Оценка фрактальной размерности разрушенного взрывом массива горных пород

Размещено на http://www.allbest.ru/

оценка фрактальной размерности разрушенного взрывом массива горных пород

Я.М. Додис - канд. техн. наук

It was proved down, that the structure of rock massif destruction has the fractional composition with fractional dimension. For the first time it was detected, that the fractal dimension is inflected in time, and has more continuous original period, then the period of stabilizing precisely conterminous with of elastic deformations zone. Further there is a short period of growth of crack cluster, which is corresponding to the area of deformation and than there are sector of stabilizing prefacing full model destruction.

Разрушение горных пород, как и других твердых тел, под влиянием внешнего воздействия начинается с дефекта (назовем его зародышем трещин), который проявляется в виде микротрещин. Под действием нагрузки к одному дефекту присоединяются другие в результате чего возникает сложная система трещин, а нарастание процесса присоединения приводит к образованию многоуровневой кластер-кластерной структуры, что проявляется в виде трещинообразования.

Уже на этапе возникновения трещин первого уровня формируются частицы разрушенного материала, количество которых затем растет с ростом числа уровней трещин, при этом размеры частиц обусловлены величиной вероятности присоединения трещинных кластеров друг к другу. Чем она выше, тем мельче трещины, и размеры самого кластера растут.

Кластер-кластерная структура по существу означает агрегацию зародышей трещин различной величины. Распределение их в каждом кластере и в общем (конечном) будет подобным, т.е. иметь фрактальное строение и, следовательно, фрактальную размерность Д. Образование систем трещин и дезинтеграция тела на куски разной величины по трещинам в данном случае - процессы обратные, но тот и другой процессы необратимы.

При разрушении породы вероятность роста числа частиц F(x) зависит от поля напряжений, в частности, тензорных полей, обусловленных тензором напряжений [1]:

где ?ik - совокупность 9 напряжений, нормальных (i = k) и касательных (i ? k) относительно трех взаимно перпендикулярных площадок; ni - единичный вектор, нормальный к данной площадке.

Вероятность роста Р(?) будет пропорциональна интенсивности тензорного поля:

Статическая оценка прочности горных пород, как известно, состоит:

где i - текущее напряжение; о - крайняя левая граница прочности; D - дисперсия величины прочности.

Оценки следует сравнить:

горный порода разрушение фрактальный

Фрактальная размерность непрерывно изменяется с изменением "a" в уравнениях (2, 4).

В нелинейной среде потенциально существует спектр-структур (форм организации), которые могут в ней появиться под влиянием внешнего воздействия. Этот спектр определяется исключительно внутренними свойствами среды, а не только параметрами внешнего воздействия и, как теперь известно, еще временем экспозиции нагрузки. От параметров внешнего воздействия зависят уровни раскрытия трещин или спектр-структур, что должно отражаться в изменении фрактальной размерности во времени.

Связь между напряжениями и разрушаемым объемом V выражается:

или иначе,

где l - некоторый размер неоднородности;N(l) - число неоднородностей.

Горные породы и массивы вследствие неоднородности состава и структуры имеют сложное строение пространства дефектов, дислокаций и других мест "ослаблений", которое представляет собой трехмерную систему условно несвязанных (условно взаимосвязанных) дефектов разной формы и размеров. Описание структуры пространства дефектов - довольно сложная задача, требующая ввода упрощающих моделей и других допущений.

Фрактальный анализ, который можно свести к определению характера изменения фрактальной размерности в процессе разрушения, позволяет перейти к моделям, учитывающим сложность пространственной организации реальной физической системы.

Пусть F(lo) - функция распределения объемов неоднородностей по их характеристическим размерам lo (характеристический размер - это радиус для сфероподобных дефектов или полуширина для щелевидных). Данная функция входит в состав интегрального уравнения для описания дезинтергации среды и выделение ее из этого уравнения вызывает определенные сложности.

Преобразуем F(lo) к виду:

где N(lo) - число дефектов в диапазоне lo + dlo, а lo3 - объем, занимаемый дефектом, размером lo.

Число дефектов N(lo) меняется с изменением их размеров по закону:

для всех lmin < lo < lmax, представляющих интервал значений размеров, где объект обладает свойствами фрактала.

В этом случае:

Функция распределения плотности вероятности разрушения среды на объемы при заданных напряжениях выражается:

где i - текущее напряжение; о - крайняя левая граница прочности; ? - параметр подобия или масштабного фактора; n - коэффициент неоднородности.

Подставляя значение F(lo) в (8), получим:

Степенной показатель ? является важным параметром, характеризующим фрактальные свойства объекта разрушения. Он связан с фрактальной размерностью Д и выражается:

= Д + 1.

Зная величину ?, можно определить, обладают ли исследуемые системы объемным при 2 ? ? ? 3 и тогда 1 ? Д ? 3 или поверхностным фракталом (при 3 ? ? ? 4 и 2 ? Д ? 3) [4].

Для структурированных сред понятие "поверхностный фрактал" означает, что поверхность дефектов является фрактальной, а "объемный фрактал" есть фрактальный объем.

Выражения (8, 9) могут быть использованы для описания рассеивания энергии разрушения на неоднородностях. От величины l0 зависит вид функции распределения в полном соответствии с величиной раздробленной массы по законам Риттингера, Кирпичева-Кика и Бонда.

Результатом взрывного нагружения массива горных пород является развитие хаотичных структур в виде трещин во взорванном материале. При взрыве зарядов сферической или удлиненной формы только в ближней и средней зоне в пределах 10d наблюдается сеть трещин, более или менее закономерно распределенная в объеме в виде радиальных и тангенциальных трещин, за пределами этой зоны проявляется все более хаотичный характер их распределения.

При однократном дроблении массива взрывом для описания гранулометрического состава разрушенной массы возможно использование формулы Розина-Раммлера, например, в дифференциальной форме [1]:

где V/V0 - часть объема, раздробленная на куски больше Х, но меньше Хm; n - параметр распределения.

Ясно, что отношение

тогда перейдя от объемов к удельному объему Х3 и количеству таких удельных N, составляющих целое тело, имеем:

В твердом теле со структурой, где ее роль выполняют отдельности размером L0 и каждая из них имеет неоднородности размером l0, существует равенство:

Если после разрушения произвести рассеивание материала по фракциям, отличающимся своими размерами на L0, то получим:

используя закон Розина-Раммлера в виде известной формулы:

ее можно представить в виде графика в координатах lglg100/R и lgx, а кривая распределения по фракциям обычно представляется прямой с углом наклона к оси lgx:

В логарифмических координатах (14) lnP() и ln[(i - 0)/] дает кривую, часть которой представлена прямой, угол наклона ее к оси абсцисс является фрактальной размерностью системы. Вычисление tg? по крайним точкам кривой дает усредненное значение такой размерности.. Чем круче угол, тем больше размерность, что означает снижение прочности и, следовательно рациональнее использована энергия взрыва.

В нашем эксперименте, когда модель не расчленялась на отдельности, а была покрыта сетью трещин, которые определяют размер отдельностей, требуется иная методика определения фрактальной размерности [3]. Можно воспользоваться предложением М.Ю. Яблокова [4], которое состоит в следующем.

На чернобелое изображение накладывается сетка с квадратной ячейкой размером . Определяется зависимость количества ячеек, занятых черными пикселами (белыми), от размера ячейки. Сетчатая фрактальная размерность Др определяется по наклону линии, полученной построением зависимости:

В соответствии с правилами Б.Мандельброта [5] для нерегулярных фракталов фрактальная размерность больше размерности, вычисленной по методу сетки, на 1:

Д = Др + 1.

Поскольку изображение плоское, то фрактальную размерность [4, 6] можно также определить по соотношению периметра и площади:

Это соотношение не зависит от размера объекта, но зависит от эталона (размера ячейки сетки) и определяется по зависимости логарифма числа клеток, содержащих границу от числа черных пикселей. Здесь также используется угол наклона участка кривой к оси абсцисс:

А = tg

A = Д-d,

d = 2, так как имеем плоскость и Д = d - А.

Используя метод сеток, для нашего эксперимента определена сеточная фрактальная размерность Др и затем действительная фрактальная размерность разрушенной (покрытой трещинами) пластины Д. Для измерений и вычислений отобраны фотоотпечатки, следовавшие по времени развития процесса трещино-образования через 8 ?с. Результаты сведены в таблицу. По данным таблицы, построены кривые в координатах lgN и lg1/? (рис. 1). Большинство кривых образует семейство, которое аппроксимируется уравнением вида:

например, для периода времени 136 ?с от начала взрыва, кривая выражается:

Расчеты позволили впервые выявить закономерность изменения фрактальной размерности по времени процесса (рис. 2). Она заметно растет в ходе расчленения пластины оргстекла трещинами, однако, как и следовало ожидать, при объемном разрушении размерность будет расти, поскольку раскрываются дефекты более низкого порядка.

Рис. 1. Изменение характера фрактальной размерности в зависимости от периода разрушения: 1-6 - начало разрешения, 7 - на пределе упругих деформаций.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2. Изменение фрактальной размерности по времени.

Изменение фрактальной размерности во времени свидетельствует, что в процессе разрушения должна сформироваться определенная структура разрушения, требующая затрат времени, или иначе, времени экспозиции энергии и разрушающего напряжения.

Сама форма графика (рис 2) показывает, что процесс разрушения также имеет скачко-образный характер, отчетливо видны в данном случае (в пределах времени съемки) два периода, между которыми скачок процесса разрушения происходит в виде "цепной реакции". Это подтверждается анализом продолжительности времени до первого относительного равенства фрактальной размерности (см. рис. 2), которое составило около 56 ?с, в то время как до второго прошло всего около 24 ?с.

Таким образом, имеем самоускоряющийся и самоподдерживающийся процесс разрушения, что характерно для таких явлений, как горный удар. Аналогией может служить также диэлектрический пробой в горной породе, когда вероятность возникновения и роста пробоя Р(Е)зависит от напряженности электрического поля Еэ на поверхности: Р(Е) ? Е?, при этом фрактальная размерность Дпр меняется непрерывно с изменением ?.

Подобной моделью разрушения при диэлектрическом пробое являются модели материалов, построенные на накоплении напряжений (?), когда им пропорциональна вероятность разрушения (F(x)).

Здесь используются тензорные поля вместо скалярных:

По Виттен-Сендоровской модели в кластере трещин под действием напряжений ?х,у,z некоторое время "изучают" все возможные соединения трещин, а затем выбирают одно случайное и не обязательно большее значение ?, в том числе не обязательно в данном направлении.

Именно это положение нами теоретически и экспериментально доказано и в данном случае подтверждено, что в ближней зоне взрыва, в области пластического течения, в пределах 5dз, примыкающей к зарядной полости, образуются более мелкие фракции. Они препятствуют росту более крупных вследствие диссипирования большей доли энергии взрыва. Данный факт также подтверждается ростом фрактальной размерности во времени, следовательно, ростом многоуровневой структуры разрушения, когда одновременно происходит затухание трещин, выход их на свободные поверхности соседних отдельностей, увеличение их протяженности.

Литература

1. Родионов В.Н, Сизов И.А., Цветков В.М. Основы геомеханики. - М.: Недра, 1986.

2. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. - М., 2000.

3. Нифадьев В.И., Додис Я.М. Формирование поля напряжений и энергозатрат при разрушении горных пород взрывом // Вестник КРСУ. - 2001. - Т.1. - № 4. - С. 49-57.

4. Яблоков М.Ю. Определение фрактальной размерности на основе анализа изображений // Физическая химия. - 1999. - №2. - С. 73.

5. Mandelbrot B. The Fractals Geometry of Nature. - №4. - Freerman. - San Francisco, 1982.

6. Порошков В.П., Гущин В.С., Кунцевич Н.И. Образование фрактальных структур при электроосаждении серебра на поверхность плоских TiO2-электродов / Электрохимия. - 1999. - Т. 30. - №8.

Размещено на Allbest.ru