДН, 1995. -- с. 76

1.2 Одноканальная система массового обслуживания с отказами в обслуживании

Переходы СМО из одного состояния в другое происходят под действием входного потока заявок с интенсивностью ?,, а обратный переход -- под действием потока обслуживания с интенсивностью µ. (см. Рисунок 1)

массовый обслуживание

- канал обслуживания свободен,

- канал занят обслуживанием

Рис. 1. Размеченный граф состояний одноканальной СМО.

Запишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояния (см. 1):

(1)

Откуда получим дифференциальное уравнение для определения вероятности состояния (см. 2):

(2)

Это уравнение можно решить при начальных условиях в предположении, что система в момент t = 0 находилась в состоянии , тогда . В этом случае решение дифференциального уравнения позволяет определить вероятность того, что канал свободен и не занят обслуживанием (см. 3):

(3)

Тогда нетрудно получить выражение для определения вероятности занятости канала (см. 4):

(4)

Функции и определяют переходный процесс в одноканальной СМО и описывают процесс экспоненциального приближения СМО к своему предельному состоянию с постоянной времени t, характерной для рассматриваемой системы. С достаточной для практики точностью можно считать, что переходный процесс в СМО заканчивается в течение времени, равного Зt. Доля обслуживаемых заявок по отношению ко всему потоку заявок определяется величиной (см.5):

(5)

Абсолютная пропускная способность, определяющая число заявок, обслуживаемых в единицу времени равна: . Соответственно доля заявок, получивших отказ, составляет (см. 6):

(6)

При этом общее число необслуженных заявок равно: . Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник. - 2_е изд. М.: Финансы и статистика, 2005. --с. 445

1.3 Многоканальная система массового обслуживания с отказами в обслуживании

В подавляющем большинстве случаев на практике системы массового обслуживания являются многоканальными, то есть параллельно могут обслуживаться несколько заявок, и, следовательно, модели с обслуживающими каналами (где число каналов обслуживания n >1) представляют несомненный интерес.

Процесс массового обслуживания, описываемый данной моделью, характеризуется интенсивностью входного потока ?, при этом параллельно может обслуживаться не более n клиентов (заявок). Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняется 1/?. Режим функционирования того или иного обслуживающего канала не влияет на режим функционирования других обслуживающих каналов системы, при чем длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, подчиненной экспоненциальному закону распределения. Конечная цель использования параллельно включенных обслуживающих каналов заключается в повышение (по сравнению с одноканальной системой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания одновременно n клиентов.

Стационарное решение системы имеет вид (см. 7):

; (7)

где , .

Формулы для вычисления вероятностей называются формулами Эрланга. Определим вероятностные характеристики функционирования многоканальной СМО с отказами в стационарном режиме (см. 8):

(8) 

Величина Ротк характеризует полноту обслуживания входящего потока. Вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же - относительная пропускная способность системы (q)) дополняет Ротк до единицы: . Абсолютная пропускная способность вычисляется по формуле: . Среднее число каналов, занятых обслуживанием следующее: . http://math.immf.ru/lections/206.html

Глава 2. Практическое применение модели теории массового обслуживания в коммерческой деятельности

В данной главе будет рассмотрено практическое применение многоканальной системы массового обслуживания, т.к. она в наибольшей мере встречается в процессе коммерческой деятельности.

Допустим, что n-канальная СМО представляет собой салон сотовой связи (далее ССС) с тремя (n=3) работающими консультантами. Поток клиентов, имеет интенсивность 5 человек в час (?=5). Средняя продолжительность обслуживания - 0.5 часа (tоб=0.5). Вычислим значения:

1. Вероятности числа занятых консультантов;

2. Вероятности отказа в обслуживании клиента;

3. Относительной пропускной способности ССС;

4. Абсолютной пропускной способности ССС;

5. Среднего числа занятых консультантов.

Определим параметр ? потока обслуживаний (см. 9):

(9)

Далее определим интенсивность потока заявок (см. 10):

(10)

Предельные вероятности состояний вычислим по формулам Эрланга (см. 11):

(11)

Вероятность отказа в обслуживании клиента равна (см. 12):

(12)

Относительная пропускная способность ССС равна (см. 13):

(13)

Абсолютная пропускная способность ССС равна (см. 14):

(14)

Далее высчитываем среднее число занятых консультантов (см. 15):

=2.44 (15)

Вывод: при данном режиме работы СМО, 2.5 консультанта будут заняты клиентами, остальные будут ожидать. Работу консультантов салона сотовой связи можно считать удовлетворительной, т.к. вероятность отказа в обслуживании ничтожно мала. В среднем консультанты не будут заняты обслуживанием клиентов лишь в 0.02% случаев ().

Заключение

В современном мире, под влиянием научно-технического прогресса, все более широкое развитие получает сфера обслуживания и развитие коммуникаций. Всем известно, что целью коммерческой деятельности является получение прибыли, в то время как целью менеджера является организация деятельности предприятия с целью оптимизации внутренних процессов и разработки мер по стабилизации системы. Одним из важнейших инструментов стабилизации являются модели теории массового обслуживания, рассмотренные в данной работе. Можно с уверенностью сказать, что изученные модели несут в себе первостепенную важность, являясь основой процесса стабилизации и корректировки коммерческой деятельности организации, оперирующей в сфере обслуживания. Данные модели могут быть использованы каждым руководителем, т.к. позволяют с достаточной точностью оценить работу предприятия, определить изъяны и разработать корректирующие действия, в случае неудовлетворительной оценки работы системы.

Библиографический список

1) Вентцель Е.С. Исследование операций: Задачи, принципы, методология. М.: Высшая школа, 2001. [132-133]

2) Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник. - 2_е изд. М.: Финансы и статистика, 2005. [393,440-446]

3) Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. М.: Машиностроение. 1979. [18]

4) Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория массового обслуживания: Учебник. М.: РУДН, 1995. [75-76]

5) http://math.immf.ru/lections/206.html

Размещено на Allbest.ru