Разработка математических моделей и методов обоснования ресурсной потребности территориальных подразделений МЧС РФ

Размеченный граф состояний исследуемой системы показан на рис.3.1.

Рис. 3.1. Размеченный граф состояний отдельного пожарного поста

Найдем прежде всего вероятности состояний ОПП p₀(t) и p₁(t) для любого момента времени t. Для этого нужно сконструировать математическую модель, описывающую случайный процесс в данной системе, или, иными словами, процесс перехода ОПП из состояния в состояние.

Поскольку мы имеем дело с марковским случайным процессом, то его математическая модель представляет собой систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений, неизвестными функциями в которой являются искомые вероятности p₀(t) и p₁(t). Для составления этих уравнений воспользуемся приемом, который мы рассматривали ранее на лекции, посвященной моделированию систем по схеме марковских случайных процессов. Будем иметь:

(3.5)

Эту систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка естественно решать при начальных условиях р₀ (0)=1, р₁ (0)=0, которые означают, что в начальный момент времени отделение было свободно от боевой работы. Кроме того, нужно учитывать нормирующее условие

p₀(t)+p₁(t)=1, (3.6)

благодаря которому одно из уравнений (3.5) становится лишним, так как p₁(t) например, можно выразить через p₀(t). Учитывая это, отбросим, например, первое уравнение, а во второе вместо p_o(t) подставим 1 - р₁(t):

.

Откуда,

(3.7)

Поскольку л = const, это уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получаем

(3.8)

Учитывая начальное условие р₁(0)=0, определяем значение произвольной постоянной С:

. (3.9)

Подставив выражение (9) в (8) и преобразовав полученное выражение, найдем в явном виде р₁(t):

. (3.10)

Отсюда, учитывая, что p_o(t) = 1 - р₁(t), получаем

. (3.11)

Выражения p₀(t) и p₁(t) зависящие только от основных параметров оперативной обстановки л и м=1/t_ср, и являются искомым распределением вероятностей состояний ОПП (ДПД).

Проанализируем полученные решения и найдем ряд характеристик процесса функционирования данной системы.

Во-первых, вероятности p₀(t) и p₁(t), изменяясь с течением времени, при t>? асимптотически стремятся к следующим постоянным значениям:

и

(3.12)

Это означает, что спустя некоторое время после начала работы системы процесс ее функционирования становится стационарным, не зависящим от времени.

При этом длительность переходного режима работы невелика и система выходит на стационарный режим достаточно быстро.

На рис.3.2 показаны графики функций p₀(t) и p₁(t) (для каждого значения t имеем p₀(t)+p₁(t)=1).

Положения кривых p₀(t) и p₁(t) зависят от соотношения значений параметров л и м. В данном случае л << м, что всегда справедливо для рассматриваемой системы.

Рис. 3.2. График вероятностей p₀(t) и p₁(t) при л << м

Например, в поселках городского типа, малых городах, с населением до 10 тыс. чел., в сельских населенных пунктах подразделения профессиональной или добровольной противопожарной службы выезжают по вызовам, как правило, не больше 15-20 раз в год, затрачивая на один выезд в среднем около 2ч. В таком случае л ? 0,002 выз/ч. и м =1/t_ср = 0,5 ч-¹, т.е. л << м. При таких значениях параметров л и м с помощью формул (3.8.8) находим р₀=0,996 и p₁=0,004, т.е. 99,6% всего времени оперативное отделение находится в режиме дежурства, т.е. свободно от выездов, что вполне естественно для такого малочисленного подразделения пожарной охраны при заданных значениях параметров оперативной обстановки. Очевидно, вероятности p₀ и p₁ определенным образом характеризуют условия и эффективность оперативной деятельности ОПП (ДПД). Удобнее всего анализ этой деятельности проводить с помощью приведенной плотности потока вызовов с = л / м = лt_ср. Как уже говорилось, эта характеристика определяет среднее число вызовов, приходящееся на среднее время обслуживания одного вызова.

Предельные (или, как иногда говорят, финальные) значения вероятности p₀ и p₁ выражаются через с следующим образом:

p₀ = 1/(1+ с) и p₁ = с /(1+ с). (3.13)

При малых значениях с (т.е. как раз при л << м) вероятность «простоя» р₀ велика, а вероятность занятости р₁ мала. Обратная картина получится при больших значениях с (л >> м)_> когда исследуемая система почти все время будет занята, но это означает, что вероятность отказа очередному вызову в обслуживании будет весьма велика, а так называемая пропускная способность системы (этим термином широко пользуются в теории массового обслуживания) - низка. Если с = 1, то р₀ = р₁ = 1/2, т.е. система в среднем половину времени простаивает, но половина всех вызовов (в среднем) получит отказ в обслуживании.

Очевидно, для рассматриваемой системы вероятность р₀ можно рассматривать как относительную пропускную способность (обозначим эту характеристику q). В самом деле, р₀(t) есть вероятность того, что в момент t система свободна и вызов, поступивший в этот момент, будет немедленно принят к обслуживанию (оперативное отделение выедет к месту вызова). Следовательно, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных вызовов к числу поступивших тоже равно р₀(t) , т.е. p₀(t)=q. Из соотношения (9) следует, что при стационарном режиме работы

q = 1 / (1 + с) = 1 / (1 + лt_ср) (3.14)

Зная относительную пропускную способность q системы, можно найти ее абсолютную пропускную способность А, т.е. среднее число вызовов, которое данная система может обслужить в единицу времени.

A = л q= л р₀ (3.15)

Наконец, учитывая все сказанное выше, вероятность отказа очередному вызову в обслуживании можно выразить в виде

P_отк = p₁ = 1 - p₀ = 1 - q. (3.16)

При этом вероятность отказа P_отк означает среднюю долю необслуженных вызовов среди всех поступивших.

В таком случае, возвращаясь к рассмотренному выше примеру, можно сказать, что относительная пропускная способность ОПП как специфической обслуживающей системы q = 0,996 (при заданных значениях л и м), а вероятность отказа P_отк = 0,004. Последний результат особенно важен. Он означает, что в среднем в одном случае из 250, поступивший вызов не сможет быть обслужен немедленно силами данного подразделения. Если учесть, что за год поступает около 20 вызовов, можно сделать вывод, что в районе, охраняемом ОПП, такая ситуация возникает реже, чем один раз в 10 лет (если, разумеется, не произойдет резкого ухудшения оперативной обстановки).

Практическое значение рассмотренной модели не слишком велико, но на ее примере удобно иллюстрировать принцип получения вероятностей состояний системы; отыскание финальных вероятностей, определяющих стационарный режим процесса функционирования системы; формирование основных характеристик эффективности функционирования данной системы, важнейшей из которых является вероятность отказа.

Общая модель оперативной деятельности отделений на основных пожарных автомобилях.

Рассмотрим теперь еще более общий случай в оперативной деятельности пожарной охраны города. Содержательное описание изучаемого процесса может быть кратко представлено в следующем виде.

На центральную приемо-передающую станцию (ЦППС) города в случайные моменты времени поступают сообщения о возникших пожарах, загораниях, авариях и других происшествиях, в ликвидации которых должны участвовать подразделения противопожарной охраны. Диспетчер на основании расписания выездов и с учетом характера поступившего сообщения высылает по каждому вызову то или иное, вообще говоря, случайное число оперативных отделений (случайность здесь понимается в том смысле, что заранее нельзя сказать, сколько отделений придется выслать по очередному вызову и всем следующим за ним вызовам). Обслуживание каждого вызова (тушение пожара, ликвидация аварии и т.п.) продолжается некоторое случайное по продолжительности время, по истечении которого оперативные отделения возвращаются в свои депо и ожидают очередного вызова.

Таким образом, процесс функционирования пожарной охраны города представляет собой достаточно сложный случайный процесс, частные случаи которого уже рассмотрены. Попытаемся теперь сконструировать математическую модель изучаемого процесса в более общем случае.

Предположим, что поток вызовов пожарных подразделений подчиняется закону Пуассона с параметром л. На обслуживание каждого вызова с вероятностью a_s может потребоваться s оперативных отделений на основных пожарных автомобилях (s = 1,2,..., т). Наконец, время занятости отделений на обслуживании одного вызова подчиняется показательному закону распределения с параметром м = 1 / t_ср.

Для простоты рассмотрим случай, когда в городе имеются только два отделения на автоцистернах в боевом расчете, т.е. m = 2 (типичная ситуация для городов с населением до 50 тыс. чел.). Следовательно, в данном городе по вызову с вероятностью a₁ выезжает одно отделение на автоцистерне, с вероятностью a₂ - два отделения. При этом a₁ + a₂ = 1.

Проанализируем возможные состояния, в которых может находиться пожарная служба города. Очевидно, в данном случае их может быть четыре:

Е₀ - оба отделения свободны; Е₁ - одно отделение занято обслуживанием вызова; Е₂ - оба отделения заняты обслуживанием одного вызова; Е₁₁ - оба отделения заняты обслуживанием двух разных вызовов.

Таким образом, состояния различаются как числом одновременно обслуживаемых вызовов, так и числом одновременно работающих отделений. Обозначим вероятности этих состояний р₀(t), р₁(t), р₂(t) и р₁₁(t), причем для любого t получим: р₀(t) + р₁(t) + р₂(t) + р₁₁(t)= 1. Размеченный граф состояний системы имеет вид (рис.3.3).

Рис. 3.3. Размеченный граф состояний противопожарной службы малого города

При анализе этого графа полезно иметь в виду, что, во-первых, если в единицу времени поступает л вызовов пожарных подразделений, то одно оперативное отделение для обслуживания этих вызовов требуется в среднем в лa₁ случаях, а два отделения - в лa₂ случаях; во-вторых, интенсивность "потока освобождений" в состоянии E₂ равна м, a в состоянии E₁₁ - 2м; наконец, переход из состояния E₁ в состояние E₁₁ происходит с интенсивностью л(а₁+a₂)=л, т.к. a₁+a₂ = 1. Объясняется это тем, что когда система находится в состоянии E₁₁ т.е. на выезде находится одно оперативное отделение, с интенсивностью лa₁ может поступить новый вызов, требующий для обслуживания одного отделения, но с интенсивностью лa₂ может поступить вызов, требующий двух оперативных отделений. Так как в городе в данной ситуации свободным является только одно оперативное отделение, то и в первом, и во втором случае именно оно и выезжает по вызову. При этом в первом случае вызов обслуживается полностью, а во втором - только частично (естественно, одно отделение не сможет успешно выполнить тот объем работы, который должны выполнять два отделения; это обстоятельство по меньшей мере скажется на значительном увеличении времени занятости отделения и качестве обслуживания вызова). Если рассмотреть вариант с интенсивностью перехода из состояния E₁ в состояние E₁₁, равной только лa₁, то неопределенно уменьшится значение вероятности отказа, что несколько исказит истинную эффективность функционирования противопожарной службы города.

Ограничимся пока этими замечаниями и приступим к построению математической модели процесса функционирования противопожарной службы города. По-прежнему, благодаря сделанным предположениям, мы имеем дело с марковским случайным процессом, математической моделью которого является следующая система дифференциальных уравнений:

(3.17)

Естественными в данном случае начальными условиями являются: р₀(0)= 1, р₁(0)=р₂(0)=р₁₁(0)=0. Поскольку наибольший интерес представляет стационарный режим процесса функционирования пожарной службы города, то, переходя к пределу при t>? , получим систему алгебраических уравнений:

(3.18)

Нормирующее условие имеет вид:

p₀ + p₁ + p₂ + p₁₁ = 1. (3.19)

Решая систему (3.18), находим:

p₁ = сa₁p₀ , p₂ = сa₂p₀ , p₁ = (с²/2) a₁p₀ , (3.20)

где, как обычно, с = л/м.

Для отыскания значения p₀ используем нормирующее условие (3.19), подставив в него найденные значения p₁, p₂, и p₁₁. В результате получим

p₀ = 1 / [1 + с + (с²/2) a₁]. (3.21)

Таким образом, найдены все предельные вероятности состояний исследуемой системы. Вероятность отказа, как и раньше, равна вероятности того, что заняты боевой работой оба оперативных отделения, т.е.

p_отк = p₂ + p₁₁ = [сa₂ + (с²/2) a₁] / [1 + с + (с²/2) a₁]. (3.22)

Легко видеть, что при a₁ = 1, a₂ = 0 данная модель переходит в модель Эрланга с тремя состояниями, а при a₁ = 0, a₂ = 1 в модель Эрланга с двумя состояниями. Это следует и из рис.3.3, и из формул (3.20) - (3.22). Следовательно, построенная модель является одним из обобщений модели Эрланга.

В принципе рассмотренная модель допускает дальнейшее обобщение для произвольного числа оперативных отделений и различных типов вызовов. Однако число состояний системы при этом очень быстро возрастает, а формулы вероятностей состояний становятся все более громоздкими. К примеру, для трех оперативных отделений (n = 3) число возможных состояний системы равно уже 7, при шести оперативных отделениях и шести типах вызовов число состояний равно 30 и т.д. В связи с этим целесообразно попытаться найти приближенные методы решения этой задачи или вести моделирование на иной основе.

Опираясь на описанные выше принципы функционирования модели противопожарной службы малого города, была разработана комплексная, более крупная модель функционирования системы пожарных частей района города. Данная модель позволяет без особых затруднений подстроиться под любое число состояний системы (под любое количество пожарных отделений).

Как показательный пример, была рассмотрена модель работы пожарной части с четырьмя пожарными автомобилями.

На рисунке 3.4. изображен граф состояний системы пожарной части с четырьмя отделениями. Состояние S0 соответствует тому, что система свободна, т.е. не занято ни одно отделение. Состояние S1 - занято одно отделение, S2 - два отделения и т.д.

Рис. 3.4. Размеченный граф состояний системы пожарной части с четырьмя автомобилями.

Построение математической модели процесса функционирования противопожарной службы района проводилось с использованием программного пакета Mathcad. Мы по-прежнему имеем дело с марковским случайным процессом, математической моделью которого является система дифференциальных уравнений, которая, на этот раз, была выражена при помощи матриц в программном пакете Mathcad:

(3.23)

(3.24)

Система (3.23) аналогична системе (3.17), описанной в предыдущей модели таким способом решается перемножением обратной матрицы dP на матрицу dt (3.24). В результате данного перемножения мы находим все предельные вероятности состояний исследуемой системы.

Вероятность отказа для данной модели рассчитывается по формуле:

p_отк = p₄ + p₃ (a4 + a3 + a2) + p₂ (a4 + a3) + p₁ a4 (3.25)

Вероятность отказа показывает, что в среднем один из поступающих 1/p_отк вызовов не сможет быть обслужен немедленно силами данной пожарной части. Определим, что критическое значение вероятности отказа составляет 1%. Иначе говоря, если вероятность отказа более 1%, значит пожарной части требуется увеличение количества отделений и, соответственно, пожарной техники.

Для демонстрации работы модели рассмотрим оперативную обстановку с пожарами в Колпинском районе за 2010 год:

- в 2010 году в Колпинском районе произошло 239 пожаров;

- среднее время занятости подразделений на одном пожаре составило 76 минут (время занятости включает в себя: время прибытия первого подразделения к месту пожара, время подачи первого ствола, время локализации пожара, время ликвидации открытого горения, время ликвидации последствий пожара). После чего переводим количество пожаров в год в количество пожаров в час, а среднее время занятости из минут в часы, находим интенсивности и подставляем данные в Mathcad для расчетов (значения переменных a1, a2, a3, a4 были получены аналитическим путем).

Мы получили вероятность отказов, равную 1,1%. Значит, из 239 поступающих в год вызовов 2,6 вызовов не будет обслужено вовремя. Следовательно, мы можем предложить рекомендации по расширению численности личного состава, увеличения количества отделений и пожарной техники для данной части.

Таким образом, использование на практике разработанной математической модели вполне оправдано, и мы вправе ожидать от ее применения достаточно надежных результатов.

Но стоит внести некоторые замечание по поводу использования данной модели для определения ресурсной потребности пожарных подразделений. Существует более 30 видов мобильных средств пожаротушения [33] и, в зависимости, от типа вызова и сложности пожара различные средства могут быть востребованы с различной интенсивностью. Например, пожарный вертолет или пожарный самолет используется только в самых масштабных и трудно ликвидируемых пожарах, частота которых ничтожно мала по сравнению с небольшими возгораниями, на которые специализированная техника не требуется. Исходя из этого, следует использовать данную математическую модель для каждого вида техники по отдельности, тогда применение данной модели на практике в разы повысит ее эффективность.

Необходимо сделать еще ряд замечаний по поводу рассмотренных аналитических моделей процесса функционирования пожарной службы города или района. Все они имеют один общий и весьма существенный недостаток. Он связан с тем, что данные модели никак не учитывают случайного характера распределения вызовов по пространству, т.е. по территории города, а учитывают только случайность их появления во времени. Эти модели позволяют получить ответы на ряд важных вопросов, интересующих практику, например, оценить вероятность отказа очередному вызову в той или иной ситуации, но принципиально не могут дать никаких ответов на вопросы, которые не учитывались при конструировании моделей. Вообще говоря, недостаточно знать, что в любой момент времени в данном городе и наиболее напряженных условиях оперативной обстановки имеется несколько свободных оперативных отделений пожарной охраны, так как нужно еще иметь и уверенность в том, что ближайшее из них прибудет к месту очередного вызова в течение некоторого допустимого промежутка времени.

В связи с последним замечанием можно отметить, что в, условиях сравнительно небольших по территории городов (например, до 50км², а таких городов большинство в любой стране) вопросы о быстроте прибытия пожарных подразделений к месту вызова ставятся не так остро, как в условиях крупных городов. Поэтому рассмотренные модели в принципе вполне удобны и пригодны для использования в малых, средних, больших и даже крупных городах, но должны быть существенно усовершенствованы для крупнейших городов.

Усовершенствование аналитических моделей в большинстве случаев связано с их усложнением, которое затрудняет их использование. Аналитические модели, позволяющие установить аналитические (в виде формул) зависимости между параметрами задачи, должны, вообще говоря, удовлетворять двум основным и противоречивым условиям. С одной стороны, они должны быть достаточно просты и удобны для анализа и использования на практике, с другой - быть достаточно подробными и полными, чтобы отражать сущность изучаемого явления или процесса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные результаты.

1. Разработан метод оценки ресурсной потребности территориальных подразделений ГПС для городов и районов АТО России.

2. Получены регрессионные модели, описывающие зависимости показателей обстановки с пожарами в городе Санкт-Петербурге от показателей ресурсной оснащенности, деятельности ГПС и показателей социально-экономической среды. С использованием соответствующих критериев обоснована статистическая точность и достоверность полученных моделей. В итоге получено 21 регрессионное уравнение. С использованием данных моделей возможна разработка прогноза развития обстановки с пожарами в городе Санкт-Петербурге в зависимости от тенденций изменения социально-экономической среды и ресурсной обеспеченности ГПС. Полученные варианты прогноза могут быть использованы при подготовке информационно-аналитических материалов для органов администрации и местного самоуправления по состоянию дел в области пожарной безопасности, а также при рассмотрении вопросов о целесообразности укрепления или создания подразделений ГПС с целью эффективного влияния на негативные процессы развития обстановки с пожарами.

3. Выявлен ряд ведущих факторов как по технико-экономическим показателям, так и по ресурсной обеспеченности ГПС. Данные факторы следует рассматривать как системообразующие с позиции влияния на обстановку с пожарами в Санкт-Петербурге. К ним относятся:

1) демографические: количество безработных на 1000 населения;

2) экономические: количество промышленных предприятий на 10000 населения;

3) социальные: число преступлений на 10 тыс. населения, несчастные случаи на 1000 работающих;

4) ресурсы ГПС: численность личного состава, количество пожарной техники, тактическая деятельность.

Выявленные ведущие факторы по социально-экономической среде следует учитывать при разработке планов организационно-технических мероприятий по пожарной безопасности населенных пунктов, при проведении мероприятий по противопожарной пропаганде и обучению населения мерам пожарной безопасности. Ведущие факторы по ГПС позволяют обосновывать с научной точки зрения эффективность деятельности ГПС при оценке ее влияния на обстановку с пожарами и аргументированно отстаивать интересы пожарной охраны при принятии управленческих решений органами законодательной и исполнительной власти.

4. Описан способ оценки нейтрализующего влияния ГПС на обстановку с пожарами, суть которого заключается в расчете соотношений между ресурсными составляющими ГПС и показателями социально-экономической среды районов города Санкт-Петербурга. Данные соотношения следует рассматриваются с позиции минимальных требований, которые следует применять органам администрации и местного самоуправления при создании или укреплении подразделений ГПС в районах.

5. Разработана математическая модель обоснования ресурсной потребности территориальных подразделений ГПС МЧС РФ на основе моделирования случайных процессов. Данные модели позволяют оценивать оперативную обстановку с пожарами и на основании вероятностной оценки обосновывать нехватку личного состава и пожарной техники. Данные модели универсальны и применимы к пожарным частям любого уровня. Все расчеты автоматизированы при помощи компьютерной программы.

Таким образом, в некоторой мере, решена задача обоснования численности и технической оснащенности территориальных подразделений ГПС МЧС России на региональном уровне с учетом специфики АТО по социально-экономической среде при помощи регрессионных моделей и на основании обстановки с пожарами при помощи математического моделирования случайных процессов. То есть, обстановка с пожарами была оценена с двух сторон: как выходной параметр в регрессионных моделях и как входной параметр в математическом моделировании, что в итоге позволяет совмещать данные методы моделирования. Данная задача имеет большое значение для поддержания боеготовности подразделений ГПС.

Дальнейшим продолжением работы в данном направлении может быть:

· прогнозная оценка обстановки с пожарами в Санкт-Петербурге с использованием разработанных регрессионных моделей;

· совершенствование метода математического моделирования на основе случайных процессов путем внедрения в модель данных по различным видам пожарной техники.

Размещено на Allbest.ru