Пьер Ферма - французский математик, один из создателей аналитической геометрии и теории чисел

Размещено на http://www.allbest.ru/

10

Пьер Ферма (1601-1665) - французский математик, один из создателей аналитической геометрии и теории чисел (теоремы Ферма).

В одном из некрологов Пьеру Ферма говорилось - "Это был один из наиболее замечательных умов нашего века, такой универсальный гений и такой разносторонний, что если бы все ученые не воздали должное его необыкновенным заслугам, то трудно было бы поверить всем вещам, которые нужно о нем сказать, чтобы ничего не упустить в нашем похвальном слове".

Пьер Ферма родился на юге Франции в небольшом городке Бомон-де-Ломань, где его отец - Доминик Ферма - был "вторым консулом", т.е. чем-то вроде помощника мэра. Метрическая запись о его крещении от 20 августа 1601 года гласит: "Пьер, сын Доминика Ферма, буржуа и второго консула города Бомона". Мать Пьера, Клер де-Лонг, происходила из семьи юристов.

Доминик Ферма дал своему сыну Пьеру очень солидное образование. В колледже родного города Пьер приобрел хорошее знание языков - латинского, греческого, испанского, итальянского.

Впоследствии он писал стихи на латинском, французском и испанском языках "с таким изяществом, как если бы он жил во времена Августа и провел большую часть своей жизни при дворе Франции или Мадрида".

Пьер Ферма славился как тонкий знаток античности, к нему обращались за консультацией по поводу трудных мест при изданиях греческих классиков. По общему мнению, он мог бы составить себе имя в области греческой филологии.

Но Ферма направил всю силу своего гения на математические исследования. И все же математика не стала его профессией. Ученые его времени не имели возможности посвятить себя целиком любимой науке.

Ферма становится юристом. Степень бакалавра была ему присуждена в Орлеане. С 1630 года Ферма переселяется в Тулузу, где получает место советника в Парламенте (т.е. суде).

пьер ферма теорема геометрия

О его юридической деятельности говорится в "похвальном слове", что он выполнял ее "с большой добросовестностью и таким умением, что он славился как один из лучших юристов своего времени".

В 1631 году Пьер Ферма женился на своей дальней родственнице с материнской стороны - Луизе де Лонг. У Пьера и Луизы было пятеро детей, из которых старший, Самюэль, стал поэтом и ученым. Ему мы обязаны первым собранием сочинений Пьера Ферма, вышедшим в 1679 году. К сожалению, Самюэль Ферма не оставил никаких воспоминаний об отце.

При жизни П. Ферма о его математических работах стало известно главным образом через посредство обширной переписки, которую он вел с другими учеными. Собрание сочинений, которое он неоднократно пытался написать, так и не было им создано. Да это и неудивительно при той напряженной работе в суде, которую ему пришлось выполнять. Ни одно из его сочинений не было опубликовано при жизни. Однако нескольким трактатам он придал вполне законченный вид, и они стали известны в рукописи большинству современных ему ученых. Сам Пьер Ферма напечатал только два свои произведения: геометрическую диссертацию "De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione" (Тулуза, 1660), вместе с приложением к ней и анонимную статью без заглавия, вошедшую в качестве "первой части второго прибавления" в состав книги иезуита Лалувера: "Veterum Greometria promota in septem de Cycloide libris, et in duabus adjectis Appendicibus" (Тулуза, 1660).

Кроме этих трактатов осталась еще обширная и чрезвычайно интересная его переписка. В XVII веке, когда еще не было специальных научных журналов, переписка между учеными играла особую роль. В ней ставились задачи, сообщалось о методах их решения, обсуждались острые научные вопросы.

Корреспондентами Пьера Ферма были крупнейшие ученые его времени Декарт, Этьен и Паскаль, де-Бееси, Христиан Гюйгенс, Торричелли Валлис. Письма посылались либо непосредственно корреспонденту, либо в Париж аббату Мерсенну (соученику Декарта по колледжу); последний размножал их и посылал тем математикам, которые занимались аналогичными вопросами. Но письма ведь почти никогда не бывают только короткими математическими мемуарами. В них проскальзывают живые чувства авторов, которые помогают воссоздать их образы, узнать об их характере и темпераменте. Обычно письма Ферма были проникнуты дружелюбием.

Одной из первых математических работ Пьера Ферма было восстановление двух утерянных книг Аполлония "О плоских местах". Крупную заслугу Ферма перед наукой видят, обыкновенно, во введении им бесконечно малой величины в аналитическую геометрию, подобно тому, как это, несколько ранее, было сделано Кеплером в отношении геометрии древних. Он совершил этот важный шаг в своих относящихся к 1629 году работах о наибольших и наименьших величинах, - работах, открывших собою тот ряд исследований Ферма, который является одним из самых крупных звеньев в истории развития не только высшего анализа вообще, но и анализа бесконечно малых в частности.

В конце двадцатых годов Пьер Ферма открыл методы нахождения экстремумов и касательных, которые, с современной точки зрения, сводятся к отысканию производной. В 1636 году законченное изложение метода было передано Мерсенну и с ним могли познакомиться все желающие.

В 1637-1638 годах по поводу "Метода отыскания максимумов и минимумов" у Ферма возникла бурная полемика с Декартом. Последний не понял метода и подверг его резкой и несправедливой критике. В одном из писем Декарт утверждал даже, что метод Пьера Ферма "содержит в себе паралогизм". В июне 1638 года Ферма послал Мерсенну для пересылки Декарту новое, более подробное изложение своего метода. Письмо его сдержанно, но не без внутренней иронии. Он пишет: "Таким образом, обнаруживается, что либо я плохо объяснил, либо г. Декарт плохо понял мое латинское сочинение. Я все же пошлю ему то, что уже написал, и он, несомненно, найдет там вещи, которые помогут ему отказаться от мнения, будто я нашел этот метод случайно и его подлинные основания мне неизвестны". Пьер ни разу не изменяет своему спокойному тону. Он чувствует свое глубокое превосходство как математика, поэтому не входит в мелочную полемику, а терпеливо старается растолковать свой метод, как это сделал бы учитель ученику.

Для нахождения экстремума многочлена F (x) Ферма предлагает следующее правило:

1) подставить в F (x) вместо х выражение x+h,

2)"приравнять в смысле Диофанта" (этот оборот Ферма не разъясняет) F (x) и F (x + h):

F (x) = F (x + h) = F (x) + hA (x) + h²B (x) + … + hⁿQ (x),

3) после приведения подобных членов сократить на h,

4) положить h = 0. В результате получится равенство А (х) = 0. Ферма утверждает, что все значения, при которых y = F (x) имеет максимум или минимум, заведомо являются корнями А (х). Сама функция А (х), которая получается по правилу Ферма чисто алгебраически (т.е. без предельного перехода), теперь называется производной от F (x) и обозначается F' (x).

Вот один из примеров Ферма: пусть надо разбить отрезок а на такие две части х и а - х, чтобы произведение х (а - х) принимало максимальное значение - этот максимум был найден еще Архимедом (III век до н.э.).

Берем F (x + h) = (x + h) (a - x - h).

Приравниваем x (a - x) = x (a - x) + h (2ax - 3x²) + h² (a - 3h) + h³.

После приведения подобных членов и сокращения на h получаем 2ax - 3x² + h (a - 3x) + h² = 0.

Полагая h = 0, имеем 2ах - Зx² = 0, откуда x₁ = 0 и х₂ = 2/3 a.

Ферма дал также общий метод для определения того, будет ли точка x, в которой А (х) = 0, точкой максимума, минимума или точкой перегиба функции y = F (x). Метод был основан на рассмотрении второй производной. Заметим, что все методы Ферма были вполне строгими. После него математики отбросили требование строгости и перешли к некритическому оперированию с бесконечно малыми величинами, определить которые они не умели. Строгие методы в математическом анализе появились вновь только в начале прошлого века в работах Гаусса, Коши и Больцано.

Ферма понял, что этот же метод лежит в основе нахождения касательных к кривым линиям. Он дал метод нахождения касательных, основанный на том же принципе, что и его метод экстремумов. Теперь в основе обоих методов лежит нахождение производной, которая для многочленов автоматически получается в методе Ферма.

До Ферма систематические методы вычисления площадей разработал итальянский ученый Кавальери. Но уже в 1642 году Ферма открыл метод вычисления площадей, ограниченных любыми "параболами" и любыми "гиперболами". Им было показано, что площадь неограниченной фигуры может быть конечной.

Пьер Ферма одним из первых занялся задачей спрямления кривых, т.е. вычислением длины их дуг. Он сумел свести эту задачу к вычислению некоторых площадей. Таким образом, понятие "площади" у Ферма приобретало уже весьма абстрактный характер. К определению площадей сводились задачи на спрямление кривых, вычисление сложных площадей он сводил с помощью подстановок к вычислению более простых площадей. Оставался только шаг, чтобы перейти от площади к еще более абстрактному понятию "интеграл".

Дальнейший успех методов определения "площадей", с одной стороны, и "методов касательных и экстремумов" - с другой, состоял в установлении взаимной связи этих методов. Есть указания на то, что Пьер Ферма уже видел эту связь, знал, что "задачи на площади" и "задачи на касательные" являются взаимно обратными. Но он нигде не развил свое открытие сколько-нибудь подробно. Поэтому честь его по праву приписывается Барроу, Исааку Ньютону и Готфриду Лейбницу, которым это открытие и позволило создать Дифференциальное и интегральное исчисления.

Развив идею Декарта, Ферма применил аналитическую геометрию к пространству. В работе "Введение к теории плоских и пространственных мест", ставшей известной в 1636 году, Ферма показал, что прямым соответствуют уравнения 1-й степени, а коническим сечениям - уравнения 2-й степени. Ферма исследовал общие виды уравнений 1-й и 2-й степени.

Несмотря на отсутствие доказательств (из них дошло только одно), трудно переоценить значение творчества Пьера Ферма в области теории чисел. Ему одному удалось выделить из хаоса задач и частных вопросов, сразу же возникающих перед исследователем при изучении свойств целых чисел, основные проблемы, которые стали центральными для всей классической теории чисел. Ему же принадлежит открытие мощного общего метода для доказательства теоретико-числовых предложений - так называемого метода неопределенного или бесконечного спуска, о котором будет сказано ниже. Поэтому Ферма по праву может считаться основоположником теории чисел.

В письме к де Бесси от 18 октября 1640 года Пьер Ферма высказал следующее утверждение: если p - простое число и целое a не делится на p, то a^p-1 ? 1 (mod p) (или (a^p-1 ? 1) делится на p). Это утверждение получило название малой теоремы Ферма. Оно является основным во всей элементарной теории чисел. Леонард Эйлер дал этой теореме несколько различных доказательств.

В задаче второй книги своей "Арифметики" Диофант поставил задачу представить данный квадрат в виде суммы двух рациональных квадратов. На полях, против этой задачи, Ферма написал:

"Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще ни в какую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки". Это и есть знаменитая Великая теорема Ферма: Для любого натурального числа n > 2 уравнение

aⁿ + bⁿ = cⁿ

не имеет натуральных решений a, b и c.

Теорема эта имела удивительную судьбу. В прошлом веке ее исследования привели к построению наиболее тонких и прекрасных теорий, относящихся к арифметике алгебраических чисел. Без преувеличения можно сказать, что она сыграла в развитии теории чисел не меньшую роль, чем задача решения уравнений в радикалах. С той только разницей, что последняя уже решена Галуа, а Великая теорема до сих пор побуждает математиков к исследованиям. С другой стороны, простота формулировки этой теоремы и загадочные слова о "чудесном доказательстве" ее привели к широкой популярности теоремы среди не математиков и к образованию целой корпорации "ферматистов", у которых, по словам Дэвенпорта, "смелость значительно превосходит их математические способности". Поэтому Великая теорема стоит на первом месте по числу данных ей неверных доказательств.

Сам Пьер Ферма оставил доказательство Великой теоремы для четвертых степеней. Здесь он применил "метод неопределенного или бесконечного спуска", который он описывал в своем письме к Каркави (август 1659 года) следующим образом:

"Если бы существовал некоторый прямоугольный треугольник в целых числах, который имел бы площадь, равную квадрату, то существовал бы другой треугольник, меньший этого, который обладал бы тем же свойством. Если бы существовал второй, меньший первого, который имел бы то же свойство, то существовал бы в силу подобного рассуждения третий, меньший второго, который имел бы то же свойство, и, наконец, четвертый, пятый, спускаясь до бесконечности. Но если задано число, то не существует бесконечности по спуску меньших его (я все время подразумеваю целые числа). Откуда заключают, что не существует никакого прямоугольного треугольника с квадратной площадью". Именно этим методом были доказаны многие предложения теории чисел, и, в частности, с его помощью Эйлер доказал Великую теорему для n=4 (способом, несколько отличным от способа Ферма), а спустя 20 лет и для n=3.

В настоящее время справедливость Великой теоремы проверена для всех показателей n меньше 5500.

Также Пьер утверждал, что (2 в степени 2ⁿ + 1) - простое число. В случае n = 1, 2, 3, 4 - это верно. Но Леонард Эйлер доказал, что в случае n ? 5 это утверждение неверно.

Он доказал (1749) ещё одну гипотезу Ферма (сам Ферма редко приводил доказательства своих утверждений): простые числа вида 4k+1 представляются в виде суммы квадратов (5=4+1; 13=9+4), причём единственным способом, а для чисел вида 4k+3 такое представление невозможно. Эйлеру это доказательство стоило 7 лет трудов; сам Ферма доказывал эту теорему косвенно, изобретённым им индуктивным "методом бесконечного спуска".

У Пьера Ферма есть много других достижений. Он первым пришел к идее координат и создал аналитическую геометрию. Он занимался также задачами теории вероятностей. Но Ферма не ограничивался одной только математикой, он занимался и физикой, где ему принадлежит открытие закона распространения света в средах. Пьер исходил из предположения, что свет пробегает путь от какой-либо точки в одной среде до некоторой точки в другой среде в наикратчайшее время. Применив свой метод максимумов и минимумов, он нашел путь света и установил, в частности, закон преломления света. При этом Ферма высказал следующий общий принцип: "Природа всегда действует наиболее короткими путями". Одно из последних писем ученого к Каркави получило название "завещание Ферма". Вот его заключительные строки:

"Быть может, потомство будет признательно мне за то, что я показал ему, что древние не все знали, и это может проникнуть в сознание тех, которые придут после меня для передачи факела сыновьям, как говорит великий канцлер Англии, следуя чувствам которого, я добавлю: "Многие будут приходить и уходить, а наука обогащается".

Пьер Ферма скончался 12 января 1665 года во время одной из деловых поездок.

Собрание математических сочинений и писем Пьером Ферма было издано в первый раз его сыном Самюелем в 1679 г.

Новое, более полное и совершенное собрание сочинений Пьера Ферма было издано в Париже в трех томах, под заглавием "Oeuvres de Fermat, publiees par les soins de P. Tannery et Ch. Henry" (1896). (В.В. Бобынин)

Размещено на Allbest.ru