На этапе количественного анализа риска вычисляются числовые значения вероятности наступления рисковых событий, выявленных на предыдущем этапе, и объема вызванного ими ущерба или выгоды.

Рассматривая всю совокупность методов количественного анализа рисков, можно сказать, что применение конкретного метода зависит от множества факторов [23]:

- для каждого типа анализируемого риска существуют свои методы анализа и конкретные особенности их реализации. Например, при анализе технико-производственных рисков, связанных с отказом оборудования наибольшее распространение получили методы построения деревьев;

- для анализа рисков существенную роль играет объем и качество исходных данных. Так, если имеется значительная база данных по динамике РОФ, возможно применение методов имитационного моделирования и нейронных сетей. В противном случае вероятнее всего применение экспертных методов или методов нечеткой логики;

- при анализе рисков принципиально важно учитывать динамику показателей, влияющих на уровень риска. В случае анализа рисков на рынках в состоянии шока ряд методов попросту неприменим;

- при выборе методов анализа следует принимать во внимание не только глубину расчетных данных, но и горизонт прогнозирования показателей, влияющих на уровень риска;

- большое значение имеет срочность и технические возможности проведения анализа. Если в распоряжении аналитика имеется солидный вычислительный потенциал и запас времени, возможно обучение нейронных сетей, моделирование по методу Монте-Карло и т. д.;

- эффективность применения методов анализа риска повышается при формализации риска с целью математического моделирования его воздействия на результаты деятельности предприятия. В настоящее время не только экономические системы, но и промышленные комплексы достигли такой сложности, что зачастую расчет их устойчивости невозможен без элементов теории вероятностей;

- следует учитывать требования государственных контролирующих органов к формированию отчетности о рисках. В том случае, если на нормативном уровне требуется использование методов имитационного моделирования, их применение обязательно.

Все вышеперечисленное позволяет сделать вывод о том, что для эффективного анализа всего многообразия рисков в деятельности предприятия необходимо применять целый комплекс методов, что, в свою очередь, подтверждает актуальность разработки комплексного механизма управления рисками. После того, как были выявлены факторы, которые могут оказывать влияние на цену металлопродукции, необходимо придать риску количественное значение.

2.4.1 Оценка риска изменения цен на сырье и потребляемые материалы в ОАО "ММК"

В этом пункте проведем оценку риска изменения цены на биржевые товары - олово, цинк, никель. Для расчетов используются ежемесячные цены на сырье за период 1999-2004 год. Оценка риска проводится в несколько этапов [19]:

1. Для оценки интенсивности изменения цен на сырье производится расчет логарифмов ежемесячных темпов роста. Логарифм темпа роста цены i-го вида сырья в момент t рассчитывается по формуле:

(2.1)

где - цена i-го вида сырья в период t;

- цена i-го вида сырья в период t-1;

T - общее число периодов (t = 72);

i - индекс, обозначающий вид сырья;

n - число видов сырья.

2. Рассчитывается ковариационная матрица для случайных величин Xi (логарифмов темпов роста i-ого вида сырья).

Расчет ковариации C_ij случайных величин X_i и X_j проводится по формуле [20]:

(2.2)

Квадратная матрица размерностью n X n , в которой на пересечении i-ой строки и j-го столбца расположен элемент, равный , является ковариационной матрицей.

Для олова, никеля и цинка ковариационная матрица примет вид (таблица 2.1):

Таблица 2.1 - Ковариационная матрица для биржевых товаров

3. На основе ковариационной матрицы рассчитывается волатильность i-го вида сырья. Волатильность представляет собой основную меру риска изменения цены на сырье и рассчитывается по формуле:

. (2.3)

Элементы главной диагонали ковариационной матрицы (находящиеся на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами) представляют собой дисперсии (квадраты волатильностей). Дисперсия характеризует степень разброса, отклонения случайной величины от её ожидаемого значения: чем она выше, тем значительнее это отклонение. Поэтому волатильность (изменчивость) часто принимается в качестве одного из измерителей риска. Результаты расчетов приведены в таблице 2.2.

4. Оценка возможных потерь на 1 тонну с вероятностью 0,95 в течение ближайшего t+1-го месяца из-за колебания цен каждого i-го вида сырья находится следующим образом:

VaR_i = 1.65 у _iP_i, (2.4)

где у _i - волатильность i-го вида сырья;

P_i - цена i-го вида сырья в периоде t;

1,65 - 95%-ная критическая точка нормального распределения.

Для того чтобы оценить возможные потери из-за колебаний цен на сырье в течение ближайшего месяца (таблица) умножим полученное значение VaR на среднемесячные объемы закупки сырья за весь исследуемый период. Для оценки возможных потерь в течение двенадцати ближайших месяцев используем поправочный коэффициент (экспоненту Хёрста):

VaR_i = 1.65 у _iP_i t^0,5, (2.5)

где t - количество месяцев от момента расчета до конца года.

Результаты расчетов приведены в таблице 2.2.

Таблица 2.2 - Возможные потери при неблагоприятном изменении цен на рынке биржевых товаров

2.4.2 Статистическое исследование зависимости цены сортового проката

Оценку риска изменения цен на металлопродукцию проведем в два этапа. Целью первого этапа является построение модели формирования цены на конкретный вид продукции; на втором этапе проведем собственно оценку риска изменения цены методом Монте-Карло. В качестве примера построим модель формирования цены на один из видов металлопродукции - сортовой прокат.

1. Характеристика временного ряда цены на сортовой прокат

Исследуемый временной ряд состоит из абсолютных значений цены на сортовой прокат за 1999-2004 г. и относится к моментным рядам, так как его компонентами являются среднемесячные значения цены продукции. Выполняются основные требования, предъявляемые к временным рядам:

1. Уровни ряда являются равноотстоящими и сопоставимыми (представлены значения за один месяц);

2. Ряд имеет достаточную для изучения длину - 6 лет или 72 месяца;

3. Временной ряд не имеет пропущенных значений;

4. Уровни ряда не содержат аномальных выбросов

График исследуемого временного ряда представлен на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3. График временного ряда цены на сортовой прокат

По графику видно, что самый низкий уровень зафиксирован в начале 1999 года, после чего начался медленный, но неуклонный рост. Резкий подъем наблюдался в марте-мае 2004 года, что можно объяснить обострением ситуации на рынке сырьевых ресурсов, после чего рост более или менее стабилизировался и даже заметны небольшие колебания в сторону то увеличения, то снижения цены продукции. Однако эта видимая стабилизация поддерживается искусственно, и прогнозируемое экспертами увеличение стоимости сырья позволяет предположить дальнейшее увеличение стоимости продукции.

Основные характеристики показателей цены продукции приведены в таблице.

Таблица 2.3 - Основные характеристики показателей цены сортового проката в ОАО "ММК"

2. Построение матрицы данных

Для построения модели формирования цены на сортовой прокат были отобраны следующие показатели:

Эндогенная переменная: X1 - цена сортового проката (тыс. руб/т).

Экзогенные переменные:

- Х2 - стоимость сырья (тыс. руб./т);

- Х3 -объем производства (тыс. т);

- Х4 - объем отгрузки (тыс. т);

- Х5 - рентабельность собственного капитала;

- Х6 - коэффициент оборачиваемости запасов;

- Х7 - средняя заработная плата на ММК (тыс. руб.);

- Х8 - затраты на ремонт по отношению к стоимости основных средств;

- Х9 - чистые активы (тыс. руб.);

- Х10 - собственный оборотный капитал (тыс. руб.);

- Х11 - уровень дебиторской задолженности (тыс. руб.);

- Х12 - уровень кредиторской задолженности (тыс. руб.);

- Х13 - доля заемных средств предприятия;

- Х14 - доля продаж на внутреннем рынке;

- Х15 - индекс потребительских цен с поправкой на сезонные колебания (1999 г.=1);

- Х16 - среднемировая цена сортового проката (тыс. руб./т);

- Х17 - производительность труда (тыс. руб./чел.).

В результате образовалась матрица исходных данных размерности 72*17, элементы которой представляют собой 72 наблюдения для каждого из 17 факторов.

Графики экзогенных переменных приведены в приложении Б.

3. Предварительный статистический анализ данных

С целью анализа взаимосвязей показателей и выявления мультиколлинеарности между экзогенными переменными построим матрицу парных коэффициентов корреляции R (приложение В).

Из матрицы следует, что наиболее заметно между собой и с другими переменными коррелируют X₉, X₁₀, X₁₅, X₁₆, X₁₇. В дальнейшем при построении регрессионной модели это нужно учитывать, включая в модель только одну из сильно коррелированных объясняющих переменных. При этом предпочтение отдается не фактору, более тесно связанному с результатом, а тому фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами. На этапе предварительного анализа наиболее предпочтительной является переменная X₂.

Наиболее тесная связь экзогенных и эндогенных переменной наблюдается между x₁ и x₂ (r=0,97), x₁ и x₉ (r=0,97), x₁ и x₁₆ (r=0,97), x₁ и x₁₇ (r=0,99), что хорошо объясняется с экономической точки зрения.

4. Получение лаговых переменных

С помощью функции "частная автокорреляция" и "кросс-корреляция" построим частную автокорреляционную функцию эндогенной переменной Х₁ и ее взаимные корреляционные функции с экзогенными переменными. В соответствии с этими функциями строятся новые лаговые переменные.

Первая лаговая переменная Х _t-1⁽¹⁾ найдена с помощью автокорреляционной функции

, где . (2.6)

С помощью функции "кросс-корреляция" определи лаги для экзогенных переменных. Величина лага для переменной Х^(j) определялась из условия

, где k=1,…,15. (2.7)

Таким образом, экзогенные переменные входят в уравнение регрессии со следующими лагами (таблица 2.4):

Таблица 2.4 - Лаги экзогенных переменных

В результате образовали лаговые переменные Х_t-13⁽³⁾, X _t-2⁽⁴⁾, Х_t-2⁽⁵⁾, Х_t-1⁽⁶⁾, Х_t-13⁽¹³⁾ и X _t-1⁽¹⁴⁾.

Проанализировав тесноту связей подлежащих переменных (приложение Г), в модель возьмём лишь одну из переменных Х₂, Х₉, Х_10, X₁₁, X₁₅, X₁₆, X_17. Так как Х₂ меньше коррелирует с остальными переменными, то в модель возьмем Х₂ как наиболее важную. Таким образом, на этапе спецификации в модель вошли переменные: Х₂, Х_t-13⁽³⁾, X _t-2⁽⁴⁾, Х_t-2⁽⁵⁾, Х_t-1⁽⁶⁾, Х₇, Х₈, Х₁₂, Х_t-13⁽¹³⁾, Х_t-1⁽¹⁴⁾.

Предположив линейность модели, построим регрессионную модель вида:

(2.8)

где - случайные ошибки, взаимно некоррелированные, нормально распределенные, Предполагается гомоскедастичность остатков.

5.Получение уравнения регрессии и оценка значимости

После реализации пошагового алгоритма в модуле Multiple Regression программы Statistica получим уравнение линейной регрессии следующего вида:

(2.9)

Полученная модель имеет следующие характеристики:

- R²=0,99;

- F(6,52)=584,80;

- DW=1,63;

- Std. Error of Estimate=0,36.

Коэффициенты при независимых переменных характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизменном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне. Практическая значимость уравнения множественной регрессии оценивается с помощью показателя множественной корреляции и его квадрата - коэффициента детерминации. Показатель множественной корреляции характеризует тесноту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым признаком, или, иначе, оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат. Множественный коэффициент детерминации R² говорит о наличии тесной связи между рассматриваемыми признаками и исследуемым фактором. Он показывает, что уравнением регрессии объясняется 99% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится лишь 1% ее дисперсии, то есть модель хорошо аппроксимирует исходные данные и ею можно воспользоваться для прогноза значений результативного признака. Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью F-критерия Фишера:

, (2.10)

где - факторная сумма квадратов на одну степень свободы;

- остаточная сумма квадратов на одну степень свободы;

- коэффициент множественной детерминации;

- число включенных в модель факторов;

- число наблюдений.

Если фактическое значение F-критерия при заданном уровне значимости превышает табличное, то уравнение в целом статистически значимо. При :

;

.

Фактическое значение F-критерия больше табличного, поэтому уравнение признается статистически значимым. Значимость отдельно каждого коэффициента модели проверяется с помощью t-критерия Стьюдента. Так как для всех коэффициентов, кроме коэффициента при переменной, t-критерий больше табличного (2), то все они признаются статистически значимыми. Практически если фактические значения t>3, то значение коэффициента регрессии статистически достоверно. Коэффициент при переменной признан незначимым, однако после отбрасывания этой переменной характеристики модели существенно ухудшаются, поэтому принято решение оставить его для проведения дальнейшего исследования. Одним из критериев качества модели является отсутствие автокорреляции остатков, означающее, что каждое следующее значение остатков не зависит от предыдущих, то есть остатки являются случайными величинами. Автокорреляция остатков может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу. Во-первых, иногда она связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака. Во-вторых, в ряде случаев причину автокорреляции остатков следует искать в формулировке модели. Модель может не включать фактор, оказывающий существенное воздействие на результат, влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последнее могут оказаться автокоррелированы. Либо модель не учитывает несколько второстепенных факторов, совестное влияние которых на результат существенно ввиду совпадения тенденций их изменения или фаз циклических колебаний. Одним из самых распространенных методов определения автокорреляции остатков является использование критерия Дарбина - Уотсона по следующему алгоритму [28]:

1. Выдвигается гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы и состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках.

2. Рассчитывается величина d по следующей формуле:

(2.11)

Таким образом, d есть отношение суммы квадратов последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии. Доказано, что Величина для построенной модели равна 1,63.

3. По таблицам критических значений определяются критические значения критерия Дарбина - Уотсона и для заданного числа наблюдений , числа независимых переменных модели и уровня значимости По этим значениям числовой промежуток [0;4] разбивают на 5 отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью рассматривается на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 - Механизм проверки гипотезы о наличии автокорреляции остатков

Для данного уравнения статистика Дарбина - Уотсона равна 1,63. По таблицам значений критерия Дарбина - Уотсона для числа наблюдений и числа независимых переменных модели при уровне значимости критические значения и . Получим следующие промежутки внутри интервала [0;4] (рисунок 2.4).

Рисунок 2.4 - Промежутки внутри интервала [0;4]

Фактическое значение статистики Дарбина - Уотсона попадает в промежуток от до , что свидетельствует об отсутствии автокорреляции в остатках. Гистограмма остатков с наложенным нормальным распределением приведена на рисунке 2.5.

Рисунок 2.5 - Гистограмма остатков с наложенным нормальным распределением

На рисунке 2.6 изображен график линейной зависимости предсказанных (подобранных по модели) значений зависимой переменной от наблюдаемых, что позволяет наглядно оценить результаты регрессионного анализа.

Рисунок 2.6 - График линейной зависимости предсказанных значений зависимой переменной от наблюдаемых

Полученное уравнение признается статистически значимым по всем критериям. По данному уравнению получим расчётные значения для при , (обозначим RХ1). Их график приведен на рисунке 2.7.

Рисунок 2.7 - График исходных данных и расчетных значений цены сортового проката

2.4.3 Оценка риска изменения цены сортового проката методом имитационного моделирования Монте-Карло

Метод Монте-Карло относится к группе теоретико-вероятностных методов. Схема использования метода Монте-Карло в количественном анализе рисков следующая: строится математическая модель результирующего показателя как функция от переменных величин проекта. Математическая модель пересчитывается при каждом новом имитационном эксперименте, в течение которого значения основных переменных выбираются случайным образом из некоторого интервала на основе генерирования случайных чисел. Результаты всех имитационных экспериментов объединяются в выборку и анализируются с помощью статистических методов с целью получения распределений вероятностей результирующего показателя и расчета нормы риска. Применение метода Монте-Карло в расчетах требует использования специальных программ, так как осуществляется многократное повторение имитационного эксперимента. В данной работе при расчетах будем пользоваться пакетом Microsoft Excel.

Риск-анализ проводится по следующему алгоритму:

1. Создается математическая модель вида

, (2.12)

где - риск-переменные, то есть такие переменные, которые являются случайными величинами;

- фиксированные параметры модели, то есть такие составляющие, которые в результате анализа были определены как маловлияющие на результирующий признак и для упрощения расчетов были зафиксированы.

Определить переменные, которые включаются в модель, можно с помощью анализа чувствительности. Анализ чувствительности основан на последовательном изменении всех проверяемых на рискованность переменных: на каждом шаге анализа только одна из переменных меняет свое значение на прогнозное число процентов, что приводит к пересчету значений результирующего показателя. Далее рассчитываются показатели эластичности как отношение относительного приращения результирующего признака к относительному приращению варьируемого параметра:

, (2.13)

где - результирующий показатель;

- риск-переменная.

Для обеспечения сопоставимости результатов берутся абсолютные значения эластичностей, так как знак показывает однонаправленность (+) или разнонаправленность (-) изменений результирующего и варьируемого параметра. Затем риск-переменные ранжируются по значению показателя эластичности, и таким образом выстраивается рейтинг эластичностей, позволяющий выявить наиболее чувствительные переменные, находящиеся в верхней части рейтинга эластичностей. Такие переменные отбираются для проведения анализа методом Монте-Карло. Для выявления наиболее существенных переменных будем рассчитывать процент изменения цены при изменении каждой переменной на 10%. Результаты расчетов приведены в таблице 2.5.

Таблица 2.5 - Рейтинг эластичностей цены сортового проката

Из таблицы видно, что заметным преимуществом над остальными факторами наибольшее влияние на цену сортового проката оказывает изменение стоимости сырья, поэтому именно ее мы возьмем в качестве риск-переменной для проведения дальнейшего анализа. Остальные переменные зафиксируем на уровне значений за последний месяц. В свою очередь, общая стоимость сырья складывается из стоимости отдельных его видов пропорционально количеству потребляемого сырья на 1 т. металлопродукции, которое приведено в таблице 2.6.

Таблица 2.6 - Количество потребляемого сырья на 1 т. металлопродукции, тонн

Для того чтобы выявить вид сырья, оказывающий наибольшее влияние на изменение цены сортового проката, также рассчитаем процент изменения цены при изменении цен каждого вида сырья на 10% (таблица 2.7).

Таблица 2.7 - Рейтинг эластичностей цены сортового проката к изменению цен по видам сырья

Из рейтинга эластичностей следует, что наибольшее влияние оказывают стоимость окатышей, углей и аглосырья. Это объясняется в первую очередь тем, что эти виды сырья обладают большим удельным весом в общем объеме потребляемого сырья по сравнению с оловом и цинком, доля которых очень мала, а также особенностями производства.

2. Для выбранной риск-переменной выбирается вид распределения и диапазон ее изменения, то есть задается минимальная и максимальная граница изменения величины представленного фактора. На практике чаще всего используют равномерное распределение.

Для определения границ изменения значений каждого вида сырья спрогнозируем их значения на 12 месяцев. Для построения прогноза применим модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего (ARIMA). Для этого необходимо выполнить последовательность следующих этапов:

1. Провести идентификацию модели, т.е. определить вид модели, описывающей наблюдаемый временной ряд;

2. Оценить параметры модели;

3. Исследовать качество построенной модели, т.е. оценить точность и адекватность модели;

4. Получить прогноз на основе построенной модели.

Для определения оптимальной модели была использована программа "Mesosaur", которая автоматически перебирает параметры модели, подбирая их таким образом, чтобы максимизировать статистику R² и минимизировать СКО и статистику ², характеризующую близость распределения остатков к нормальному. С помощью данной программы были получены модели ARIMA (1, 1, 0) для всех видов сырья. Их качественные характеристики приведены в таблице 2.8.

Таблица 2.8 - Качественные характеристики модели ARIMA(1, 1, 0)

Таким образом, модели признаются значимыми по всем критериям, и их можно использовать для построения прогнозов.

Прогнозные значения цен всех видов сырья приведены в таблице 2.9.

Таблица 2.9 - Прогноз цен на сырье по видам, руб./т.

После построения прогнозов в программе "Statistica" были определены границы доверительных интервалов для первых трех видов сырья по формуле (2.14).

, (2.14)

где - среднее квадратическое отклонение уровней ряда от тренда;

- число уровней базы тренда;

- период удаления от середины базы прогноза;

- сумма квадратов номеров месяцев от до .

Для определения границ изменения цен олова и цинка на конец года воспользуемся показателем VaR, рассчитанным по исходному временному ряду цен с использованием прогнозных значений (таблица 2.10). Нижние и верхние границы получим из прогнозного значения на последний месяц соответственно вычитанием и прибавлением к нему значения VaR.

Таблица 2.10 -Показатели риска для олова и цинка

В итоге получим доверительные интервалы изменения цен для всех видов сырья (таблица 2.11).

Таблица 2.11 - Доверительные интервалы изменения цен сырья, руб.

3. На следующем этапе проводится имитационное моделирование по методу Монте-Карло. Производится генерирование равномерно распределенных цен на каждый вид сырья. Получают пятьсот случайных чисел в пределах полученных ранее интервалов, каждое из которых рассматривается как значение риск-переменной. Таким образом, программа случайным образом имитирует случайность рыночных процессов, подставляя выбранную случайным образом величину в экономико - математическую модель расчета результирующего показателя.

Для определения лаговой переменной цены сортового проката через 11 месяцев рассчитаем ее значение по полученной модели рекуррентным способом. Для этого будем подставлять в нее прогнозные значения экзогенных переменных. Так как переменные Х₃, Х₁₃ и Х₁₄ входят в модель с большими лагами, то используются их фактические значения. Так как значения переменной Х₆ меняются незначительно, то при расчете зафиксируем их на уровне значения в последнем периоде. Рассчитанное значение цены на шаге t будет являться лаговым при расчете цены на шаге t+1. Таким образом, значение цены сортового проката, рассчитанное на шаге 11 будем использовать при имитациях.

В модели зафиксируем все факторы на уровне последних значений и будем изменять только стоимость сырья. Таким образом мы определим цену продукции при изменении только стоимости сырья. В результате образуется статистический ряд значений результирующего показателя.

4. Следующим этапом является анализ полученных результатов. С помощью статистических методов анализа полученного ряда получим абсолютное и относительное значение риска изменения цены сортового проката в результате изменения каждого вида сырья (таблица 2.12). Абсолютное значение - стандартное отклонение - показывает цену риска, то есть величину наиболее вероятных потерь. Относительным показателем риска является коэффициент вариации, который рассчитывается как отношение стандартного отклонения к математическому ожиданию (среднему значению).

Для оценки общего изменения цены сортового проката воспользуемся формулой (2.16).

, (2.15)

где - матрица значений стандартных отклонений на все виды сырья;

- корреляционная матрица цен на все виды сырья.

Аналогично рассчитаем общий коэффициент вариации. Результаты оценки риска приведены в таблице 2.12.

Таблица 2.12 - Оценка риска изменения цены на сортовой прокат

Таким образом, в течение ближайших двенадцати месяцев цена сортового проката может измениться на 8,54%, причем в основном за счет изменения цен агломерата на 3,55% и окатышей на 3,35%. Малые изменения цены металлопродукции в результате изменения цен олова и цинка объясняется малым удельным весом этих видов в сырья в общих затратах на сырье.

3. Управление ценовым риском