Согласование интересов

Кафедра: Социология и Обществознание

Реферат

на тему: Согласование интересов

Москва, 2008

1. Согласование интересов

В этом реферате будут рассмотрены принципы оплаты труда - основного направления исследования производственных отношений людей в экономике и социологии. Однако главное направление будет отличаться как от классической экономики, когда исследуется производство, а человек один из его ресурсов, так и от классической социологии, где рассматривается сущее, а не должное. Однако трудно назвать распределение оплаты труда должным, так как это-то и есть сущее, приводящее к «утечке умов»: более половины мигрантов, выехавших из России в развитые страны (Австралию, Каналу, США, Германию) имели высшее и незаконченное высшее образование.

Далее оплата труда человека и степень его удовлетворения трудом будут рассмотрены с позиций самого человека. Здесь будут учтена в простейшем виде некоторые свойства человека, в частности его квалификация (опыт, мастерство, обучение и пр.). Учёт интересов работодателя, конечно, необходим, так как это основной экономический интерес: невозможно платить человеку больше, чем он вырабатывает продукции.

Коллективные решения. Коллектив состоит из элементов. Элементами его могут быть коллективы помельче. Например, завод состоит из цехов, цеха - из бригад и т.д. Но рано или поздно коллектив будет состоять из отдельных людей. Конечно, у коллективов разного уровня могут быть свои интересы, но в первую очередь следует исследовать коллективы, состоящие из людей.

Поведение человека - это действия, ведущие к удовлетворению своих интересов. Поведение коллектива также ведет к удовлетворению интересов, но на сей раз коллективных. Оставив в стороне вопрос о том, как получаются коллективные интересы, рассмотрим вначале систему, состоящую из k элементов (людей, коллективов и т.д.), которые имеют предпочтения в наборе c благ (c₁,c₂,...,c_m). Для простоты изложения дальнейшего будем считать, что известна функция полезности u(c) определенного набора благ c, которая показывает, какой из любых двух наборов c₁ и c₂ лучше или они безразличны: при u(c₁)>u(c₂) набор c₁, предпочтительнее набора c₂, а при u(c₁)=u(c₂₎) - они безразличны.

Система может состоять из нескольких (n) элементов, имеющих подчас противоречивые интересы. В процессе развития такой системы, подчас приходится решать вопрос о выборе c одной из нескольких альтернатив, обозначенных C. Если множество альтернатив C конечно и состоит из малого количества точек c, то простым перебором можно попытаться решить задачу с многими критериями u(c) - функциями полезности, так

u_i (c)max, i=,

cC.

Решением такой задачи может быть оптимальная по Парето альтернатива (точка) cC такая, что нет таких точек c'C, обладающих свойством: u_i (c')u_i (c) i= и хотя бы для одного i справедливо строгое неравенство. Точек, оптимальных по Парето, может быть гораздо меньше, чем в С, но все равно много.

Если до сих пор движение шло по альтруистическому принципу: если от выбора альтернативы с предпочтения некоторых не изменились, а некоторые перешли к лучшему, то такое движение допустимо. Но когда понадобится выбирать одну среди оптимальных по Парето альтернатив c₀, тогда приходится идти на компромисс, например, вводя весовые коэффициенты _i0, (величину b чаще всего выбирают равной 1, так как от этого выбор одной из альтернатив не меняется). Ввод весов переводит задачу со многими критериями к оптимизации лишь одного при условии, что cC. В последнем случае появляется новая задача о выборе весов, которая ничуть не легче исходной.

2. Компромисс в трудовом коллективе

Пусть коллектив состоит из n одинаковых, в смысле одних и тех же функций полезности u(l,w), людей. Будем рассматривать среди всех благ только труд l отдельного человека и его оплату w, ради простоты считая, что все остальные одинаковы, и исключим их. Тогда необходимо найти такие затраты труда l=(l₁, l₂,,....,l_n), и их оплаты w=(w₁, w₂,,....,w_n ), , чтобы удовлетворенность всех и каждого не была бы нарушена.

Справедливость распределения затрат труда l и его оплаты w можно формализовать по-разному и многими способами. Например, можно считать справедливыми трудозатраты и их вознаграждения тогда, суммарная удовлетворенность максимальна. При согласии интересов всех членов коллектива с таким понятием справедливости получаем критерий и задачу:

(1)

Можно назвать справедливым распределения l и w тогда, когда нет обид. Ни одному члену коллектива не будет обидно, когда удовлетворение каждого не меньше, по крайней мере, чем удовлетворённость любого другого. В таком случае получаем критерий u(l_i,w_i)u(l_k,w_k), который дает представление члена коллектива о том, как соотносятся между собой его труд и оплата с затратами труда и его вознаграждением у других. Зафиксировав в правой части i, получим, что u(l_i,w_i)u(l_k,w_k) все u(l_i,w_i) больше некоторой величины u(l_k,w_k), следовательно, minu(l_i,w_i) больше или равен ей.

(2)

Решим вначале задачу (1) с помощью неопределенных множителей Лагранжа. Для этого рассмотрим функцию Лагранжа

,

ее производные по l_i и w_i, и систему уравнений:

относительно l_i и w_i. Последняя система определяет неявным образом функции l(,) и w(,). Это действительно так, поскольку элементами якобиана последней системы являются вторые производные функции полезности. Для выпуклой вверх функции полезности двух переменных матрица, состоящая из вторых производных, отрицательно определена, поэтому определитель ее нигде не равен 0.

Раз l_i и w_i для любых i одни и те же функции от и , то они (l_i и w_i) равны друг другу, так как это одни и те же функции от одинаковых постоянных величин. Так как l и w удовлетворяют ограничениям задачи (1), то они одинаковы для разных i. Тогда первое из них находится из nl=L, а второе - из nw=W. Откуда получаем, что каждый отдает одинаковое с остальными количество своего труда l=L/n, получая за это одно и то же вознаграждение w=W/n.

Для решения задачи (2) заметим, что одинаковые затраты труда L/n каждым из работников, за которые он получает одинаковое вознаграждение W/n, дают один из ответов. Другие точки l_i и w_i могут находиться лишь на линиях одинакового уровня безразличия пар (l_i,w_i), т.е. для их полезностей выполнены соотношения u(l_i,w_i )=u(L/n,W/n). Для частного случая вознаграждения w_i для разных затрат труда l_i найдены в задаче Б пункта 4 настоящей главы. Они показывают, что эти значения w_i сильно зависят от вида функции полезности, но, какие бы ни были функции полезности, решение платить w_i =W/n за труд l_i=L/n всегда есть. Поэтому опять получен одинаковый доход за одинаковый труд, который может считаться справедливым.

Более интересным и правдоподобным представляется случай, когда работники неодинаковы, т.е. k-ый работник характеризуется своей функцией полезности u_i(l,w). Теперь необходимо соизмерять разные функции полезности при различных трудозатратах l_i и оплатах w_i. Если не ограничиваться соизмерением, то остается предполагать, что каждый (k-ый) человек сравнивает со своих позиций свой вектор c=(l_k,w_k) со всеми остальными c=(l_i,w_i.) Он остается удовлетворенным лишь тогда, когда

u_k(l_k,w_k)u_k(l_i,w_i), i,

что вместе с условиями выполнения всей работы n участниками и распределения всего вознаграждения между ними, определяет множество возможных трудозатрат l_i и вознаграждений w_i. Выписанная система непротиворечива, так как она удовлетворяется, по крайней мере, при одном распределении труда l=(l₁,l₂,...,l_n) и его оплаты w=(w₁,w₂,...,w_n), когда l_i=L/n и w_i=W/n для всех i.

Итак, опять получен в качестве для каждого человека i справедливого доход w_i=W/n, т.е. в коллективе все получают одинаковое вознаграждение за равные трудозатраты.

Но как же следует оплачивать труд каждого человека, когда трудозатраты разные? Одинаковые затраты труда - идеальный случай, когда, например, люди не болеют и нет других вполне уважительных причин, приводящих к потерям рабочего времени у отдельных членов коллектива. Наиболее реальный случай, когда у всех людей могут быть разные затраты труда. Скажем, один человек проработал вдвое больше другого. Можно ли считать подходящим случай, когда первому заплатили вдвое больше, чем второму? Несколько позднее обсудим этот принцип оплаты труда.

3. Функции полезности человека

Далее, если не нужно будет исследовать более общий случай, рассмотрим m=2 и c₁=l - это количество труда, отдаваемое элементом системы (для простоты, человеком), за оплату этого труда c₂=w. Тогда u(c)=u(l,w) и в качестве частного случая будет рассматриваться такой, когда увеличение на dl количества затраченного труда l, компенсируется увеличением на dw его оплаты w. Это значит, что нет изменений в полезности

=0,(3)

где использованы обычные обозначения для частных производных и .

Предположение 1. При прочих одинаковых условиях с увеличением затрат труда удовлетворённость человека убывает; при увеличении оплаты удовлетворенность его увеличивается.

Так как слова «при прочих равных условиях» означают, что меняется только значение одного параметра. Отсюда dl и dw произвольны, а l и w постоянны. Поэтому нуль в правой части (3) показывает, что , которое следует из предположения 1: , а .

Если функции u(c) непрерывно дифференцируемы дважды, то монотонность по ее аргументам означает постоянную направленность градиента функции u(c) в "северо-западном" направлении: u=(). Пусть всевозможные значения c=(l,w) образуют выпуклое множество C, например, прямоугольник. Тогда множество точек Y={c:u(с)>u₀} выпукло, а его граница - функция w=f(l,u₀) - это множество точек, где полезность не изменяется (она равна u₀), т.е. du=0, откуда . Последнее означает, что функция безразличия w=f(l,u₀) возрастающая. Очевидно, что функция w=f(l,u₀) задается неявным образом равенством u(l,w)=u₀, которое и задает кривую безразличия (см. рис.1)

Возрастание кривой безразличия w=f(l,u₀) хорошо интерпретируются, объясняя выпуклость функции полезности. Действительно, неравенство dw/dl >0 означает, что оплата труда должна возрастать с ростом его затрат, а удовлетворенность от труда и заработка остается постоянной. Как правило, кривая безразличия бывает выпукла вниз, что означает увеличение оплаты за каждую дополнительную единицу затрат труда.

Производная dw/dl имеет специальное название в экономико-математическом анализе - норма замещения (компенсации) труда заработком. Однако иногда этой же функции дают другое истолкование, а именно, стимулирование труда. Из равенства du=0 следует, что

u/l +E(l,w) u/w=0,(4)

откуда, зная dw/dl=E(l,w) -норму компенсации, можно найти функцию полезности.

Пример 1. Рассмотрим уравнение (4), но предположим, что E(l,w)=y(w)/x(l), где x(l)>0 и y(w) произвольные функции. В этом случае необходимо решить уравнение

в частных производных. Для того, чтобы найти его решение, как известно, вначале необходимо решить обычное дифференциальное уравнение dl/x(l)=dw/y(w). Пусть и . Тогда Y(w)-X(l)= const дает интеграл обычного дифференциального уравнения. Далее, пусть F(z) - любая дифференцируемая функция, тогда F(Y(w)-X(l))=u(l,w) будет общим решением дифференциального уравнения в частных производных (см. задачу 1).

Известно, что функция полезности определена с точностью до произвольного монотонного преобразования, поэтому, если F(z) - монотонная функция, то u(l,w)=Y(w)-X(l) также будет функцией полезности, с теми же самыми кривыми безразличия, которые будут и у функции F(Y(w)-X(l)). В последнем случае функция полезности u(l,w)=Y(w)-X(l) называется сепарабельной. Для нормы замещения труда заработком имеет место равенство

(l,w)=y(w)/x(l),

Пример 2. Если в примере 1 функции y(w) и x(l) линейны, то, без ограничения общности (см. задачу 2), их можно положить . Тогда X(l)=-ln(T-l), и Y(w)=aln(w+d), поэтому функция полезности u(l,w)=aln(w+d)+ln(T-l) будет иметь те же линии безразличия, что и более общая F[u(l,w)]. Для определения содержательного смысла параметров a, d и T рассмотрим . Поэтому, чем больше a, тем меньшим количеством денег при прочих равных условиях можно оплачивать тот же труд. Это приводит к выводу о трудолюбии человека, т.е. о том, что труд сам по себе (даже без оплаты) удовлетворяет человека с большим a выше, чем человека с малым. Очевидно, что при lT (l<T) требуется все большая оплата за каждую дополнительную единицу труда, но нет возможности получить от работника больше, чем T. Однако чем больше T, тем меньше норма замещения, поэтому за ту же работу человеку можно платить меньше, так как на неё (работу) тратиится меньше усилий. Отсюда о T можно говорить как о трудовом потенциале работника, его квалификации, уровне мастерства и т.д. О параметре d говорят часто как о "внешнем доходе", так как для достижения той же полезности при большом d человеку за его труд можно меньше платить. В этом примере

w=f(l,u₀ )=f[l,u(l₀ ,w₀ )]=.

Пример 3. Если же функции x(l) и y(w) не линейные, а степенные x(l)=a(T-l), а y(w)=w, то функция полезности u(l,w)=w^1-/(1-)+a(T-l)^1-/(1-), 0<,<1. В этом случае также можно получить зависимость заработка от труда

w=w₀

(см. задачу 3). В этом примере, как легко заметить, не изменился смысл параметра a - трудолюбие не стало трудофобией.

4. Некоторые задачи

Функции полезности, даже в их частном виде ведут часто к правильным выводам. Поэтому далее приводится три задачи, показывающие результаты, которые можно получить при помощи функции полезности.

Задача А. Пусть работник за l единиц труда получает заработную плату w=f(l). Для простоты будем считать, что w линейно зависит от l, т.е. w=ql+D. Параметр q трактуется, очевидно, как норма оплаты единицы труда, а величина D - это доплата (при D>0), например, оплачиваемый отпуск премии и другие блага, получаемые благодаря работе, или вычет (при D<0), например, траты на дорогу на работу и обратно и другие расходы, появляющиеся только из-за того, что человек работает.

Проще всего положить D=0 и считать, что человек получает заработок пропорциональный своему труду. Именно так считает работодатель, покупающий рабочую силу. Однако человек, продающий свой труд, рассуждает иначе, поэтому для общности будем все-таки считать D0. Нужно определить количество труда (трудовую активность) человека, который соотносит затраты своего труда и его оплату с помощью функции полезности u(l,w) из примера 2.

В этом случае рациональный человек будет решать оптимизационную задачу о выборе наилучшего количества затраченного труда l=l*, т.е. такого, что

u(l,w)= aln(w+d)+ln(T-l) max(5)

при ограниченных w=ql+D>0, 0l<T.

Задача легко решается, если оптимум достигается внутри области w0 и 0l<T, например, с помощью неопределенных множителей Лагранжа. Ответ (см. задачу 4) дается соотношением

(5)

которое показывает, как зависит количество труда l* от нормы его оплаты q. Соотношение (5') показывает, что при d+D=0 количество труда, l* не зависит от нормы его оплаты, при возрастании номы оплаты, но при d+D<0 количество труда падает (“сколько ни работой - все равно ничего не заработаешь!”), а при d+D>0 - растет. Таким образом, иногда может быть выгодным доплачивать человеку (D>0), чтобы он работал больше.

Заметим, что в только что приведенном примере, особенно при d+D<0, оплата труда не стимулирует трудовую активность, т.е. при увеличении оплаты единицы труда человек отдает меньше труда, чем до увеличения. Однако работник в этом случае работает больше, чем при d+D>0, хотя теперь оплата труда играет роль стимулятора. Таким образом, у работодателя создается ложное представление о том, что платить нужно меньше. Является ли это недостатком простейшей функции полезности? Может ли быть такое и в действительности?

Основной вывод из решения последней задачи и его анализа заключён в том, что обычный способ оплаты труда, который использует работодатель, влечёт парадоксальные результаты. Отсюда следует, что различие интересов наёмных работников и работодателей приводит работников к действиям, кажущимся противоречащими здравому смыслу. А это - парадокс.

Пример 4. Представим, что в силу каких-то причин работодатель решил платить за труд не пропорционально ему, т.е. w=ql. Теперь при той же функции полезности человек будет опять максимизировать её, но при других ограничениях. Наибольшее значение полезности достигается теперь при

l^*=.

Задача Б. Рассмотрим трудовой коллектив (бригаду, лабораторию и т.д.) состоящий из n одинаковых членов, которые подрядились сделать работу величины L. За выполнение этой работы будет заплачено W руб. Задача состоит в том, чтобы разделить W строго соответственно труду l_i каждого i-го человека. Одинаковость людей означает только то, что у всех одни и те же функции полезности u(l,w).

Распределение W на w₁, w₂,,....,w_n можно считать справедливым, если i-му участнику, внесшему свою лепту l_i в общий труд, безразлично находится ли он в состоянии (l_i,w_i) или в состоянии (l_k,w_k), т.е. u(l_i,,w_i)=u(l_k,w_k) и пусть функция полезности взята из примера 2.

Допустим, что никто из участников работы сознательно не может изменить своей доли l_i в общем труде L, иначе пришлось бы наказывать за увеличение и награждать за уменьшение. Тогда при заданных трудовых вкладах l₁, l₂,,....,l_n и распределение оплат затраченного труда (w₁, w₂,,....,w_n и ) будет справедливым, если

aln(w_i+d)+ln(T-l_i)=aln(w_k+d)+ln(T-l_k) i,k(6)

и . Из (6) следует, что заработки i-го и k-го участника связаны между собой:

.

Отсюда заработок i-го участника работы- . А так как

при любых k, то справедливый заработок i-го человека

Последнее соотношение говорит о том, что оплату труда отдельного работника нельзя считать постоянной величиной, поскольку коэффициент перед W зависит от того, сколько работали остальные участники. Очевидно, что каждый участник не может получить большего удовлетворения по сравнению с остальными, чем тогда, когда его трудовые затраты l_k =L/n при оплате труда w_k=W/n.

Задача В. Теперь можно рассмотреть вопрос о размере n коллектива, члены которого выполняют работу L, получая за нее оплату W. Уже отмечалось, что одним из наиболее справедливых распределений оплат труда w_k будет одинаковые заработки W/n, когда они получены за одинаковый труд l_k =L/n. В этом случае удовлетворенность каждого из n участников работы равна

u(l_k ,w_k )=aln(W/n+d)+ln(T-L/n)(7)

и зависит от численности коллектива. Можно рассмотреть вопрос о числе n членов в коллективе, когда каждый получает наибольшую полезность. Из необходимого условия максимума, когда производная по n функции (7) равна 0, получаем, что наилучшее число участников n*=WL(a+1)/[aWT-Ld] (убедитесь, что это действительно максимум). Последнее соотношение еще раз показывает, что при трудолюбивых работниках (a большое) бригада имеет меньшую численность, следовательно, каждый получит больше.

При n=n* каждый участник работы затратит труд, равный

l_k =L/n*=, (q=W/L),(8)

который зависит от объема работы L и ее стоимости W. Величина l_k может трактоваться как, например, продолжительность рабочего дня, которая зависит от q=W/L - оплаты часа работы (сравните последнее соотношение с равенством (5')).

Сравнение соотношений (5') и (8) приводит в предположениях модели к выводу, что оптимальная трудовая активность (отдача) работника состоит из двух частей. Первая часть - оплата постоянного количества труда, зависящего лишь от предпочтений работников u(l,w). Эта часть равна . Вторая часть зависит от оплаты единицы труда и от "внешнего дохода", при этом увеличение внешнего дохода уменьшает отдачу работника, а рост оплаты единицы труда - увеличивает.

Замечание. Во всех трех задачах требовалось знать лишь функцию полезности u(c)=u(l,w) с точностью до монотонного преобразования, т.е. важны были лишь кривые безразличия или отношение предпочтения векторов c=(l,w), т.е. требовалось знание лишь бинарного отношения, удовлетворяющего ряду условий.

5. Усреднение норм замещения

Остановимся еще на одной возможности достижения компромисса в коллективе. Идея этого способа содержалась в самом начале этой главы, когда речь шла о возможности получить функцию полезности по норме замещения труда заработком. Только в этом пункте, в силу различия функций полезности u_i(l,w) у каждого i-го работника, нормы замещения, будучи различными y каждого, равны E_i(l,w).

Так как E_k(l,w)=dw/dl показывает каким приращением dw заработка можно компенсировать приращение dl трудовых затрат с позиций k-го участника, то договор, например, о средней арифметической норме замещения, которая будет теперь общей для всех участников работы, дает возможность из уравнения

получить общую для всех компромиссную функцию полезности и тем самым свести задачу к уже решенной.

Пример 5. Пусть как в задаче А люди отличаются лишь трудолюбием a_k и трудовым потенциалом T_k, а d_k+D_k=0 для любого k, т.е. U_k(l,w)=lnw+(1/a_k)ln(T_k-l). Теперь получаем и среднюю норму замещения . Легко проверить (см. задачу 1), что одним из решений уравнения в частных производных для u(l,w) будет функция как, впрочем, и монотонное возрастающее преобразование от нее.

Ранее было замечено, что размеры справедливого вознаграждения w_i за труд l_i делают одинаковыми функции полезности (в данном примере, компромиссные) каждого участника, т.е. u(l_i,w_i)==u₀. Отсюда получаем, что . Далее из равенства , находим u₀ и окончательно имеем для справедливой оплаты

.

Последнее соотношение в более простом виде было получено в задаче Б.

В примере 5 найдены w=(w₁,w₂,...,w_n) - справедливые вознаграждения при компромиссном замещении труда зарплатой для различных трудовых затрат l=(l₁,l₂,...,l_n). Но каждый участник работы все таки рассматривает оплату своего труда со своих позиций, т.е. в примере 3, вместо u(l,w) следовало бы подставить u_k(l,w). При заданных L были бы получены , так же как в задаче Б. Но теперь ожидаемая оплата труда l_i может отличаться от и в соответствии с тем больше или меньше , чем человек будет либо удовлетворен (иногда с некоторой добавкой), либо неудовлетворен своим заработком. Сумму неудовлетворённостей можно компенсировать, например, премиями и по ней можно также определять справедливость оплаты труда.

Задачи.

1. Пусть F(z) - монотонно возрастающая функция, а и . Убедитесь, что u(l,w)=F(Y(w)-X(l)) - решение уравнения x(l)u'_l+y(w)u'_w=0 в частных производных

2. Убедитесь, что отношение двух линейных функций, одна из которых y(w)=bw+c возрастающая, а другая - x(l)=s-rl- убывающая, путем введения новых параметров можно привести к виду y(w)/x(l), где y(w)=(w+d)/a, x(l)=T-l.

3. Пусть после затрат труда l. за плату w человек согласен на переработку величины при доплате E(l,w)=w/a(T-l). Тогда функция полезности u(l,w)=w^1-/(1-)+a(T-l)^1-/(1-), а зависимость по мнению работника заработка от труда равна w=w₀.

4. Покажите, что оптимум функции u(l,w)=aln(w+d)+ln(T-l) при ограничениях w=ql+D, достигается в точке l*=.Что это будет, максимум или минимум функции полезности u(l,w)?

5. Проверьте непосредственный подстановкой, что функция u(l,w)=alnw, будет решением уравнения , при .

6. Функции полезности двух различных работников равны u₁(l,w)= 0,7 и , l<T. Кто из работников обдаст больше труда за единицу заработка, т.е. более трудолюбив, после отработки 7 единиц труда при получении за них w=8 единиц заработка.

7. Пусть два работника имеют целевые функции и. Найдите компромиссную целевую функцию u(l,w), усредняя нормы компенсации. Какой должна быть справедливая оплата труда l₁=8 единиц и l₂=12 единиц труда при общей оплате работ W=100 денежных единиц, при найденной компромиссной функцией? Какой будет оплата при l₁=12 и l₂=8.

8. Какой из вариантов оплаты труда в задаче 5 будет считаться более справедливым каждым работником в соответствии с его точкой зрения, определяемой функцией полезности u(l,w) из задачи 5 (I=1,2).

Задание. Представляет интерес задача подобрать веса _i (_I=1)так, чтобы не было обиженных. Для этого при уже найденных w(), =(₁,₂,_n) найти _i, прировняв друг другу все функции полезности. Почему не удаётся найти веса так, что _I=E_i(l,w)/E(l,w), где как в п.5 этой главы - средняя арифметическая норм замещения всех работников бригады.

Литература

1. Бартоломью Д. Стохастические модели социальных процессов. Изд. “Финансы и статистика”, Москва, 1985 г.