Использование критериев согласия К. Пирсона, В. Романовича и Л. Колмогорова

2

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (МИФИ)

институт современного бизнеса гуманитарный факультет

кафедра "Бухгалтерский учёт, аудит и финансовый менеджмент"

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО КУРСУ "СТАТИСТИКА"

СТУДЕНТ ГРУППЫ Э08-15 А.И. ХВОРЫХ

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ Ю.Ф. СИДОХИН

МОСКВА 2009

Контрольная работа №1

Определение среднего стажа рабочих по всей совокупности рабочих и показателей вариации.

Распределение рабочих по стажу на предприятии, представленное в табл.1, проверить на соответствие нормальному закону распределения, используя критерии согласия К. Пирсона, В. Романовича и Л. Колмогорова при уровнях значимости 0,01

Таблица 1

Распределение рабочих по стажу работы на предприятии

Стаж работы, лет (xi)	0-2	2-4	4-6	6-8	8-10	10-12	12 и более
Число рабочих (fi)	16	20	28	50	30	17	12

Построить гистограмму распределения рабочих по стажу определить структурную среднюю моду. Результаты графической обработки исходных данных показаны на рис.1.1

Рис.1.1 Гистограмма распределения рабочих по стажу работы

7

Построить кумуляту распределения и определить медиану.

Результаты графической обработки исходных данных показаны на рис.1.2

Рис.1.2 Кумулята распределения рабочих

6,8

Определение среднего стажа рабочих по всей совокупности рабочих и показателей вариации.

Логической формулой среднего стажа работы является отношение суммарного числа лет, проработанных рабочими на предприятии, к общему числу рабочих.

Поскольку в интервальном ряду распределения отсутствует сведения об индивидуальном стаже работы, то при расчете используют групповые средние, в качестве которых берут середину каждого интервала разбиения по стажу.

Расчетная формула для определения среднего стажа выглядит следующим образом:

;

где f_i - число рабочих в каждом интервале.

Наиболее широко применяемыми характеристиками вариации признака в совокупности является дисперсия и среднее квадратичное отклонение. Для определения дисперсии используют формулу:

;

Среднеквадратичное отклонение определятся по формуле:

;

В нашем случае дисперсия и среднеквадратичное отклонение будут равны:

Для оценки однородности совокупности рабочих в отношении стажа работы следует рассчитать коэффициент вариации ():

;

- совокупность не однородна по стажу работы.

Результаты подробных расчетов представлены в табл.2

Таблица 2

Определение среднего стажа работы и показатели вариации

Стаж работы, лет	Число рабочих	Середина интервала
0-2	16	1	16	-5,82	541,96
2-4	20	3	60	-3,82	291,85
4-6	28	5	140	-1,82	92,75
6-8	50	7	350	0,18	1,62
8-10	30	9	270	2,18	142,57
10-12	17	11	187	4,18	297,03
12 и более	12	13	156	6,18	458,31
Итого	173		1179		1826,09

В качестве показателя асимметрии распределения (As) следует использовать отношение:

.

As = 0,06 < 0,25,

незначительная асимметрия носит случайный характер.

Для описания эмпирического распределения используем уравнение нормального распределения:

;

;

где плотность распределения; x, , - найденные значения среднего стажа работы, дисперсии и среднеквадратичного отклонения, соответствия.

Применение критериев согласия для оценки адекватности принятого теоретического описания распределения (нормальный закон) эмпирическому (гистограмма) требует определение теоретических частот для каждого интервала разбиения совокупности по стажу работы.

Теоретическая частота равна:

;

где - вероятность попадания рабочих в данный интервал стажа работы. - полное число рабочих.

.

Вероятность определяется по формуле:

;

где - нормированная функция Лапласа, значения которой приведены в приложении 1

; ;

где и - граничные (минимальный и максимальный) значения стажа работы для каждого интервала. При расчете вероятностей следует иметь ввиду, что .

; ;

;

;

; ;

;

.

Результаты расчетов теоретических частот и вероятностей сведены в табл.3.

Таблица 3

Расчет критерия согласия Пирсона

Стаж работы. (лет)	Эмпирич. Частота	Вероятность	Теоретическая частота
0-2	16	0,05	8,65	54,0225	6,25
2-4	20	0,12	20,76	0,5776	0,03
4-6	28	0,21	36,33	69,3889	1,91
6-8	50	0,24	41,52	71,9104	1,73
8-10	30	0,2	34,6	21,16	0,61
10-12	17	0,11	19,03	4,1209	0,22
12 и более	12	0,06	10,38	2,6244	0,25
итого	173	0,99	171,27		11

В результате суммирования результатов, приведенных в последнем столбце табл.3, получаем расчетное значение критерия

.

( - число интервалов (=7));

;

.

рассчитанный критерий не превышает максимально возможную величину расхождений эмпирических и теоретических частот, которая может возникнуть в силу случайных колебаний выборочных экспериментальных данных. В этом случае гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному при принятом уровне значимости не отвергается.

Используя полученное ранее значение критерия применить критерий согласия В. Романовского:

;

k - число степеней свободы.

Гипотеза о нормальном характере распределения принимается.

Для применения критерия согласия А. Колмогорова подсчитаем последовательные накопления экспериментальных частот и теоретических . Установим максимальное значение абсолютной разности накопленных частот в одном из интервалов . Результаты представим в табл.4.

Таблица 4

Расчет критерия согласия А. Колмогорова

Стаж работы, (лет)	Частоты	Накопленные частоты
	Эмпирические	Теоретические	Эмпирические	Теоретические
0-2	16	8,65	16	8,65	7,35
2-4	20	20,76	36	29,41	6,59
4-6	28	36,33	64	65,74	1,74
6-8	50	41,52	114	107,26	6,74
8-10	30	34,6	144	141,86	2,14
10-12	17	19,03	161	160,89	0,11
12 и более	12	10,38	173	171,27	1,73
итого	173

Критерий согласия А. Колмогорова основан на сопоставлении величины максимальной разности накопленных относительных теоретической и экспериментальной частот:

.

На основании заданного уровня значимости найдем доверительную вероятность. Вероятность связана с уровнем значимости соотношением:

;

Так как 0,04<0,15 то с вероятностью 0,99 можно считать, что рассматриваемое распределение соответствует закону нормального распределения.

Контрольная работа №2

На основании приведённых в табл.2.1 данных о величине уровней динамического ряда в период 1990-1997 год рассчитаем показатели сравнения уровней, средние значения показателей, а также дать интервальный прогноз, ожидаемого уровня 1998года с вероятностью, равной 0,99 (ряд интервальный).

Таблица 2.1

Ряд динамики

вид ряда	вероятность	Уровни ряда динамики по годам
		1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997
мом	0,95	142	138	130	126	120	118	109	105

Определим абсолютные базисные и цепные приросты, коэффициенты роста, темпы прироста и абсолютное значение 1% прироста:

Абсолютный базисный и цепной прирост вычисляются следующим образом:

;

где у_i - данный уровень; у₀-уровень, принятый за базу сравнения;

;

где у_i - данный уровень; у_i-1 - уровень, предшествующий данному уровню.

Приведём пример расчёта абсолютного базисного и цепного прироста уровня 1992 года:

Д^б₁₉₉₂=130-142= - 12; Д^ц₁₉₉₂=130-138= - 8;

Коэффициент роста, базисный и цепной, рассчитывается по следующей формуле:

;

где У_i - данный уровень; Y₀-уровень, принятый за базу сравнения;

;

где Y_i-уровень; Y_i-1 - уровень, предшествующий данному уровню.

Рассчитаем базисный и цепной коэффициент роста на примере уровня 1992:

К_р^ц₁₉₉₂=130/138=0,94

К_р^б₁₉₉₂=130/142=0,92

Коэффициенты прироста вычисляются так:

базисный:

;

цепной:

.

Абсолютное значение 1% прироста вычисляется следующим образом:

базисный:

;

цепной:

.

Результаты расчётов показателей сравнения уровней приведены в табл.2.2

Таблица 2.2

Показатели сравнения уровней и их средние значения

Время	Уровень ряда	Абсолютные прироста	Коэффициенты роста	Коэффициенты прироста	Абсолютные значения 1%
		Цепн.	Баз.	Цепн.	Баз.	Цепн.	Баз.	Цепн.	Баз.
1990	142	-	-	-	-	-	-	-	-
1991	138	-4	-4	0,97	0,97	-0,03	-0,03	1,42	1,42
1992	130	-8	-12	0,94	0,92	-0,06	-0,08	1,38	1,42
1993	126	-4	-16	0,97	0,89	-0,03	-0,11	1,3	1,42
1994	120	-6	-22	0,95	0,85	-0,05	-0,15	1,26	1,42
1995	118	-2	-24	0,98	0,83	-0,02	-0,17	1,2	1,42
1996	109	-9	-33	0,92	0,77	-0,08	-0,23	1,18	1,42
1997	105	-4	-37	0,96	0,74	-0,04	-0,26	1,09	1,42
ср. знач.	123,5	-21,14	0,85	-0,15	1,41

Определение средней величины уровня динамического ряда, абсолютного прироста, коэффициента роста, темпа прироста и абсолютное значение 1% прироста.

Среднее значение уровней интервального динамического ряда определяется:

;

где k - количество уровней ряда динамики.

Среднее значение коэффициента роста вычисляется по следующей формуле:

;

Среднее значение коэффициента прироста определяется так:

.

Среднее значение абсолютного прироста определяется:

.

Средняя величина абсолютного значения 1% прироста определяется:

.

Значения средних величин приведены в табл.2.2

Построение графического изображения ряда динамики и произведём сглаживание уровней методом “скользящей средней" по трём уровням.

Рис.2.1 Графическое изображение ряда динамики

Таблица 2.3

Данные для отображения сглаженного ряда динамики

год	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997
		137	131	125	121	116	111

Произведём аналитическое выравнивание ряда динамики, используя линейную трендовую модель.

-уравнение тренда;

где - теоретический уровень, t - условное обозначение времени, b₀ и b₁-коэффициенты,

; .

Отсюда получаем уравнение тренда:

;

Полученные результаты представлены в табл.2.4

Таблица 2.4

Аналитическое выравнивание ряда динамики

год		Условное обозн. Периодов			Теоретический уровень
1990	142	-7	49	-994	142,4	0,16
1991	138	-5	25	-690	137	1
1992	130	-3	9	-390	131,6	2,56
1993	126	-1	1	-126	126,2	0,04
1994	120	1	1	120	120,8	0,64
1995	118	3	9	354	115,4	6,76
1996	109	5	25	545	110	1
1997	105	7	49	735	104,6	0,16
итого	988		168	-446	988	12,32

Аналитически выровненный ряд динамики представлен на рис.2.2

Рис.2.2 Аналитически выровненный ряд динамики

Рассчитаем точечный и интервальный прогноз 1998 года.

Точечный прогноз.

Так как значение t на 1997 год +7 (см. табл.2.4), то соответственно значение t на 1998 год будет равным +9. Применяя полученное в п.4 уравнение тренда и t=+9, мы можем дать точечный прогноз:

;

Для того чтобы прогноз был правильным, его необходимо дополнить доверительным интервалом.

Интервальный прогноз.

Среднее квадратичное отклонение от тренда:

;

где y_i-фактическое значение уровня, - теоретическое значение уровня, m - число параметров в уравнении (m=2)

S=1,433

t_s=2,45 при P=0,99