Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

ИРКУТСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Пояснительная записка

к курсовому проекту по дисциплине

Теория математической обработки геодезических измерений ПЗ

Уравнивание геодезических сетей методом наименьших квадратов

Б.Н. Олзоев

Иркутск 2017 г



Содержание

Введение

1. Уравнивание группы направлений, исходящих из одного пункта, параметрическим способом

1.1 Сущность параметрического способа уравнивания

1.2 Выбор необходимых неизвестных (параметров)

2. Уравнивание геодезического четырехугольника коррелатным способом

2.1 Сущность коррелатного способа

3. Уравнивание системы неравноточных высотных ходов с тремя узловыми точками коррелатным способом

Введение

Актуальность темы курсового проекта связана с применением математических методов в обработке результатов геодезических измерений выполненных при построении типовых схем геодезических сетей. В проекте используется метод наименьших квадратов включающие два основных способа: параметрический и коррелатный. Основное условие метода заключается в выражении: [v2]=min и [pv2]=min

Поэтому целью курсового проекта является описание методики и практической реализации математической обработки типовых геодезически сетей.

Для достижения цели решаются следующие задачи:

Рассмотреть уравнивание геодезических сетей параметрическим способом;

Охарактеризовать уравнивание геодезического четырехугольника коррелатным способом;

Предоставить уравнивание системы неравноточных высотных ходов с тремя узловыми точками коррелатным способом;

В курсовом проекте даны следующие исходные данные: горизонтальные углы, превышения и длины сторон.

Методы обработки:

Параметрический - в этом способе выбирают такие независимые необходимые неизвестные- параметры, функциями которых могут быть выражены все измеренные величины. Эти равенства называются параметрическими уравнениями связи.

.Коррелатный способ основывается на том, что измеренные величины в геодезических сетях связаны между собой определенными математическими соотношениями.



1. Уравнивание группы направлений, исходящих из одного пункта, параметрическим способом

1.1 Сущность параметрического способа уравнивания

Уравнивание геодезических измерений - совокупность математических операций, выполняемых для получения вероятнейшего значения геодезических координат точек земной поверхности и для оценки точности результатов измерений.

Уравнивание проводится для устранения невязок, обусловленных наличием ошибок в избыточно измеренных величинах, и для определения вероятнейших значений искомых неизвестных или их значений, близких к вероятнейшим. В процессе уравнивания это достигается путём определения поправок к измеренным величинам (углам, направлениям, длинам линий или превышениям)[2].

В практике геодезических измерений часто возникает задача совместной обработки (уравнивания) результатов измерения величин связанных функционально, причём форма связи известна заранее, а количество измерений больше количества неизвестных (n > t). Наличие избыточных измерений (r = n ? t) позволяет выполнить контроль произведённых измерений и определить их точность.

Получение вероятнейших значений неизвестных, оценка их точности и точности функций от них составляют задачу уравнивания.

Уравнивание параметрическим способом заключается в отыскании поправок t1, t2, …, tk к приближенным значениям искомых параметров у1, у2, …, уk, их уравненных значений у'1, у'2, …, у'k и х'1, х'2, …, х'п, а также в оценке точности результатов уравнивания.

Существует два основных способа уравнивания:

- параметрический

- коррелатный

В случае параметрического способа уравнивания решение приводит к непосредственному получению уравненных значений неизвестных - параметров.

Оба способа приводят к одинаковым результатам уравнивания, а выбор метода определяется объёмом вычислений при решении конкретной задачи[1]. Параметрический способ уравнивания геодезических сетей имеет широкое применение, так как одинаковая структура приведенных к линейному виду уравнений поправок дает возможность составлять универсальные программы уравнивания на ЭВМ триангуляции, трилатерации, линейно-угловых, комбинированных и других построений[4].

1.2 Выбор необходимых неизвестных (параметров)

Условия задания: между четырьмя направлениями измерены горизонтальные углы во всех комбинациях (см. рисунок 1).

Рисунок 1 - Схема измерения горизонтальных углов

Исходные данные представлены в таблице 1. В результате уравнивания должны быть вычислены: уравненные значения всех углов; средняя квадратическая ошибка результата непосредственного измерения и средняя квадратическая ошибка самой ошибки.



Таблица 1 - Исходные данные

№ угла	Угол	Измеренный угол	Неизвестные (параметры)
1	AOB	4742'17,5”	t1
2	BOC	5318'32”	t2
3	COD	2654'48,5''	t3
4	AOC	10100'47''	t1+t2
5	BOD	8013'18,5''	t2+t3
6	AOD	12755'35''	t1+t2+t3

Параметры должны быть независимыми. Чтобы обеспечить это условие, необходимо выбрать максимальное количество независимых условных уравнений. Это означает, что нельзя выразить одно уравнение как линейную комбинацию остальных. Учитывая, что необходимых измерения - три, тогда составим три параметрических уравнений связи:

Число необходимых измерений k равно разнице между числом измеренных величин n и числом условных независимых уравнений r. Откуда следует

k = n - r = 6 - 3 = 3;

В связи с этим в качестве необходимых неизвестных (параметров) выбрано три угла (AOB, BOC, COD) из шести измеренных. Обозначим истинные значения Хi выбранных неизвестных через t1, t2, t3.



X1 = t1; X2 = t2; X3 = t3

Теперь, вводим неизвестные поправки vi - поправки в измеренное значение хi, чтобы получить уравненные значения хi + vi, таким образом, чтобы [vi] = 0.

Параметрические уравнения связи представлены следующим образом:

X1 = t1 X1 = 4742'17,5”

X2 = t2 X2 = 5318'32”

X3 = t3 X3 = 2654'48,5''

X4 = t1 + t2 X4 = 10100' 47''

X5 = t2 + t3 X5 = 8013' 18,5''

X6 = t1 + t2 + t3 X6 = 12755' 35''

Составление уравнений поправок.

Общий вид параметрического уравнения связи:

Xi = xi + vi = F(t1, t2, t3), или vi = F(t1, t2, t3) - xi (i = 1,2, …, 6)

Выполним условие:

[v2]=min и получим:

,

В левой части выражения (3) неизвестны только величины tk, поэтому его можно написать в виде некоторой функции F(t1…, tk):

F(t1…, tk) = min



Поскольку введенные необходимые неизвестные t свелись к задаче на абсолютный экстремум, то необходимо составить определенную систему уравнений:

.

из которой могут быть получены неизвестные (t1…, tk).

Однако если уравнения имеют нелинейный вид, то их решение практически невозможно. Поэтому для параметров tv находят приближенные значения t0v, причем с такой точностью, чтобы привести функцию (2) к линейному виду путем разложения в ряд Тейлора, в котором можно пренебречь членами разложения второго и высшего порядков.

Представим неизвестные tv в виде:

tv = t0v + v (v = 1, 2,… ,6),

где t0v - приближенные значения, v - неизвестные поправки к ним.

Подставим эти значения tv в равенство (2), получим:

vi = F(t01+1, …, t0k + k) - xi

Разлагая функцию Fi в ряд Тейлора, находим:

vi = F(t01,…, t0k)+01 +...+0 k + R - xi

где R - сумма всех членов разложения, кроме линейных. Приближенные значения должны быть найдены таким образом, чтобы можно было пренебречь R.

Введем обозначения:

0 =ai;…; 0 =aik ; F(t1…, tk) - xi = x0i - xi = li

Свободный член будет выражен следующим образом:

l4= (x01+x02)-x4 = 2”,5

l5= (x02+x03)-x5= 2”

l6= (x01+x02+x03)-x6=3”

Общий вид параметрического уравнения поправок:

v1 = 1

v2 =2

v3 =3

v4 =1+2 + 2”,5

v5 =2+3 + 2”

v6 =1+2+3+ 3”

По этим уравнениям составим таблицу коэффициентов уравнений поправок (таблица 2).

Таблица 2 - Коэффициенты уравнений поправок и нормальных уравнений

№ уравнений	ai1	ai2	ai3	li	s
1	1				1
2		1			1
3			1		1
4	1	1		2.5	4.5
5		1	1	2	4
6	1	1	1	3	6
[ ]	3	4	3	7.5	17.5



Система из трех нормальных уравнений имеет следующий вид:

№ урав	ai1· ai1	ai1· ai2	ai1· ai3	ai1· li	ai1· s	ai2· ai2	ai2· ai3	ai2· li	ai2· s	ai3· ai3	ai3· li	ai3· s	li· li	li·s	s·s
1	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1
2	0	0	0	0	0	1	0	0	1	0	0	0	0	0	1
3	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	1	0	0	1
4	1	1	0	2.5	4.5	1	0	2.5	4.5	0	0	0	6.25	11.25	20.25
5	0	0	0	0	0	1	1	2	4	1	2	4	4	8	16
6	1	1	1	3	6	1	1	3	6	1	3	6	9	18	36
[ ]	3	2	1	5.5	11.5	4	2	7.5	15.5	3	5	11	19.25	37.25	75.25

[ai1· ai1]1+[ ai1· ai2 ]2+[ ai1· ai3]3+ [ai1·l1] = 0

[ai1· ai2]1+[ ai2·ai2]2+[ ai2· ai3]3+ [ai2·li] = 0

[ai1· ai3]1+[ ai3· ai2]2+[ ai3· ai3]3+ [ai3·li] = 0

Все вычисления контролируют по формулам:

[ai1· ai1]+[ ai1· ai2]+[ ai1· ai3]+ [ai1·li] = [ai1·s]

[ai1· ai2]+[ ai2· ai2]+[ ai2· ai3]+ [ai2·li] = [ai2·s]

[ai1·ai3]+[ai2·ai3]+[ ai3· ai3]+ [ai2·li] = [ai3·s]

[ai1·li] + [ai2·li] + [ai3·li] + [li·li] = [li·S]

[ai1· S] + [ai2·S] + [ai3·S] + [li·s] = [S·S]

Далее:

1) +3+2+1+5,5=11”,5 [ai1·s] = 11”,5

2) +2+4+2+7,5 =15”,5 [ai2·s] = 15”,5



3) +1+2+3+5=11” [ai3·s] = 11”

4) +5,5+7,5+5+19,25 =37”,25 [li·S] = 37”,25

5) +11,5+15,5+11+37,25=75”,25 [S·S] = 75”,25

Используя данные таблицы 2, получаем систему нормальных уравнений:

31+22+3+5,5 = 0

21+42+23+7,5 = 0

1+22+33+5 = 0

Решаем систему линейных уравнений матричным методом.

1=-0,875

2=-1,125

3=-0,625

Контроль решения нормальных уравнений:

3*(-0,875) + 2*(-1,125) + 1*(-0625) + 5,5 = 0

2*(-0,875) + 4*(-1,125) + 2*(-0,625) + 7,5 = 0

1*(-0,875) + 2*(-1,125) + 3*(-0,625) + 5,0 = 0

Вычисление поправок к результатам измерений

Поправки vi к измеренным значениям находят в таблицы 2 по формулам (10) и заканчивают составление этой таблицы.

Вычисление уравненных значений неизвестных (параметров)

Так как в качестве параметров выбраны измеренные величины, то рассматриваемые вычисления удобно совместить с вычислениями следующего этапа.

Вычисление уравненных значений измеренных величин

В таблице 4 вычисляют уравненные значения углов, используя поправки vi .

Заключительный контроль уравнивания

Он состоит в повторном вычислении уравненных значений углов по уравнениям связи (формула (2)).

Контрольные вычисления приводятся в таблице 4.

Таблица 3 - Уравненные значения углов

№ угла	Измеренные Значения	Попрaвки	Уравненные значения
1	4742'17,5”	-0,87	4742'16,63”
2	5318'32”	-1,12	5318'30,88”
3	2654'48,5''	-0,62	2654'47,88''
4	10100'47''	+0,51	10100'47,51''
5	8013'18,5''	+0,26	8013'18,76''
6	12755'35''	+0,39	12755'35,39''



2. Уравнивание геодезического четырехугольника коррелатным способом

2.1 Сущность коррелатного способа

В геодезическом четырехугольнике измерены 8 горизонтальных углов (рисунок 6 и таблица 5).

Рисунок 6 - Схема измерений горизонтальных углов

Пункты A и B исходные, а пункты C и D определяемые. В геодезическом треугольнике требуется выполнить: уравнительные вычисления измеренных углов в геодезическом четырехугольнике коррелатным способом; провести оценку точности угловых измерений по результатам уравнивания; произвести оценку точности стороны AD.

Таблица 4 - Исходные данные

№ угла	Измеренный угол
1	4803'41,6”
2	4522'49,7”
3	4227'08,4”
4	4406'22,5”
5	4926'17,3”
6	4400'06,8”
7	4030'27,4”
8	4603'05,1”

Ход решения

Перед математической обработкой геодезических измерении необходимо выполнить расчет числа независимых условных уравнений поправок r в геодезической сети, которое будет равно разнице между числом всех измерений n и числом необходимых измерений k.

r = n - k

Геодезический четырехугольник является замкнутой фигурой сети, тогда возникает условие фигур. При данном условии необходимо выполнить требование, чтобы сумма измеренных углов при всех вершинах фигуры после уравнивания была равна геометрической сумме углов данной фигуры.

При условии фигур, в геодезическом четырехугольнике возникает несколько совместно зависимых уравнений:

Их зависимость выражена следующим образом:



Нужно выбрать максимальное число независимых условных уравнений, где нельзя было бы выразить одно уравнение как линейную комбинацию других. Однако любые три комбинации уравнений независимы:

Таким образом, для геодезического четырехугольника достаточно иметь любые три уравнения фигуры.

Условия полюса возникают, когда в замкнутой фигуре треугольников, имеющих общую вершину (полюс), отношение связующих сторон треугольников было равно единице. В нашем примере, имеются по два треугольника, имеющих одну вершину и пересеченных диагональю четырехугольника, то в этом случае условие полюса называется боковым условием. Учитывая, что у четырехугольника имеется четыре вершины (полюса) и точка пересечения диагоналей, то возникает пять уравнений полюса. Составим для каждого полюса соответствующее уравнение:

Из уравнения полюса получаем справедливое равенство , из которого выразим каждую из функций:



Отсюда имеем одно независимое уравнение полюса из пяти приведенных выражений (17).

Таким образом, числа независимых условных уравнений поправок r равно 4 (три уравнения фигуры и одно уравнение полюса).

k = n - r = 8 - 4 = 4

Величину r еще называют числом избыточных измерений.

Составление условных уравнений и вычисление невязок

В геодезическом четырехугольнике рассмотрим три треугольника ABC, BCD, CDA. Как известно, сумма углов в плоском треугольнике равна 180°, следовательно, сумма измеренных углов в данном треугольнике будет отклоняться от 180°. Величина отклонения называется невязкой треугольника. Условные уравнения фигур имеют линейный вид. Следовательно:

Затем составим условные уравнения поправок:

Далее, в нашем случае, запишем условное уравнение полюса, например для т. А:

Прологарифмируем обе стороны выражения (21) для приведения уравнения полюса к линейному виду:

Уравнение полюса преобразуем в уравнение поправок:

где I - изменение lg sin при измерении угла на 1 секунду.

Выражения (20) и (21) являются независимыми условными уравнениями.

Вывод условных уравнений поправок

Как указывалось, задачу нахождения минимума функции независимых уравнений [vv]=min решают способом Лагранжа, вводя вспомогательные множители независимых условных уравнений.

где n - число измерений, r - число избыточных измерений (число независимых условных уравнений).

Как видно, из системы уравнений (23) в правой части стоят нули, но для величин Xi получены результаты измерений x1,…, xn. Так как значения xi отягощены ошибками измерений, и при подстановке их в левые части условных уравнений (23), то в правых их частях получаются не нули, а невязки W.

Следовательно, уравнения (23) примут вид:

Чтобы невязки были равны нулю, необходимо их устранить за счет поправок v. В результате получаем:

Поскольку задачу на словный экстремум решают по правилам Лагранжа при помощи неопределенных множителей условных уравнений, тогда введем функцию Ф, зависящую от измеренных значений xn и неопределенных множителей . В результате получаем:

(22)

Искомые значения поправок v должны удовлетворять равенствам вида:

(i = 1, 2, …, n)

(j = 1, 2, …, r)

Далее составим систему уравнений:



В результате получаем суммы n + r уравнений и n(v)+r() неизвестных.

Если условные уравнения будут иметь нелинейный вид, то задача станет практически неразрешимой. Для этого, пренебрегая нелинейными членами разложения функций в ряд Тейлора, можно выражения (25) записать следующим образом:

Заменяя

и учитывая равенства (27), получим:

(j = 1, 2, …, r)

Это равенство (29) называют условным уравнением поправок.

В случае если переменная v связаны между собой уравнениями (25) и подставим их вместо функции в выражения (22). Для удобства вычислений множители Лагранжа обозначим так: . Множители k1, k2, …, kr - коррелаты.



Далее возьмем частные производные по аргументам vi и приравняем их нулю, получим: уравнивание коррелатный геодезический сеть

откуда общий вид уравнения поправок равноточных измерений:

где - коэффициенты условных уравнений поправок, - неопределенные множители (коррелаты). При соблюдении условия [vv]=min, получим уравнения коррелат.

Вычисление коэффициентов уравнивания фигур

Для вычисления коэффициентов уравнения фигур необходимо взять частные производные выражений (20) по аргументам . После чего получаем:

для 1-го уравнения:

для 2-го уравнения:

для 3-го уравнения:

Значения коэффициентов уравнения фигур записывают в таблицу 6 (столбцы ai, bi, ci).

Вычисление коэффициентов полюсного уравнения и его невязки W4



Таблица 5 - Вычисление невязки полюсного уравнения

Углы	Значение			Углы	Значение
4	44є06'22,5''	9,8426037	21,72	2+3	87є49'58,1''	9,99968925	0,8
6+7	84є30'34,2''	9,9980029	2,02	5	49є26'17,3''	9,8806446	18,00
2	45є22'49,7''	9,8523499	20,76	7	40є30'27,4''	9,8126120	24,62
[ ]		29,6929565		[ ]		29,6929458

Величина рассчитывается по формуле:

=

Невязка уравнения полюса вычисляется как разница между суммами правым и левым столбцом таблицы 6.

Вычисление коэффициентов уравнения полюса:



Вычисление коэффициентов условных уравнений поправок

Таблица 7 - Вычисление коэффициентов условных уравнений поправок

№ угла						Сумма S`
1	1	0	0	0,00	0,00	1,00
2	1	0	0	-2,00	2,08	1,08
3	1	1	0	0,08	0,00	2,08
4	1	1	0	-2,17	0,00	-0,17
5	0	1	1	1,80	0,00	3,80
6	0	1	1	-0,20	0,00	1,80
7	0	0	1	2,26	-2,46	0,80
8	0	0	1	0,00	0,00	1,00
[ ]	4	4	4

Вычисление коэффициентов нормальных уравнений коррелат

Поскольку полученная система из четырех линейных уравнений не решаема, преобразуем ее на основе способа наименьших квадратов ([vv]=min) в четыре нормальных уравнения коррелат:

Таблица 8 - Вычисление коэффициентов нормальных уравнений коррелат

	a]	b]	c]	d]	F]	S`]	Невязка Wi	S=S`+Wi
[a	4	2	0	-4,09	2,08	3,99	2,20	6,19
[b	2	4	2	-0,49	0,00	7,51	-5,00	2,51
[c	0	2	4	3,86	-2,46	7,40	-3,40	4,00
[d	-4,09	-0,49	3,86	17,11	-9,72	6,66	-10,67	-4,00
[F	2,08	0,00	-2,46	-9,715	10,38	0,28	0,00	0,28
[S`	3,99	7,51	7,40	6,66	0,28	25,83

Заполненные таблицы 8 осуществляется по данным таблицы 7. Значения величин, выделенные полужирным курсивом и другим типом шрифта, не записываются. В нашем случае, значения величин нужны для контрольных вычислений.

Решение нормальных уравнений коррелат

Решение нормальных уравнений коррелат было выполнено по схеме Гаусса, ход которого приведен в таблице 9.

Значения коррелат определены, начиная с 4-го коэффициента, по формулам (37). Значения дробных соотношений берутся из таблицы 9.

Таблица 9 - Решение нормальных уравнений коррелат по схеме Гаусса

№ строк	Наименование уравнения			К1	К2	К3	К4	F	W	S	Контроль
1	N1					4	2	0	-4,09	2,08	2,20	6,19
2	E1					-1	-0,50	0,000	1,023	-0,519	-0,550	-1,547	-1,547
3	N2						4	2	-0,49	0,00	-5,00	2,51
4	(1)						-1	0	2,05	-1,04	-1,1	-3,09
5	a (3+4)						3,00	2,000	1,551	-1,039	-6,100	-0,588	-0,588
6	E2						-1	-0,667	-0,517	0,346	2,033	0,196
7	N3							4	3,86	-2,46	-3,40	4,00
8	(1)							0	0	0	0	0
9	(2)							-1,33	-1,034	0,693	4,067	0,392
10	b (7+8+9)							2,67	2,82	-1,77	0,67	4,39
11	E3							-1,0	-1,059	0,664	-0,250	-1,645	-1,645
12	N4								17,11	-9,72	-10,67	-4,004
13	(1)								-4,18	2,12	2,25	6,33
14	(2)								-0,80	0,54	3,15	0,30
15	(3)								-2,99	1,87	-0,71	-4,65
16	c (12+13+14+15)							9,13	-5,18	-5,97	-2,019	-2,019
17	E4								-1	0,567	0,654	0,221	0,221
18	N5									10,38	0	0,28
19	(1)									-1,079	-1,143	-3,214
20	(2)									-0,360	-2,112	-0,204
21	(3)									-1,174	0,442	2,912
22	(4)									-2,938	-3,387	-1,146
23	d (18+19+20+21+22)							4,828	-6,200	-1,372	-1,372

Вычисление поправок в измеренные углы

Вычисление поправок осуществляется по уравниванию поправок и их значения записывают в таблице 10.

Таблица 10 - Вычисление поправок

вi	aiK1	biK2	ciK3	diK4	vi	vi2
1	-1,043	0	0	0	-1,043	1,088
2	-1,043	0	0	-1,307	-2,350	5,521
3	-1,043	2,324	0	0,052	1,333	1,776
4	-1,043	2,324	0	-1,420	-0,140	0,020
5	0	2,324	-0,942	1,177	2,558	6,546
6	0	2,324	-0,942	-0,132	1,249	1,560
7	0	0	-0,942	1,478	0,535	0,286
8	0	0	-0,942	0	-0,942	0,888
						17,684

Контроль осуществляется следующими равенствами:

=17,684

Кроме того, правильность вычислений можно проконтролировать, подставляя в условные уравнения соответствующие поправки и свободные члены. Контрольные вычисления приводятся в таблице 11.

Таблица 11 - Уравненные значения углов

№ угла	Измеренные значения xi	Попрaвкиvi	Уравненные значения Хi
1	4803'41,6”	-1,0	4803'40,6”
2	4522'49,7”	-2,4	4522'47,3”
3	4227'08,4”	+1,3	4227'09,7”
4	4406'22,5”	-0,1	4406'22,4”
5	4926'17,3”	+2,6	4926'19,9”
6	4400'06,8”	+1,2	4400'08,0”
7	4030'27,4”	+0,5	4030'27,9”
8	4603'05,1”	-0,9	4603'04,2”

Оценка точности по результатам уравнивания

1)Среднеквадратическая ошибка измерения угла:

;

2)Среднеквадратическая ошибка логарифма стороны AD:



3)Относительная ошибка стороны AD:

4) Среднеквадратическая ошибка уравненного угла стороны AD:



3. Уравнивание системы неравноточных высотных ходов с тремя узловыми точками коррелатным способом

Система из шести неравноточных высотных ходов с тремя узловыми точками, опирающиеся на три исходных репера (Rp A, Rp B, Rp C). Схема системы высотных ходов показана на рисунке №7. и исходные данные по реперам в таблице №12.

Рисунок 7 - Схема измерений в системе неравноточных высотных ходов с тремя узловыми точками

В высотном ходе требуется уравнять систему высотных ходов коррелатным способом, найти поправки в превышения и уравненные значения превышений для каждого из ходов, и выполнить оценку точности по результатам уравнивания.

Ход решения

Уравнение нивелирной сети начинают с подсчета числа независимых условных уравнений по формуле . В сети, представленным на рисунке три число измеренных превышений . Число необходимых измерений - количеству вновь определяемых пунктов. Таким образом, .

Таблица 12 - Данные по реперам

Название репера	Высотные отметки	Номер точек	Уравненное превышение	Уравненная отметка
Rp1	174,460	1	-85,716	88,744
Rp2	161,940	2	-6,206	155,734
Rp3	190,524	3	-53,403	137,121

Составление условных уравнений связи и поправок

В нивелирной сети имеют место полигонные условия: разность суммы превышений в полигоне после уравнивания и теоретической сумме превышений должна быть равна нулю. Выбирают независимые полигоны замкнутые или разомкнутые, опирающиеся на твердые пункты, в количестве . На схеме сети показывают номера выбранных полигонов и стрелкой направление суммирования превышений в полигоне. Если направление хода и направления суммирования превышений в полигоне совпадает, знак у превышения «+», если не совпадает, превышения, следует взять со знаком «+».

В общем виде, условное уравнение связи можно записать так;

Система условных уравнений связи имеет вид:

Составим условные уравнения поправок:



Система (29) линейного вида. Для перехода к условным уравнениям поправок достаточно вычислить невязки, которые следует выразить в сантиметрах или миллиметрах, чтобы порядок коэффициентов и невязок был одинаков.

Условные уравнения:

Коэффициенты при поправках в условных уравнениях равны 1, т.к. частные производные по аргументам .

Вычисление коэффициентов поправок в превышения

Общий вид уравнения поправок для неравноточных измерений:

рi-обратный вид функции.

Значение коэффициентов поправок и поправок в превышения записывают в таблицу 13.



Таблица 13 - Вычисление коэффициентов поправок и поправок в превышения

№№ точек	К1	К2	К3	S	Обратный вес	Поправки превышения	Вес хода	pv2
	a	b	c
1	0	0	-1	-1	0,744	-0,011	1,34	1,69
2	0	1	0	1	1,009	-0,016	0,99	2,54
3	0	-1	1	0	1,213	0,038	0,82	11,62
4	1	0	0	1	1,388	-0,002	0,72	0,02
5	1	1	0	2	1,543	-0,026	0,65	4,54
6	1	0	1	2	1,683	0,023	0,59	3,21
	3	1	1	5				23,618

Вычисление коэффициентов нормальных уравнений коррелат

Система из трех нормальных уравнений коррелат:

Результаты решений нормальных уравнений коррелат вносят в таблицу 14.

Таблица 14 - Вычисление коэффициентов нормальных уравнений коррелат

	a]	b]	c]	S]	Контроль	Невязки Wi	S
[Pa	4,613	1,543	1,683	7,839	7,839	0,5	8,339
[Pb	1,543	3,765	-1,213	4,095	4,095	8,00	12,095
[Pc	1,683	-1,213	3,640	4,110	4,110	-7,2	-3,090
[PS	7,8388889	4,095	4,110	16,044	16,044

Решение нормальных уравнений коррелат

Решение нормальных уравнений коррелат выполняется по схеме Гаусса, ход которого приведен в таблице 15.

Значение коррелат определены, начиная с третьего коэффициента по формулам:

1,5088 -1,5863

-0,1283

Таблица 15 - Решение нормальных уравнений коррелат

№ строк	Наименование уравнения	К1	К2	К3	W	S	Контроль
1	N1	4,6133	1,5428	1,6828	0,5000	8,3389
2	E1	-1	-0,3344	-0,3648	-0,1084	-1,8076	-1,8076
3	N2	1,5428	3,7650	-1,2128	8,0000	12,0950	12,0950
4	(1)	-1,5428	-0,5159	-0,5627	-0,1672	-2,7887	-2,7887
5	a (3+4)	0,0000	3,2491	-1,7755	7,8328	9,3063	9,3063
6	E2	0	-1	0,5465	-2,4108	2,8643	-2,8643
7	N3	1,6828	-1,2128	3,6400	-7,2000	-3,0900	-3,0900
8	(1)	-1,6828	-0,5627	-0,6138	-0,1824	-3,0417	-3,0417
9	(2)	0,0000	1,7755	-0,9703	4,2804	-5,0857	5,0857
10	b (7+8+9)	0,0000	0,0000	2,0559	-3,1020	-1,0461	-1,0461
11	E3	0	0	-1	1,5088	0,5088	0,5088

Контроль правильности решения уравнений

Контроль правильности решения уравнений осуществляется путем подстановки значений в формулы (36):

Вычисление поправок к измеренным превышениям



Вычисленные значения поправок записывают в таблицу 15.

Контрольправильности вычисления поправок по уравнениям поправок (формулы (34)). В результате получаем:

Таблица 16 - Исходные данные и результаты уравнивания

Исходные данные	Результаты уравнивания
№ ходов	Длина ходов	Вес	Обратный вес	Измеренное превышение	Поправки	Уравненные превышения	СКО
1	4,47	1,34	0,744	-85,705	-1,12	-85,716	2,42
2	6,06	0,99	1,009	-6,190	-1,60	-6,206	2,82
3	7,28	0,82	1,213	-53,441	3,75	-53,403	3,09
4	8,33	0,72	1,388	66,992	-0,18	66,990	3,31
5	9,26	0,65	1,543	-18,587	-2,65	-18,613	3,49
6	10,10	0,59	1,683	-48,400	2,32	-48,377	3,64

Оценка точности по результатам уравнивания

Вычисление средней квадратичной ошибки единицы веса:

см

Вычисление средней квадратической ошибки превышений для каждого из ходов высотной сети:

==2,42 см ==2,82 см

==3,09 см ==3,31 см

==3,49 см ==3,64 см



Заключение

В ходе выполнения курсового проекта были получены результаты и сформулированы следующие выводы:

- Рассмотрены уравненные значения углов группы направлений, исходящих из одного пункта

- Охарактеризованы уравненные значения в геодезическом четырехугольнике

- Предоставлены уравненные значения углов системы неравноточных высотных ходов с тремя узловыми точками

Таким образом полученные уравненные значения результатов измерений удовлетворяют условиям: [v2]=min и [pv2]=min.



Список использованных источников

1. Большаков В. Д., Гайдаев П. А. Теория математической обработки геодезических измерений : учебник для вузов. М., Недра, 1977. 367 с.

2. Лесных Н.Б. Метод наименьших квадратов на примерах уравнивания полигонометрических сетей : монография. Новосибирск: СГГА, 2007. 160 с.



Приложение

Схема уравненных значений горизонтальных углов в группе направлений, исходящих из одного пункта

Схема уравненных значений горизонтальных углов в геодезическом четырехугольнике

Схема уравненных значений превышений в системе неравноточных высотных ходов с тремя узловыми точками



Размещено на Allbest.ru